山东省日照市2024届高三上学期12月校际联合考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省日照市2024届高三上学期12月校际联合考试数学试题一､单项选择题1.若集合，，则集合（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对集合：，解得；对集合：，解得，故可得.故选：D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得:，的虚部为.故选：C.3.已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗因为两条渐近线互相垂直，故可得，又因为焦距为，故可得，结合，解得，故实轴长.故选：B.4.已知角的终边上有一点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗角的终边上有一点，根据三角函数定义得，所以.故选：C5.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定义在上的奇函数，由，得，则函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以.故选：D.6.直三棱柱的各个顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，三角形的外心是，外接圆半径，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圆半径，设球心为，连接，，，在中，求得球半径，此球的表面积为．故选：B．7.若过可作的两条切线，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，切线的斜率，则切线方程为：，把点代入可得，化为：，则此方程有大于0的两个实数根．则，即，则，故选：A．8.已知实数，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，设直线：恒过原点，点，那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以.故选：A.二､多项选择题9.已知，则（）A.有最大值 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值4〖答案〗ABD〖解析〗由，对于A中，由，可得，可得，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以A正确；对于B中，由，因为有最大值，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以C不正确；对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以D正确；故选：ABD.10.已知数列中，则（）A.的前10项和为B.的前100项和为100C.的前项和D.的最小项为〖答案〗BC〖解析〗A.易知，则，，，两式相减得，，，则，故错误；B.易知，则其前100项和为，故正确；C.，故正确；D.易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误；故选：BC11.已知函数且，则（）A.当时，恒成立B.当时，有且仅有1个零点C.当时，没有零点D.存在，使得存在三个极值点〖答案〗AB〖解析〗A选项，当时，要证明，即证明，即证明，即证明，设，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以A选项正确.B选项，当时，单调递减，，所以存在唯一零点，所以B选项正确.C选项，当时，由得，，，当时，由A选项的分析可知，，因此由两个零点，所以C选项错误.D选项，，令得，两边同时取对数得，设，，令得，则在上单调递减，在上单调递增，所以最多有两个零点，所以最多有两个极值点，所以D选项错误.故选：AB.12.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（）A.若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是B.若在线段上运动，则的最小值为C.若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为D.若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对A，如图所示，由于，可知即为异面直线与所成角，设连接，设，则在中，，故A正确；对于B，将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示，由图可知，线段的长度即为的最小值，中，，故B错误；对于C，如图当为半圆弧的中点时，三棱锥的体积最大，此时，三棱锥的外接球球心是的中点，连结，则半径的长为，其表面积为，故C正确；对于D，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图，，则平面与正方体过点A的三条棱所成的角相等，当点分别为棱的中点，连结，可得平面平行于平面，且为正六边形，此时该截面是最大截面，由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确.故选：ACD.三､填空题13.设函数，则__________.〖答案〗-1〖解析〗因为，所以故〖答案〗为：-1.14.在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.〖答案〗〖解析〗由题设，则，所以，而，则，则，故.故〖答案〗为：.15.已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.〖答案〗〖解析〗，，，又，，；可猜想：；当时，成立；假设当时，成立，那么当时，，，，；综上所述：当时，；，，解得：，使得成立的最小正整数为.故〖答案〗为：；.16.某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为__________.〖答案〗〖解析〗如图，补齐为正方体，设，，，则，解得，，，即该石雕所在正方体棱长为.以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，所以点到平面的距离为，即该石雕最高点到地面的距离为.故〖答案〗为：.四､解答题17.函数的部分图象如图所示.（1）求函数的〖解析〗式；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.解：（1）观察图象可得，函数的周期，解得，即，由，得，即，，而，则，所以函数的〖解析〗式是.（2）将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，因此在上的值域为.18.如图，凸四边形中，.（1）若，求的长；（2）若该四边形有外接圆，求的最大值.解：（1）在中，由，得，则，在中，由余弦定理得，所以.（2）由四边形有外接圆，得，令此圆直径为，由正弦定理得，又，则，而，因此，设，则，在中，由正弦定理，得，则，在中，同理得，因此，由，得，则当，即时，取得最大值1，所以的最大值是.19.已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．（1）证明：因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面．（2）解：由（1）知，平面，故为与平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即为线段的中点．取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角．在等边三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为．20.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为当时，令得，解得，令得，解得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2），由得①当时，，函数在上单调递增，所以，即，函数在上没有零点.②当时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增因为，所以函数在有两个零点只需解得，综上所述，实数的取值范围为.21.某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？解：（1）题意得构成首项，公差的等差数列.故（万元）.构成首顶，公比的等比数列，故万元.于是，（万元）.（2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列.当时单调递减，（万元）.所以（万元）；当时，（万元）；当时，（万元）.所以，当时，恒有.故该企业需要在第12年年初更换A型车床.22.已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且．（1）求的值；（2）设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值．解：（1）由题意得，所以抛物线C的方程为．由得．过B作于点，过A作于点，，且，由抛物线定义知，，所以，即．（2）设点，所以，所以，解得，所