湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷

2023年湖北省云学名校联盟高一年级12月联考数学试卷及答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x||x−1|≤1}，B={x|2−xx≥0}，则A∩B=A.{x|0<x<2} B.{x|0<x≤2} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤2}2.在下列区间中，函数f(x)=ex+2x−3，则零点所在的区间为A.(−12,0) B.(0,12)3.如果a>b>0，m∈R，那么下列不等式一定成立的是(

)A.ba>b+ma+m B.−1a4.已知函数y=f(12x+1)的定义域是[2,4]，则函数g(x)=f(x)A.(2,3) B.(2,3] C.(2,3)∪(3,6] D.(2,3)∪(3,4]5.函数f(x)=−2ln|x|xA.B.C.D.6.升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为θ1，空气的温度为θ0，t小时后物体的温度θ可由公式θ=θ0+(θ0−θ1)e−kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有A、B两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，A、B两个物体的温度分别为5θA.kAkB=12ln2 7.设f(x)=log12|x|A.f[(37)47]>f[−(47)8.已知函数f(x)=log2(x+2x−2)，g(x)=a⋅4x−2x+1，A.(−∞,log2(3+1)] B.[二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题为真命题的是(

)A.命题“∃x0>1，2x0>x02”的否定是“∀x>1，2x≤x2”

B.“x1>1，且x2>1”是“x1+x10.已知关于x的不等式(2a−m)x2−(b+m)x−1<0(a>0,b>0)的解集为(−1,1A.2a+b=3 B.ab的最大值为18

C.1a+ab的最小值为411.通过对函数f(x)=loga(1−x1+x)，g(x)=logaA.函数g(x)的图象关于原点成中心对称

B.函数f(x)与函数g(x)不是同一函数

C.当0<a<1时，函数f(x)的值域为R

D.当a>1时，令ℎ(x)=g(x)+1，则不等式ℎ(2x+1)>2−ℎ(x)的解集为{x|−1<x<−12.函数f(x)=x2+2x+1,x≤0|log3 x−2|,x>0，若关于x的方程f(x)=t(t∈R)有4个不同的实数解，它们从小到大依次为x1，xA.0<t<1 B.x3⋅x4=81

C.0≤x1三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知f(x)=(m2−2m−2)xm是幂函数，且f(2)<f(1)14.若关于x的方程x2−ax+1=0在区间(34,2)内有实根，则实数15.同构式通俗的讲是结构相同的表达式.如：f(x)=x+ex，f(lnx)=lnx+elnx=lnx+x，称x+ex与

lnx+x16.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且y=f(2x+1)为偶函数，y=g(3x+1)−3为奇函数，对任意的x有f(x)+g(x)=2x+2−x四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10分)求值：(1)(lg18.(本小题12分)已知a∈R，全集U=R，集合A={x|19<3(1)当a=1时，求((2)若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求a的取值范围.19.(本小题12分)已知函数f(x)=ex(1)求实数a的值;(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，若∃x∈(1,2)，使得1+f(x)−me2x=0成立，求实数m20.(本小题12分)已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x−y)=f(x)−f(y)+2，并且当x<0时，f(x)>2.(1)判断并证明f(x)的单调性;(2)当a>0时，求关于x的不等式f(ax2)+2≥f((a+1)x)+f(−1)21.(本小题12分)泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内(以30天计)，每公斤的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=5+1x，日销售量Q(x)(单位：公斤)是时间x(取整数，单位：天)的函数，统计得到以下五个点在函数Q(x)的图象上：(10,50)、(15,55)、(20,60)、(25,55)(1)李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x−m|+b;③Q(x)=a−bx;④Q(x)=a⋅logbx.结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间(2)设该泡泡青个体销售点日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值(四舍五入，精确到整数).22.(本小题12分)已知函数f(x)=x2(1)当0≤x≤1时，函数g(x)的最小值为5，求实数m的取值范围;(2)对于函数ℎ(x)和k(x)，若满足：对∀x1∈D，∃x2∈D，有ℎ(−x1)+ℎ(x1)≤2k(x2)成立，称函数k(x)是答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.

求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可.【解答】

解：由|x−1|≤1，即−1≤x−1≤1，即0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，

由

2−xx≥0，解得0<x≤2，即B={x|0<x≤2}，

则A∩B={x|0<x≤2}.

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了函数零点的判断方法，属于基础题.

由函数的解析式可得f(1【解答】解：函数f(x)=ex+2x−3在R上连续且单调递增，

f(12)=e+1−3<0，

f(1)=e+2−3>0，3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.

取m=0可判断AC；根据不等式的性质可判断BD.【解答】

解：对于A，当m=0时，ba=b+ma+m，故A错误；

对于B，因为a>b>0，所以1b>1a>0，所以−1b<−1a，故B错误；

对于C，当m=0时，a4.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查求抽象函数及具体函数的定义域，属于基础题，属于基础题.

