第六章：弯曲应力

一、弯曲构件横截面上应力一般情况下，梁的横截面上同时存在剪力FS和弯矩M。弯矩M

正应力s剪力FS

切应力t只有切向内力元素

dA才能合成与截面相切的剪力FS

；只有法向内力元素

dA才能合成弯矩M。

故一般在梁的横截面上一般既有切应力

，又有正应力

。§6-1

引言一、静矩与形心1.截面图形对z轴的静矩Sz

截面图形对y轴的静矩：说明：◆静矩可正，可负，也可能等于零；◆静矩单位m3。◆截面图形的静矩是对某轴而言的，轴不同，静矩就不同；§6-2

截面的几何性质2.截面图形的形心

说明：◆若某坐标轴通过截面形心，则截面图形对该轴的静矩必为零；◆若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴必通过截面图形的形心;◆截面图形对形心轴的静矩等于零。[例6-1]矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、y轴的静矩，图中b、h为已知。解:(1)计算静矩Sz

(2)

计算静矩Sy

y轴通过阴影部分图形面积的形心C13.组合截面图形的静矩

组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分图形对同一轴静矩的代数和。

其中Ai为其中第i个组成部分图形的面积；为其中第i个组成部分图形的形心坐标。

由几个简单图形组成的截面称为组合截面。

[例6-2]某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。(2)

计算静矩Sz

此截面可以看作由两个矩形1、2组成解：(1)

计算静矩Sy

y轴为对称轴二、惯性矩与惯性半径1.惯性矩截面图形对y轴惯性矩截面图形对z轴惯性矩2.极惯性矩说明：◆截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴不同，惯性矩就不同；◆惯性矩值恒为正

；◆惯性矩单位为m4

。3.惯性半径[例6-3]试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和y轴的惯性矩。解:(1)计算Iz

取平行于z轴、高度为dy的狭长矩形为微元面积dA

(2)计算Iy

同样的方法

[例6-4]计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。

解:圆形截面对圆心的极惯性矩由于圆形是中心对称图形，且则[例6-5]计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。

解:圆环形截面对圆心的极惯性矩由于圆环形是中心对称图形，且则其中为圆环的内外径比。三、惯性矩平行移轴公式

y,z

￣

任意一对坐标轴，C

￣截面形心yC,zC￣通过图形形心的一对正交坐标轴，为形心轴。

图形对zC轴惯性矩为图形对z轴的惯性矩为又故得同理可得zC轴为形心轴，则有可得惯性矩的平行移轴公式

[例6-6]计算图示T字形截面对其形心轴zC的惯性矩。

该截面图形可视为由矩形1、2组合而成解:(1)确定形心C位置

截面关于y轴对称，所以形心C必在对称轴y轴上，故只需求出形心的y坐标即可。

(2)分别计算矩形1、2对zC轴的惯性矩

(3)计算整个图形对zC轴的惯性矩在某些梁段上，剪力为零，弯矩为常数，这种情况称为纯弯曲

;而在一般情况下，剪力与弯矩同时存在的情形，则称为横力弯曲。图中CD段剪力为零，弯矩为常数，这种情况即为纯弯曲

；而AC、DB段剪力与弯矩同时存在，则为横力弯曲。§6-3

弯曲正应力及其强度计算一、弯曲正应力研究纯弯曲梁，从变形几何条件、物理条件以及静力平衡条件三个方面进行分析。1.几何方面现象：◆横向线在变形后依然为直线，只是旋转了一个角度，并仍然与弯曲后的纵向线正交；◆纵向线弯成弧线，其中位于梁上部的纵向线缩短，位于梁下部的纵向线伸长。MM提出假设：◆梁的横截面在变形后仍保持为平面，并和弯曲后的纵向线正交。这称为弯曲变形的平面假设。◆梁内各纵向“纤维”受到单向拉伸或压缩，彼此间互不挤压、互不牵拉。这称为单向受力假设。MM

