第二章信号的采样与复现

第二章信号的采样与复现2．1连续信号的采样和星号拉氏变换2．1．1连续信号的采样把连续信号变换为脉冲序列的过程称采样。实现连续信号采样的一个简便方法就是用一序列离散值代替连续信号，采样值是采样时刻的信号幅值。研究周期采样，周期采样时刻表示为：其中T称采样周期。实现采样的装置称采样器或采样开关。理想采样开关指采样过程是瞬时完成的，采样脉冲序列的脉冲宽度t为无限小。理想采样过程及表示法如图2.1所示，用符号S表示采样开关。tk=kT,k=0,1,2,…,(2.1)图2.1理想采样开关及采样过程令：其中ws称采样角频率；fs称采样频率。实际采样开关的采样过程中，采样开关的闭合时间t不等于0，即采样脉冲的宽度t不等于0。由于t远小于T，且t远小于小于系统连续部分最大时间常数，因此，实际应用时，可以近似认为t

＝0，把实际采样开关作为理想采样开关处理。2.1.2理想采样开关的数学描述采样是离散时间控制系统的基本特征，为了分析它对系统的影响，必须把理想采样过程用数学模型表示。连续信号f(t)通过理想采样开关S产生脉冲序列的过程可以用方程(2.4)表示，即:f*(t)=f(0)d(t)+f(T)d(t-T)+…+f(kT)d(t-kT)+…(2.4)(2.6)(2.5)其中d(t)是单位脉冲函数，它是宽度无限小、幅值无穷大、强度为1的理想脉冲、在图形中用高度为1的箭头长度表示。由(2.4)可以看出：f(0)，f(T)，…表示采样序列的幅值，而采样时刻则由d(t－kT)表示。称为周期为T的单位脉冲序列连续信号的采样过程可以视为由dT(t)作为载波信号的脉冲幅值调制过程(见图2.2)。d(t－kT)表示脉冲存在的时刻，面积为l，而脉冲的大小由采样时刻的函数值f(kT)决定。图2.2理想采样的脉冲幅值调制过程

对于实际控制系统，根据连续信号f(t)的物理实现条件f(t)=0,t<0方程(2.6)可以表示为:(2.7)(2.8)对方程(2.7)两端求拉氏变换，得到一个重要的星号拉氏变换表达式：其中F*(s)称作f*(t)的星号拉氏变换。方程(2.8)是理想采样器输出信号的拉氏变换表达式，已知一连续信号f(t)，或者给出离散序列{f(kT)}，公式(2.8)是求它的星号拉氏变换的最基本公式。应当指出：当f(t)值在t＝kT时刻为不连续时(如f(t)是连续时间阶梯形模拟信号)，按公式(2.8)计算星号拉氏变换，f(kT)应取f(kT+)值，f(kT+)表示t从右边逼近kT的值。例2．1设f(t)＝1(t)

，求F*(s)解:单位阶跃序列为f(kT)=1,k=0,1,2,…代入公式(2.8)，有2．1．3用卷积积分计算星号拉氏变换已知一连续时间函数f(t)，根据式(2.7)可求出f*(t)，再由式(2.8)计算出其星号拉氏变换表达式，星号拉氏变换定义式(2.8)是计算星号拉氏变换的最基本公式。如果已知一连续时间函数的拉氏变换F(s)，可以直接根据下面两个卷积积分公式计算F*(s)。下面不加证明地直接给出两个计算公式。公式一

假设F(s)是两个s多项式之比，F(s)的极点均位于s平面的左半部。且(2.9)(2.10)式中pi是F(P)的极点，ri是极点p＝pi的重根数，m是F(P)的极点数。公式二(1)若F(s)分母的阶数至少比分子的阶数多两阶，意味着满足下面的条件：则：(2.12)(2.11)(2.12)称为泊松求和公式。(2)若F(s)的分母的阶数只比分子的阶数多一阶，即则：(2.13)(2.14)2.1.4星号拉氏变换F*(s)的特性星号拉氏变换在s平面有两个重要特性。特性一

F*(s)是s的周期函数，周期是jws证根据定义用s+jmws代替变量s，其中m是正整数，则有由于所以(2.15)