由函数y=f(12x+1)的定义域求得f(x)的定义域，进而结合对数函数的定义域可求【解答】

解：

∵函数

y=f(12x+1)的定义域为

2,4，

∴2≤x≤4,∴1≤12x≤2,∴2≤12x+1≤3由题得x−2>0x−2≠12≤x≤3，

所以2<x<3，所以函数的定义域为(2,3)，

5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.

根据函数的奇偶性及特殊值，结合排除法求出结果.

【解答】

解：函数f(x)=−2ln|x|x的定义域为xx≠0，

且f(−x)=−2ln |−x|−x=2ln|x|x6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查指对数的实际问题，属于中档题.

由已知可得出θ0+(θ1−θ【解答】

解：由题意可得θ0+(θ1−θ0)e−2kA=5θ0θ0+(θ17.【答案】A

【解析】【分析】本题考查利用对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题.

比较出0<3747<473【解答】

解：因为f(x)=log12|x|，

所以f[(37)47]=log123747，f[−(47)37]=log1248.【答案】B

【解析】【分析】本题考查指对数函数的性质，考查一元二次不等式及指数不等式的求解，属于一般题.

fx=log21+4x−2，根据对数函数与复合函数的单调性可得x∈103,6时，f【解答】

解：fx=log2x+2x−2=log21+4x−2，

当x∈103,6，fx在x∈103,6上单调递减，且f103=2,f6=1，

所以x∈103,6时，fx∈1,2.

设ℎa=4x9.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查了存在量词命题的否定、充要条件的判断、复合函数的单调性及对数型函数过定点的问题，属于中档题．

根据存在量词命题的否定判断A，根据不等式的性质及特殊值判断B，根据复合函数的单调性判断C，根据对数型函数性质判断D.【解答】

解：A.命题“∃x0>1，2x0>x02”的否定是“∀x>1，2x≤x2”，故A正确；

B.“x1>1，且x2>1”能推出x1+x2>2x1⋅x2>1，反之不一定成立，例如x1=5,x2=12，故B错误；

C.设t=x2−2x−3，则y=lnt，由t=x2−2x−3>0，解可得x>3或x<−1，

在区间10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式求最值，属于中档题。

由二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式，依次判断选项即可.【解答】

解：由题意，2a−m>0，且方程(2a−m)x2−(b+m)x−1=0的两根为−1和12，

所以−1+12=b+m2a−m，−1×12=−12a−m，

所以2a−m=2，b+m=−1，所以2a+b=1，A错误;

因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥22ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，

所以ab的最大值为18，B正确；

1a+ab=2a+ba+a11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查对数型函数的定义域与值域、考查对数函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于一般题.

先求出函数g(x)的定义域，根据奇偶性的定义可判断A；求出f(x)的定义域，根据对数的运算及同一函数的概念可判断B；分离常数，结合对数函数的性质可判断C；根据函数g(x)的奇偶性可将ℎ(2x+1)>2−ℎ(x)转化为g2x+1>g【解答】

解：对于A，因为g(x)=loga(1−x)−loga(1+x)，

所以函数g(x)的定义域为(−1,1)，

g(−x)=loga(1+x)−loga(1−x)=−g(x)，

所以函数g(x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，故A正确;

对于B，令1−x1+x>0，可得−1<x<1，

所以f(x)的定义域为(−1,1)，

且fx=loga1−x1+x=loga1−x−loga1+x，

所以函数f(x)与函数g(x)是同一函数，故B错误;

对于C，fx=loga1−x1+x=loga−1+21+x，

因为−1<x<1，所以0<x+1<2，21+x>1，−1+21+x>0，

因为0<a<1，所以12.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分段函数的图像，考查基本不等式，属于较难题．

在同一直角坐标系中分别画出函数y=f(x)与函数y=t的图像，由图像可得判断A；根据二次函数与对数函数的图像与性质可得−log3x3−2=log3x4−2，x1【解答】

解：在同一直角坐标系中分别画出函数y=f(x)与函数y=t的图像，如下图所示：

对于A，由图可知：当0<t≤1时，满足函数y=f(x)与函数y=t有四个不同的交点，故A不正确；

对于B，因为log3x3−2=log3x4−2，

所以−log3x3−2=log3x4−2，即log3x3+log3x4=4，即log3x3x4=4，

所以x3x4=34=81，故B正确；

对于C，y=x2+2x+1的对称轴为x=−1，所以x1+x2=−213.【答案】−1

【解析】【分析】本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题目.

根据幂函数定义确定m的取值，再根据条件f(2)<f(1)得到结果.【解答】

解：由题意可得m2−2m−2=1，解得m=3或m=−1，

又f(2)<f(1)，函数在第一象限单调递减，所以m=−1.