中性层中性轴横截面对称轴梁中间部位必然有一层既不伸长也不缩短、长度保持不变的纵向“纤维”，这一纵向“纤维”层称为中性层。

梁中性层与横截面的交线则称为中性轴。dx‥‥‥变形几何关系式

横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离y成正比。2.物理方面利用胡克定律：横截面上任意点的正应力与该点的纵坐标y成正比。MyzOx弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布。3.静力学方面yzxOMdAzyσdAFN

横截面上各点的法向内力元素构成一平行于轴线轴的空间平行力系。纯弯曲梁的横截面上没有轴力FN，只存在一个位于纵向对称平面内的弯矩M，故有将代入（1）得中性轴z一定通过截面形心。将代入（2）得得中性层的曲率将代入物理关系式得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:说明：◆M为弯矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；◆y为点的纵坐标，亦即点到中性轴的距离；◆在中性轴上的各点处，正应力为零。◆关于正应力正负号的确定：

1.以中性轴为界，横截面被分为两个区域。其中，一个区域受拉，即靠近凸边一侧，其上各点产生拉应力，则为正值；另一个区域受压，即靠近凹边一侧,其上各点产生压应力，则为负值。

2.某点的应力是拉是压，也可以通过中弯矩与点的纵坐标y的正负号确定，求得为正时表示拉应力，为负时表示压应力。◆对于一般的横力弯曲，只要梁的长度与梁的截面高度之比，它同样适用。二、弯曲正应力的最大值

在横截面上距离中性轴z最远的上、下边缘各点处，即时，弯曲正应力有最大值——Wz为抗弯截面系数则说明：◆关于常见截面的Iz和Wz1.矩形截面2.圆形截面3.圆环截面为内外径比三、弯曲正应力强度条件◆适用于抗拉强度和抗压强度相等的塑性材料；

◆对抗拉强度和抗压强度不等的脆性材料，应对梁的最大拉应力和最大压应力分别进行强度计算。[例6-7]试求图示矩形截面梁端右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。图中截面尺寸单位为mm。解:(1)确定梁A端右侧截面上的弯矩作梁的弯矩图，得A端右侧截面上的弯矩(2)计算横截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数Wz(3)计算各点处的正应力a点:b点:d点与a点位于中性轴的两侧，但到中性轴的距离相等

注：正号表示a、b两点为拉应力；负号则表示d点为压应力。c点在中性轴上

:解:(1)画计算简图，求反力

(2)确定危险截面及其上弯矩

作梁的弯矩图[例6-8]图示大梁由NO.50a工字钢制成，跨中作用一集中力。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处a点的正应力。(3)计算弯曲正应力

NO.50a工字钢截面的惯性矩，抗弯截面系数。则危险截面C上的最大正应力危险截面C上点a的正应力

[例6-9]试求图示T字形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知，。解:(1)确定梁的最大弯矩及其所在截面作梁的弯矩图梁的最大正弯矩发生在截面C上，最大负弯矩发生在截面B上，其大小分别为(2)计算截面C最大拉应力和最大压应力(3)计算截面B最大拉应力和最大压应力梁的最大拉应力发生在截面C的下边缘，最大压应力发生在截面B的下边缘，[例6-10]图示悬臂梁用工字钢制作。已知，，材料的许用应力。试根据正应力强度条件确定工字钢型号。解:(1)确定最大弯矩作弯矩图(2)强度计算

由附录B中工字钢型钢表查得，可选用NO.45c工字钢。因其抗弯截面系数，与计算结果相差不到，这在工程设计中是允许的。

[例6-11]图示槽形截面铸铁梁。已知截面的、、；铸铁材料的许用拉应力、许用压应力。试确定此梁的许可载荷。解:(1)确定最大弯矩作弯矩图(2)强度计算

危险截面B处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处。得得则许可载荷[例6-12]钢制等截面简支梁受均布载荷作用，横截面为的矩形，如图所示。已知，，材料的许用应力。试求：（1）梁按图a放置时的截面尺寸；（2）梁按图b放置时的截面尺寸。

