专题28中点弦及点差法的8种常见考法归类

专题28中点弦及点差法的8种常见考法归类1、椭圆与双曲线的中点弦与点差法（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：.（3）双曲线的用点差法同理，可得(焦点在轴上）2、抛物线的中点弦与点差法点差法在圆锥曲线中的理论考点一中点弦所在直线的斜率与方程考点二由弦中点求弦长考点三求圆锥曲线的方程问题考点四求圆锥曲线的离心率问题考点五弦中点的坐标问题考点六求弦中点的轨迹方程问题考点七曲线上两点关于直线对称问题考点八弦中点存在性问题考点一中点弦所在直线的斜率与方程1．（2023上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．4【答案】A【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为，则，，相减得到，即，解得.故选：A.2．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B3．（2023上·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是【答案】【分析】分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．【详解】椭圆即，设弦的两端点分别为,，,，则，则，，两式作差可得：，．直线过点，这条弦所在直线的方程是，即．故答案为：．4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C5．（2023上·宁夏·高二六盘山高级中学校考期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为.【答案】/0.5【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.【详解】由题意，为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，设，线段AB中点为，∴，，∴即∴直线AB的斜率为：故答案为：6．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程．【详解】，在椭圆内部，易得直线的斜率存在，设的斜率为，由题意得，两式相减得，则，得.故的方程为，即.故选：C．7．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为.【答案】【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.【详解】设，，由题意，因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，，整理得，，即直线的斜率，直线的中点为，，，所以直线的方程为，化简得.故答案为：.8．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为.【答案】【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，设点、，因为若弦的中点为，则，因为，可得，即，所以，，因此，直线的方程为，即.联立可得，，所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，因此，直线的方程为，故答案为：.9．（2023上·湖北·高二随州市曾都区第一中学校联考期中）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为．【答案】【分析】设，线段的中点为，利用点差法可得，设直线的方程为，得到的坐标，可得，进而可得，再利用求出，则可得到的方程.【详解】设，线段的中点为，由，相减可得，则，设直线的方程为，，，解得，，，化为，，得，的方程为，即.故答案为：.10．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，该直线方程为【分析】（1）设椭圆上一点，，表达出，得到，结合离心率得到，求出椭圆方程；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果．【详解】（1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为，设椭圆上一点，，则，故，，因为，所以，，故，故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以，联立与，解得，故，故椭圆的方程为．（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，直线方程为，即．所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为．11．（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．(1)求的方程；(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、以及点在椭圆上列式，求出与可得椭圆的方程；（2）根据点差法求出直线的斜率，再根据点斜式求出方程即可.【详解】（1）由题可知，解得，，，故的方程为．（2）设，，则则，即．因为线段的中点坐标为，所以，，则．故直线的方程为，即．12．（2023上·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法即可求得关系，进而求得的值.【详解】设，则，两式相减得又，，则，则，.故选：A13．（2023下·四川巴中·高三校考期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k=．【答案】/【分析】联立直线y=kx+1与双曲线的方程，得到韦达定理，根据中点坐标即可求解.【详解】联立直线y=kx+1与双曲线可得，即，∵，直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵线段AB的中点横坐标为1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k，故答案为：．14．（2023下·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程.【详解】设，，则，由点差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A．考点二由弦中点求弦长15．（2023上·河北·高二校联考期中）已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程.（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设，则，因为，则，因为P在圆C上，所以，故E的方程为．（2）设，，若A，B是E上两点，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，则直线AB的方程为．联立方程组，整理得，其中，则，，．16．（2023上·高二课时练习）若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用中点弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直线方程，联立方程组，结合弦长公式，即可求解.【详解】设，因为弦的中点为，可得，又因为在椭圆上，可得，两式相减可得，可得，即直线的斜率为，所以弦的直线方程为，即，联立方程组，整理得，可得，由弦长公式，可得.故选：A.17．（2023下·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长【答案】【分析】根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可.【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设，联立抛物线得，，故，，所以，即，则.