14.【答案】[2,5【解析】【分析】本题主要考查方程的根以及函数的单调性和最值的运用，属于中档题.

由题意可得a=x+1x，再根据函数的单调性结合最值可得a【解答】

解：由题意可得：a=x+1x区间(34,2)内有实根，

由于函数y=x+1x在(34,1]上是减函数，在(1,2)上是增函数，

∴当x=1时，y取得最小值2，

∵当x趋近于34时，y趋近于2512，x趋近于215.【答案】8

【解析】【分析】本题考查函数的新定义，考查对数式的化简，考查指对互化，属于中档题.

由f(x)=x+ex并结合已知条件易得f(x1)=10，f(ln(3x2+2))=10【解答】

解：因为f(x)=x+ex，ex1+x1=10，

所以f(x1)=10，

又ln33x2+2+x2=13ln(3x2+2)+x2=83，

所以ln(3x2+2)+3x2=8，

所以ln(3x216.【答案】3364【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性与对称性，属于较难题.

由题意，得y=f(x)的图象关于直线x=1对称，y=g(x)关于点(1,3)对称，求出函数的解析式，从而求出f(0)，g(2)即可.【解答】

解：y=f(2x+1)为偶函数，即f(2x+1)=f(−2x+1)，

故y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(2−x)=f(x)，

y=g(3x+1)−3为奇函数，即g(−3x+1)−3=−g(3x+1)+3，故y=g(x)的图象关于点(1,3)对称，

所以g(2−x)=6−g(x)

∀x∈R，均有f(x)+g(x)=2x+2−x，故f(2−x)+g(2−x)=22−x+2−2+x，

所以f(x)+6−g(x)=22−x+2−2+x，

与f(x)+g(x)=2x17.【答案】解：(1)原式=(94)13×1213【解析】本题考查指数幂的运算，对数的运算，属于基础题.

(1)利用指数幂的运算法则即可得出答案；

(2)利用对数的运算法则即可得出答案.18.【答案】解：(1)A=x|1即

A=(a−2,a+3]

.当

a=1

时，

A=(−1,4],由

log13(2x−1)≥0,

，得

0<2x−1≤1

，解得

1∁UB=(−∞,12]∪(1,+∞)(2)由

x∈B

是

x∈A

的充分不必要条件，可知集合

B

是集合

A

的真子集．所以

a−2≤12a+3≥1

(解得

−2≤a≤52经检验符合集合

B

是集合

A

的真子集，所以a的取值范围是

−2,5【解析】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题.

(1)根据指数和对数函数的单调性解不等式，即可根据集合的运算求解，(2)根据充分不必要条件，转化为集合间的关系分析即可求解.19.【答案】解：(1)因为f(x)为奇函数，

所以f(x)+f(−x)=ex−ae−xex+ae−x+e−x−aexe−x+aex

=e2x−ae2x+a+1−ae2x1+ae2x

=e2x(2−2a2)(e2x+a)(1+ae2x)=0，

所以2−2a2=0，解得a=±1.

当a=1时，【解析】本题考查指数型函数的图像与性质，考查函数的奇偶性，属于一般题.

(1)根据f(x)+f(−x)=0，可得2−2a2=0，求解即可；

(2)由(1)可得a=1，由1+f(x)−me20.【答案】解：(1)令x=y=0，解得f(0)=2，

又当x<0时f(x)>2，可判断f(x)为减函数，

证明如下：∀x1,即f(x因为x1<x所以f(x1−即f(x1)>f(x(2)原不等式可化为f(ax即：f(ax因f(x)单调递减，故ax即：ax(ax−1)(x−1)≤0，当0<a<1时，有1a>1当a=1时，1a=1当a>1时，0<1a综上：当a=1时，解集为1;当0<a<1时，解集为x|1≤x≤1a;【解析】本题考查函数的单调性和利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

(1)先赋值求得f(0)=2，可判断f(x)为减函数，再利用单调性定义证明；

(2)利用已知，将原不等式化为f(ax2)−f((a+1)x)+2≥f(−1)，进一步化为f(ax2−(a+1)x)≥f(−1)21.【答案】解：(1)由题可知，Q(x)图象上五点关于x=20对称，且不单调，

故选第②种函数模型，即Q(x)=a|x−m|+b，此时m=20，

将(10,50)，(15,55)，(20,60)三点代入Q(x)解析式中，

可得a10−20+b=50a15−20+b=5560=b，解得b=60a=−1.

∴Q(x)=−|x−20|+60(1≤x≤30，且x∈N).

(2)当1≤x≤20时，Q(x)=−|x−20|+60=−(20−x)+60=40+x，

销售点的销售收入：f(x