解:(1)确定最大弯矩作弯矩图(2)强度计算

图a放置时故取图b放置时，抗弯截面系数

,故取由结果可知，两梁的横截面面积之比，即图b梁所用材料是图a梁所用材料的1.59倍，显然矩形截面按照图a放置时的承载能力比图b高，这是因为梁弯曲时中性轴附近的正应力很小，而图b将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材料未得到充分利用。[例6-13]T字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力、许用压应力，试按正应力强度条件校核梁的强度。解:(1)确定最大弯矩作梁的弯矩图截面B上有最大负弯矩截面E上有最大正弯矩(2)确定截面的Iz(3)强度校核截面B：截面

E：变形为上压下拉

梁的最大拉应力发生在截面E下边缘各点处；最大压应力发生在截面B下边缘各点处，作强度校核：结论：该梁强度满足要求。

注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险点处的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。一、矩形截面梁1、相关假设

（1）切应力的方向与剪力的方向平行;

（2）切应力沿横截面宽度方向均匀分布，即距中性轴等远处各点的切应力值相等。

§6-4弯曲切应力及其强度计算2、弯曲切应力计算公式

——剪力；

——横截面上过纵坐标为的点的横线以外部

分面积（阴影区域）对中性轴的静矩；

——横截面的宽度；

——整个横截面对中性轴的惯性矩。3、弯曲切应力分布规律◆沿横截面高度方向，弯曲切应力的大小按照抛物线的规律变化;说明：◆在上下边缘处,弯曲切应力为零；◆在中性轴上的各点处,弯曲切应力最大。式中，为横截面的面积。

二、工字形截面梁为腹板厚度

为图示阴影部分区域面积对中性轴z的静矩。由得说明:◆在与上、下翼缘交界处()的各点，切应力最小，为◆在中性轴上（）的各点，切应力最大，为◆沿腹板高度方向，弯曲切应力照抛物线规律变化;◆当腹板厚度d远远小于翼缘宽度b时，

◆对于工字钢截面，其最大弯曲切应力也可三、圆形截面梁◆薄壁圆环形截面梁弯曲切应力的最大值发生在中性轴上各点处式中A为圆形截面的面积。四、薄壁圆环形截面梁◆圆形截面梁弯曲切应力的最大值发生在中性轴上各点处式中A为圆环形截面的面积。五、弯曲切应力强度条件梁的弯曲切应力的最大值一般发生在截面的中性轴上。由于中性轴上点的正应力为零，因此中性轴上的点受到纯剪切，弯曲切应力的强度条件即为[例6-14]图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。解:(1)求支座反力

(2)确定最大弯矩和最大剪力作梁的剪力图和弯矩图

(3)计算最大正应力和最大切应力(4)比较最大正应力和最大切应力的大小

说明：此梁的最大正应力和最大切应力之比就等于梁的跨度与梁的截面高度之比。故在对非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应以正应力强度条件为主。

[例6-15]图示矩形截面钢梁，已知、；；材料的许用正应力、许用切应力。若规定梁横截面的高宽比，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。解:(1)求支座反力

(2)确定最大弯矩和最大剪力(3)根据正应力强度条件确定截面尺寸取截面尺寸(4)对弯曲切应力进行强度校核所以梁的强度足够。[例6-16]某工作平台的横梁是由18号工字钢制成，受力如图所示。已知材料的许用正应力，许用切应力。试校核此梁强度。

解:(1)求支座反力

(2)确定最大弯矩和最大剪力(3)校核弯曲正应力在型钢表中查得18号工字钢截面的几何参数：、、、、、。梁的正应力强度足够。(4)校核弯曲切应力梁的切应力强度足够。结论：该钢梁的强度符合要求。[例6-17]图示工字形截面外伸梁，已知材料的许用正应力、许用切应力，试选择工字钢型号。

解:(1)求支座反力

(2)确定最大弯矩和最大剪力(3)按正应力强度条件选择工字钢型号

查型钢表，选用NO.22b工字钢，其，可以满足要求。(4)校核切应力强度从型钢表中查得NO.22b工字钢的、。梁的切应力强度足够，因此选用NO.22b工字钢。总结：梁的强度计算1、危险面与危险点分析：

一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。FQtsssMt2、正应力和剪应力强度条件：

带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在FQ和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）3、强度条件应用