故答案为：18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为．【答案】【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算.【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：.直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾；直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾.故直线斜率存在且非零.设直线方程为，联立，得到，由.设，由题意，，即，的纵坐标为，即.根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支.由，得到，显然满足判别式条件：.由，于是故答案为：19．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，设，联立，整理得，所以所以，因为线段中点的横坐标为，所以，所以，所以，故选：B.20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为．【答案】6【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解.【详解】解：设，，AB中点，设斜率为k，则，相减得：，∵，即，设抛物线的焦点为F，，∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，此时满足在抛物线内部，∴的最大值为6，故答案为：6．考点三求圆锥曲线的方程问题21．（2023·高二课时练习）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为．【答案】【分析】求出及其表达式，求出弦的中点坐标和的值，即可求出椭圆的方程.【详解】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，∴即∴.∴，解得：∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.22．（2023上·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为.【答案】【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则，可设椭圆的方程为，设直线与椭圆相交所得弦的端点为，因为相交所得弦的中点坐标为，所以，联立方程组，整理得，易得，则，可得，解得，所以椭圆的方程为.故答案为：.23．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知椭圆焦点在轴上，设出直线方程并与椭圆联立，再由韦达定理以及中点坐标即可求得，可得椭圆方程为.【详解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，所以，所以椭圆的标准方程为．因为直线经过椭圆的上焦点，且直线的斜率存在，所以设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去并整理得，设，则，又，所以可得，所以椭圆的标准方程为．故选：B．24．（2023上·山西太原·高二山西大附中校考期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．【详解】如图所示：因为椭圆E的右焦点为，所以，不妨设，由题意等价于是的中点，所以，又点在椭圆E上面，所以，进一步有，即，所以直线的斜率可以表示为，又、在直线上，所以直线的斜率为，从而，所以解得，即E的方程为.故选：D.25．（2023上·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.【详解】的中点坐标为，则，设，，则，，相减得到：，即，，又，，解得，，椭圆的方程为.故选：C.26．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.【详解】设，则，两式作差得所以若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以解得，所以C的方程为故选：C27．（2023上·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．【答案】【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，得的中点为，则，由且，两式相减得，则，即，所以，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．28．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.【答案】（答案不唯一）【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.可取，则满足条件的抛物线方程为.故答案为：（答案不唯一）考点四求圆锥曲线的离心率问题29．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为，有，，设，，的中点为，，．，．由，．两式相减得，即，，可得：，，化为：，解得，，．故选：A．30．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解.【详解】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D.31．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得，进而可得.【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，得，所以，故椭圆的离心率.故选：B.32．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为．【答案】/【分析】设，求出的斜率，利用点差法求出直线的斜率，在根据题意求出之间的关系即可得解.【详解】，设，因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，所以，则，由直线l与C相交于A，B两点，得，两式相减得，即，所以，即，所以，则，所以，所以离心率.故答案为：.33．（2023上·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．【答案】【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，将两点代入椭圆可得，两式作差可得，即，又中点坐标是，所以，所以，令，则，所以，所以，故答案为：34．（2023上·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果.【详解】关于直线对称，，又中点纵坐标为，中点横坐标为；设，，则，两式作差得：，即，；又，，，解得：，椭圆的离心率.故选：A.35．（2023上·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率.【详解】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B36．（2023·河南·校联考三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得.【详解】因为直线，所以，由题可知的垂直平分线的方程为，将与联立可得，即的中点坐标为．设，，则，且，，两式作差可得，即，所以，则双曲线的离心率为．故选：D37．（2023下·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.【详解】设，，，则，两式相减得，即，所以，因为是垂直平分线，有，所以，即，化简得，∵，∴.故答案为：38．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】．