成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。复数满足为虚数单位），则的虚部为（)A。 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，，故的虚部为。故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力,是一道基础题。2.设全集集合，则（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又,所以。故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.3.某中学有高中生人,初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本。若样本中高中生恰有人，则的值为（）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可。【详解】由题意，,解得。故选:B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可。【详解】由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D。【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题。5.已知锐角满足则（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用代入计算即可【详解】由已知，，因为锐角，所以，，即.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力,是一道基础题。6。函数在的图象大致为（)A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】由可排除选项C、D；再由可排除选项A。【详解】因为，故为奇函数，排除C、D；又，排除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题。7.执行如图所示的程序框图,则输出的值为(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环。【详解】第一次循环：;第二次循环：；第三次循环：，退出循环,输出的为。故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果,要注意在哪一步退出循环,是一道容易题.8.已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A。 B.C。 D。【答案】C【解析】【分析】,将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，,令，得。故选：C。【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.9.如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A. B.C. D。【答案】A【解析】【分析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率。故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时,最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.10。在正方体中,点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点,同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值。【详解】如下图所示:设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，四边形为平行四边形，且,且，且，则四边形为平行四边形，，平面，则存在直线平面，使得,若平面，则平面，又平面，则平面，此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四边形为平行四边形,可得,为的中点，同理可证为的中点,,，因此，。故选：B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算,涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力,属于中等题.11。已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为(）A. B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】首先将转化为，只需求出的取值范围即可,而表示可行域内的点与圆心距离,数形结合即可得到答案。【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则，过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D。【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题,涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题。12.已知函数，。若存在,使得成立，则的最大值为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增,进而可得出，由此可得出，可得出,构造函数,利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】，，由于，则,同理可知，，函数的定义域为，对恒成立,所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，,则,，则，构造函数，其中，则.当时,，此时函数单调递增；当时,，此时函数单调递减.所以，。故选：C。【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.第Ⅱ卷（共90分)二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数为________________．【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果。【详解】的展开式的通项为，令，因此，的展开式中的系数为。故答案为：。【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.14.在中，内角的对边分别为,已知，则的面积为___________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得，即,解得,故的面积。故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15。已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程,解方程即可解决。【详解】由已知，，解得，如图所示,设底面等边三角形中心为，直三棱柱的棱长为x，则，，故,即,解得，故三棱柱的侧面积为。故答案为：。【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题。16.经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点(点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点。设直线与椭圆的另一个交点为。则的值是________________．【答案】【解析】【分析】作出图形，设点,则、,设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出,进而可得出,可得出，由此可求得的值。【详解】设点,则、，设点,则，两式相减得，即,即，由斜率公式得，,,故,因此，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中角的余弦值的求解,涉及了点差法与斜率公式的应用,考查计算能力,属于中等题。三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17。已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解析】【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；(Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得。【详解】(Ⅰ）设数列的公比为,由题意及，知.、、成等差数列成等差数列，,,即,解得或(舍去）,.数列的通项公式为；（Ⅱ)，.【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力,属于基础题.18.如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面,为的中点。（Ⅰ）求证：平面平面；(Ⅱ）若,求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ）详见解析；（Ⅱ)。【解析】【分析】（Ⅰ)由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）取的中点，连接、，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面,又平面,平面平面;（Ⅱ)取的中点,连接、，是正方形，易知、、两两垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，在中，，，，、、、，设平面的一个法向量，,，由，得，令，则，，。设平面的一个法向量,，,由，得，取,得，，得.,二面角为钝二面角，二面角的余弦值为。【点睛】本题考查面面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力，属于中等题。19.某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润（单位：亿元）(Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年。将(Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率。参考公式：，.【答案】（Ⅰ），该公司年年利润的预测值为亿元；（Ⅱ)。【解析】【分析】（Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程，可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率。【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,，，又，，，关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元），该公司年的年利润的预测值为亿元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年。故这年中被评为级利润年的有年，评为级利润年的有年。记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有年为级利润年”的概率为，。【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.20。已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.（Ⅰ)求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点,求的取值范围。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式,利用不等式的性质可求得的取值范围。【详解】(Ⅰ）在椭圆上，，，，,,，又，，，，椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设点、,联立消去，得，，则，,设圆的圆心到直线的距离为，则.，，，，的取值范围为。【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用,考查计算能力，属于中等题。21.已知函数，其中。（Ⅰ）若，求函数的单调区间;（Ⅱ)设.若在上恒成立，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ)。【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间;（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数,利用导数证明出在上恒成立;在时，经过分析得出,然后构造函数,利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.【详解】（Ⅰ)函数的定义域为.当时，.令，解得（舍去)，。当时,，所以，函数在上单调递减;当时，，所以，函数在上单调递增。因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(Ⅱ)由题意,可知在上恒成立.(i）若，，，,构造函数，，则，，，.又，在上恒成立。所以，函数在上单调递增,当时，在上恒成立.(ii）若,构造函数，。，所以，函数在上单调递增。恒成立，即，，即。由题意，知在上恒成立。在上恒成立。由（Ⅰ)可知，又，当，即时，函数在上单调递减，,不合题意,,即.此时构造函数，.,，，，恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立。综上,实数的最大值为【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题。请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。22。在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的直角