西安市2024年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

西安市2024年高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则的最小值为（）A． B． C．l D．12．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．644．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（）A．5 B．11 C．20 D．255．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．16．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．7．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．8．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．9．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（）.A． B． C． D．11．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．12．函数（），当时，的值域为，则的范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列为等比数列，，则_____.14．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c，过C外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C于点A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.15．已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____.16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.18．（12分）已知集合，.（1）若，则；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.（Ⅰ）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线E的方程；（2）求△ABC面积的最大值．21．（12分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.22．（10分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】解：设点，则点，，，，当时，取最小值，最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.2、D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为，乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.3、B【解析】

根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.4、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，又，，为三角形的三边长，且最大内角为，由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.5、B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.6、B【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得k的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7、B【解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．8、A【解析】

投影即为，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，所以，向量在向量方向上的投影为.故选：A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.9、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10、C【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时满足输出结果，故.故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.11、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.12、B【解析】

首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.【详解】因为，所以，若值域为，所以只需，∴.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、81【解析】

设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为，由题意知，因为，由等比数列通项公式可得，，解得，由等比数列通项公式可得，.故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.14、【解析】

根据条件可得判断OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，从而得到点A为椭圆上顶点，则有b＝c，解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|＝|AF1|，所以点A是线段PF1的中点，又因为点O为线段F1F2的中点，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因为点P（c，2c），所以PF2⊥x轴，则|PF2|＝2c，所以OA⊥x轴，则点A为椭圆上顶点，所以|OA|＝b，则2b＝2c，所以b＝c，ac，设B（c，m）（m＞0），则，解得mc，所以|BF2|c，则.故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.15、【解析】

由，，成等差数列，代入可得的值.【详解】解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，可得：，代入，可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.16、【解析】

根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F（x），则F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解为故答案为：【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）9060元【解析】

(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则.（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，，，，所以（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.【点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.18、（1）；（2）【解析】

（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】（1）若，则，依题意，故；（2）因为，故；若，即时，，符合题意；若，即时，，解得；综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.19、（Ⅰ）存在点满足题意，且，证明详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可考虑采用补形法，取的中点为，连接，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证平面，即，若能证明，则可得证，可通过我们反推出点对应位置应在处，进而得证；（Ⅱ）采用建系法，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；【详解】（Ⅰ）存在点满足题意，且.证明如下：取的中点为，连接.则，所以平面.因为是的中点，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交线为，所以平面，所以.在平面内，，，所以，从而可得.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.易知，，，，所以，，.设平面的法向量为，则有取，得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题20、（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，y0，kAB，则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，所以