特性二如果F(s)在s＝sl处有一极点，则F*(s)必然在s＝sl+jmws处具有极点，m＝…，-2，-1，0，1，2，…。证这个结论是明显的。如果把泊松求和公式写成展开形式：由上式看出，若F(s)在s＝

sl处具有极点，F*(s)当然在s＝s1+jmws处有一极点，其中m是整数。(2.16)必须注意，关于F(s)和F*(s)的零点没有类似的结论。由式(2.16)看出，不能根据F(s)的零点确定出F*(s)的零点，当然F*(s)的零点是周期的，且周期为jws，这是由特性一决定的。在s平面，－ws／2<w<ws／2的带形区域称为主频区，其余区域称为辅频区。如果F*(s)在主频区的零、极点位置是已知的，则F*(s)在整个s平面的零、极点位置也是已知的，如图2.3所示。这是由于F*(s)具有周期待性的缘故。根据特性二可以看出，如果某些不同的拉氏变换表达式分别具有极点为－s1+j(w1+kws)，那么对应的星号拉氏变换的极点位置分布相同而与k的值无关。这表明，不同的F(s)，可能具有相同的F*(s)，这个结论可以由图2.4看出。设由图2.4看出，在采样时刻的值是完全相同的，因此具有相同的星号拉氏变换F*(s)。2.1.5香农采样定理一个连续信号经过采样后，我们关心采样信号能否反映出连续信号的持性，能否由采样信号精确地复现出原来的连续信号。图2.4中两个不同的连续信号，它们的采样值完全相同，根据该采样序列无法判别究竟代表哪个连续信号，出现这种现象的原因是采样周期选取不合适。因此，采样周期的选取是计算机控制系统设计的主要任务之一。从连续信号和离散信号的频谱分析入手，介绍香农采样定理。设连续函数f(t)的频谱是有限带宽的，它们最高频率分量为wm，其星号拉氏变换为F*(s)。若F*(s)所有极点位于s平面的左半平面。其频谱表达式为(2.17)(1)图(a)是连续信号的幅频谱。理想滤波器特性如图2.6所示。图2.6理想低通滤波器的频谱特性图当ws＞2wm，采样信号的幅频谱如图(b)所示。k＝0的频谱分量其形状与连续信号的频谱相同，但幅值为连续信号频谱的1/T倍，k＝±1，±2，…的频谱分量是由于采样引起的高频分量。由于ws＞2wm

，采样信号的频谱无重叠，该采样信号通过频宽为ws的理想低通滤波器，连续信号可以无失真地复现出来。当ws

＜2wm时，采样信号幅频谱如图(c)所示，采样信号的频谱互相重叠该采样信号通过理想低通滤波器，连续信号不能无失真地复现出来。总结就是图2.5F(jw)和F*(jw)的幅频谱图香农采样定理设f(t)是一个有限带宽的信号，即w＞wm时，F(jw)＝0。在满足ws＞2wm条件时，连续信号f(t)可以由采样值f(kT)(k＝0，±1，±2，…)唯一确定，其插值公式为(2.18)其中ws为采样角频率，wN＝ws/2称乃奎斯特角频率。由于一般连续信号不可能是有限带宽的，而理想滤波器实际上也是不存在的，因而由香农采样定理可知，实际工作中不可能无失真地由采样信号值复现出原来的连续信号可以合理地选取采样频率的值，保证失真在允许的范围内。2．2信号的复现与保持器2．2．1信号的复现由采样序列{f(kT)}复现出原连续信号称信号的复现。工程中需要找到一种复现方法和装置，既简单、容易实现又能获得满意的复现精度，这就是下面要讨论的保持器。大多数离散时间控制系统都是连续的执行机构，是接受连续的输入信号工作的。如果采样脉冲直接送到执行机构，必然使系统输出产生很大跳动。因此希望采样脉冲作用到连续系统装置之前，能复现出相应的连续信号。从频率特性角度说．采样脉冲信号通过一低通滤波器，把采样脉冲的高频分量加以滤除后再送到执行机构。下要的保持器是工程上经常采用的，实现简单而又有较好低通滤波特性的装置。用采样值外推的方法复现连续信号，对于kT＜t＜(k－1)T时间内的f(t)值用f(kT)，f[(k－1)T]，f[(k－2)T]，…等采样值外推实现。根据台劳级数展开公式，有(2.19)取等式右端第一项近似，有(2.20)称零阶保持器。取等式右端两项之和近似，有(2.21)称一阶保持器。其中，t＝kT时的各阶导数可由其近似值求出。(2.23)(2.22)(2.24)则一阶保持器可写为(2.24)，是f(kT)和f[(k－1)T]的函数2．2．2零阶保持器零阶保持器由方程(2.20)描述，每个采样值f(kT)(k＝0，1，2，…)一直保持到下一个采样时刻之前，从而使采样信号f*(t)变换为分段直线的阶梯形模拟信号fH0(t)，如图2.7所示。把阶梯信号fH0(t)各直线段中点光滑连接起来，得到了同f(t)形状大体一致而在时间上滞后T/2的响应曲线，表明一连续时间信号经采样一零阶保持器后在时间上滞后T/2时间。为了分析研究保持器对系统性能的影响。需要推导保持器的传递函数。根据传递函数定义，一个线性元件的传递函数等于该元件脉冲响应函数的拉氏变换。图2.8描述了零阶保持器输入单位脉冲d(t)的输出响应函数gH0(t)。零阶保持器的单位脉冲响应函数可表示为(2.25)两端取拉氏变换，其频率特性为(2.27)(2.26)零阶保持器的幅频特性为相频特性为(2.29)(2.28)注意则以w为横坐标单位绘制出零阶保持器幅频、相频特性如图2.9所示，从图中看出：零阶保持器是一个低通滤波器，但不是一个理想低通滤波器，高频信号通过零阶保持器不能完全滤除，同时产生相位迟后。零阶保持器的最大优点是结构简单，容易实现。在计算机控制系统中，D/A变换器同零阶保持器具有相同的功能。零阶保持器的另一个优点是完全适用于非周期采样。对非周期采样，零阶保持器的功能表示为(2.30)图2.9零阶保持器频率响应曲线连续信号经采样和零阶保持器输出，会产生误差。设具有光滑的一阶导数的连续函数f(t)，零阶保持器输出的最大误差为(2.31)其中f'(t)是函数f(t)的导数。2．2．3一阶保持器一阶保持器的方程为