【分析】设，，根据题意利用两点坐标表示斜率公式和中点坐标公式可得；由点差法可得，进而，结合离心率的概念即可求解.【详解】设，，则，所以，得.将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，两式相减，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以椭圆的离心率的取值范围为.故答案为：.考点五弦中点的坐标问题39．（2023上·高二课时练习）直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.【详解】设弦为,,由，消去y得，即.，，所以弦的中点的横坐标是，代入直线方程中，得.所以弦的中点坐标是.故选：A.40．（2023·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为.【答案】【分析】求出直线的方程，再与椭圆方程联立求解即得.【详解】直线l的方程为，由消去y得，显然，即直线与椭圆相交，设交点，则，于是线段中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的中点坐标为.故答案为：41．【多选】（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则（

）A．的周长为20 B．的面积为C．线段中点的横坐标为 D．线段的长度为【答案】ACD【分析】利用椭圆的定义判断A；联立直线与椭圆方程，求出弦中点横坐标及弦长判断CD；求出面积判断B作答.【详解】依题意，直线过椭圆的左焦点，椭圆长轴长，所以的周长，A正确；由消去y得：，设，则，，因此线段中点的横坐标为，C正确；线段的长度为，D正确；点到直线的距离，所以的面积为，B错误.故选：ACD42．（2024·陕西宝鸡·校考一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，设直线的斜率为，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.43．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为.【答案】【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果.【详解】由题意可知：直线：的斜率为，可知直线的斜率，设，则线段中点的坐标，可得，，因为A，B为双曲线C：上的两点，则，两式相减整理得，即，解得，即直线，联立方程，解得，可知线段中点的坐标为.故答案为：.考点六求弦中点的轨迹方程问题44．（2023上·高二课时练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分【分析】设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线与椭圆方程，由求出的取值范围，再列出韦达定理得到，消去参数，即可得到轨迹方程.【详解】

如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得．当判别式，即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在．因为，，从而，这就是中点的轨迹的参数方程（其中）．消去得，，由，及，可得，点的轨迹方程为，，即点的轨迹是直线在椭圆内的部分．45．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.【答案】（或）.【分析】可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得，再消元求解即可.【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，.由得.则，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中点的轨迹方程为（或）.46．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为．【答案】/【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.【详解】设斜率为直线方程为：，代入椭圆中，消元整理得：，线段的中点为，设，则，所以，，所以，消去得：，所以线段的中点为的轨迹方程为：，如图所示：的轨迹即为线段，由或，所以，所以的轨迹长度为：，故答案为：.47．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【答案】【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围.【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．由题意知，则，∴点的轨迹方程为．又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.考点七曲线上两点关于直线对称问题48．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】设，利用点差法得到，结合得到，联立得到，点M应在椭圆C的内部，得到不等式，求出m的取值范围.【详解】设是椭圆C上关于直线l：对称的两个点，是线段PQ的中点，则，两式相减，得.∵，，∴.∵，∴，故，联立，解得，∴.∵点M应在椭圆C的内部，∴，解得.∴实数m的取值范围是.故答案为：.49．（2023上·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得．【详解】椭圆，即：，设椭圆上两点关于直线对称，中点为，则，，所以，∴，∴，代入直线方程得，即，因为在椭圆内部，∴，解得，即的取值范围是．故选：A．50．（2023上·江苏泰州·高二统考期中）已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，，设，，的中点，，①－②，，，则椭圆E的方程：；（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，，，PQ中点，，，，，即，由N在l上，，此时，故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．51．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为.【答案】【分析】设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可．【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.52．（2023·上海·高三专题练习）若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.【答案】【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解.【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意；当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，而，，所以，则①②得：，，，中点在直线上，，于是，中点在抛物线区域内，，即，解得：，综上可知，所求实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力.53．（2023·高二课时练习）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是.【答案】【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．【详解】解：设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.故答案为：考点八弦中点存在性问题54．（2023上·江苏南通·高二启东中学校考期中）在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得