高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数优化练习新人教A版选修1-11

函数的极值与导数[课时作业][A组基础巩固]1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.eq\f(1,ln2)B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln2解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－eq\f(1,ln2).答案：B2．函数f(x)＝sinx＋eq\f(x,2)，x∈(0，π)的极大值是()A.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6) B．－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)C.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3) D．1＋eq\f(π,4)解析：f′(x)＝cosx＋eq\f(1,2)，x∈(0，π)，由f′(x)＝0得cosx＝－eq\f(1,2)，x＝eq\f(2π,3).且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))时f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))时f′(x)<0，∴x＝eq\f(2π,3)时，f(x)有极大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3).答案：C3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＋a2＝10，,3＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))而当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.故选C.答案：C4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x2<x<x4时，f′(x)≥0；当x4<x<b时，f′(x)<0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.答案：B5．已知f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)，则f(x)的极值情况是()A．极大值为f(eq\f(1,3))，极小值为f(1)B．极大值为f(1)，极小值为f(eq\f(1,3))C．极大值为f(eq\f(1,3))，没有极小值D．极小值为f(1)，没有极大值解析：把(1,0)代入f(x)＝x3－px2－qx得1－p－q＝0.①∵f′(x)＝3x2－2px－q，由题意知f′(1)＝3－2p－q＝0.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2,q＝－1))∴f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x1＝1或x2＝eq\f(1,3).由f′(x)的图象知当x∈(－∞，eq\f(1,3))和x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0当x∈(eq\f(1,3)，1)时，f′(x)＜0，故极大值为f(eq\f(1,3))，极小值为f(1)．答案：A6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.答案：c7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－6b.当b≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝±eq\r(2b).由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<eq\r(2b)<1，∴0<b<eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．(2015·高考陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入y＝xex得极值点的坐标为(－1，－eq\f(1,e))，又极值点处的切线垂直y轴，即其斜率为0，故所求切线方程为y＝－eq\f(1,e).答案：y＝－eq\f(1,e)9．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋bf′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2))).令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．[B组能力提升]1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.答案：D2．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x解析：三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3＋2b＋c＝0，,f′3＝27＋6b＋c＝0，))解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．答案：B3．若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝eq\f(2x2＋2x－x2－a,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12).因为f(x)在x＝1处取得极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.答案：34．设f(x)＝eq\f(3ex,3＋4x2)，则f(x)的极大值点和极小值点分别是________．解析：对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(3ex4x2－8x＋3,3＋4x22).①若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝eq\f(3,2)，x2＝eq\f(1,2).结合①，可知x(－∞，eq\f(1,2))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))eq\f(3,2)(eq\f(3,2)＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝eq\f(3,2)是极小值点，x2＝eq\f(1,2)是极大值点．答案：eq\f(1,2)，eq\f(3,2)5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－eq\r(a)或x>eq\r(a)，由f′(x)<0，解得－eq\r(a)<x<eq\r(a)，∴当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)，单调递减区间为(－eq\r(a)，eq\r(a))．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．6．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值．(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．令f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；所以f(x)