(2.32)指出了一阶保持器在给定区间的外推函数是线性的，它的斜率与前一个区间采样值的变化率有关。为了实现一阶保持器，对前一个时刻的采样值的记忆是必要的。(2.32)为了确定一阶保持器的传递函数、图2.10给出了输入为理想单位脉冲的输出脉冲响应函数图2.10一阶保持器的脉冲响应函数输入为理想单位脉冲的输出脉冲响应函数可表示为(2.33)两端取拉氏变换有一阶保持器的频率持性为(2.34)(2.35)(2.36)其幅频、相频特性如图2.1l所示，其中虚线部分是零阶保持器的幅频、相频特性。图2.11一阶保持器的频率特性对于一个具有光滑二阶导数的输入信号，一阶保持器的最大复现误差为(2.37)2．3过采样和不足采样2．3．1不足采样——频率混淆从图2.5已看出：当ws＞2wm时，采样信号的频谱不产生重叠，通过理想滤波器，信号可以无失真地复现出来，这种情况称过采样；如果ws

＜2wm，采样信号的频谱出现重叠，信号产生失真，称不足采样，这种频谱的重叠称混淆。下面从另一个角度分析频率混淆对系统性能的影响。为了分析简便起见，假设一个连续信号

f(t)＝cosw0t

经过来样后，再通过一理想带通滤波器，讨论不足采样和过采样输出连续信号的变化。

(a)连续信号频谱

(b)wo＝(1/6)ws

的采样信号频谱

(c)wo＝(4/6)ws的采样信号频谱图2.12采样和不足采样信号频谱

1．过采样情况取wo＝ws／6(ws＞2wo)，采样信号频谱如图2.12(b)所示，该采样信号通过理想带通复现信号fr为

fr(t)＝coswot＝f(t)

可见，信号不失真，复现信号与原连续信号一致。2．不足采样情况取wo

＝4ws/6(ws＝3wo/2＜2wo)，采样信号的频谱如图2.12(c)所示。出现在低频区带通滤波器频率范围内的信号频率为ws

－wo=3wo/2－wo=wo/2

于是，复现信号为

fr(t)＝coswo

t/2显然，fr(t)不等于f(t)，复现信号的频率比原连续信号低一倍。在不足采样的情况下，频率为wo的信号经采样后，复现信号出现在低频区ws－wo处。wo越接近ws

，ws

－wo越接近零频处，当wo

＝

ws时，复现信号成为常值信号。不足采样产生的频率混淆会对复现信号产生失真。对于幅值较强的高频噪声。由于不足采样，在低频区会产生强噪声。由于系统具有低通特性，噪声影响增强，为了抑制混淆的不利影响，连续信号进行采样之前通过前置滤波器滤波，尽可能使前置滤波器输出的频率分量不高于乃奎斯特频率wN

(wN＝

ws/2)。2．3．2选取采样周期的实际考虑在采样系统中，选取采样周期是一个基本问题。合适地选取采样周期与信号的特性、信号复现方法以及信号的用途有关。如果信号的频带是有限带宽的，对复现装置时间延迟没有限制，香农采样定理在理想的情况下给出了一个非常简单的规则。在实际的工程应用中，香农采样定理的理想条件是不成立的。因此必须根据一些实际考虑确定选取采样周期的一些工程上的准则。1．信号处理中采样周期的选取对数字信号处理问题，主要根据复现信号误差来选取采样周期。可证明，零阶保持器和一阶保持器的复现误差为设信号为角频率w的正弦信号．那么，零阶保持器和一阶保持器的平均复现误差为其中N