28.2.2　应用举例 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.2.2

应用举例（第1课时）学习新知问题思考

如图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6

m的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?(2)当梯子底端距离墙面2.4

m时，α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?例3：

2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图所示，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，取3.142结果取整数）

分析：从组合体上最远能直接看到的地球上的点，应该是视线与地球相切时的切点．·OQFPα

如图所示，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点．弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ

的长需先求出∠POQ（即a）的度数.解：设∠POQ=a，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴弧PQ的长为

由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.·OQFPα

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）?分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°.Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角解：如图所示，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277m.ABCDαβ利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(4)得到实际问题的答案.(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图，将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;检测反馈1.如图所示，由D点测塔顶A点和塔基B点的仰角分别为60°和30°.已知塔基高出地平面20米(即BC长为20米)，塔身AB的高为(

)

A.60米

B.40米

C.40米D.20米解析:∵∠ADC=60°，∠BDC=30°，∴∠ADB=30°，∠A=30°，∴AB=BD.在Rt△BCD中，BC=20，BD==40，∴AB=40米，所以塔身的高为40米.故选C.C2.如图所示，一飞机从一地平面指挥台C正上方2000米D处经过，沿水平方向飞行，稍后到达B点，这时从地平面指挥台看飞机的仰角为45°，1分钟后，飞机到达A点，这时从地平面指挥台看飞机的仰角为30°，则飞机从B到A的速度(精确到1米)是(

)

A.1461米/分B.1462米/分

C.1463米/分D.1464米/分解析:由题意知在Rt△ADC中，AD=2000米，在Rt△BDC中，BD=CD=2000米，则AB=(2000-2000)米，由此求得飞机的速度约为1464米/分.故选D.D3.如图所示，从山顶A处看地面C点的俯角为45°，看地面D点的俯角为30°，测得CD=100米，求山AB的高度.(结果保留根号)解:设山AB的高度为x米，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，

∴BD=

x，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，

∴BC=x，

∴CD=DB-BC=

x-x=100，

∴x=50

+50.答:山AB的高度为(50

+50)米.人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.2.2

应用举例（第2课时）学习新知问题思考

如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决:如图所示，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6

m，坝高23

m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.例5

如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时，它距离灯塔P大约130n

mile．65°34°PBCA认识有关概念:坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示.即

，常写成i=1∶m的形式.坡角:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【思考】坡度i与坡角α之间具有什么关系?(

=tan

α)

解决课前导入问题:如图所示，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6

m，坝高23

m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α(精确到1')，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1

m).【解析】(1)进行和坡度有关的计算，常作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度概念及梯形的高，可以求出AE，DF的长.(3)由矩形性质可得EF与BC的数量关系，求出EF的值，从而求出AD的长.(4)在Rt△ABE中，由勾股定理或三角函数定义可得AB的长.解:在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)，

FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).∵斜坡AB的坡度i=tan

α=≈0.3333，∴α≈18°26'.在Rt△ABE中，AB=

≈72.7(m).(1)解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比，即

，一般写成i=1∶m的形式(比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式).(3)坡度i与坡角α之间的关系为i=tan

α.(4)坡角越大，坡度越大，坡面越陡.[知识拓展]

检测反馈1.测得某坡面垂直高度为2

m，水平宽度为4

m，则坡度为(

)

A.1∶

B.1∶

C.2∶1

D.1∶2解析:由坡度等于坡面垂直高度与水平宽度的比得坡度为2∶4=1∶2.故选D.D2.某人上坡沿直线走了50

m，他升高了25

m，则此坡的坡度为(

)

A.30°

B.45°

C.1∶1

D.1∶解析:如图所示，AC=

(m)，由坡度公式得i=

=1∶1.故选C.C3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行

小时到达B处，那么tan∠ABP为

.

解析:∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA=20海里，∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB=90°，BP=60×=40(海里)，∴tan∠ABP=.故填.解析:在Rt△ABC中，cos∠ACB=，设BC=4x，AC=5x，则AB=3x，则sin∠ACB=，又∵AB=6m，∴AC=10m.故填10.4.如图所示，市政府准备修建一座高AB=6

m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为

m.

105.如图所示，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.(精确到0.1海里/时，参考数据:

≈1.41)解:如图所示，设乙船的速度为x海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，作PQ⊥BC于