辽宁省部分学校2023-2024学年高二上学期12月联合考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省部分学校2023-2024学年高二上学期12月联合考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得，所以的共轭复数为.故选：B2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为.故选：A.3.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，故C项正确，故选：C.4.如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接.由重心的性质可知，且三点共线.因为，所以.所以在基底下的有序实数组为.故选：5.已知终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，故.又因为，所以，所以，所以，所以，故D项正确.故选:D.6.设分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交于两点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设，则.由椭圆定义可得，则在中，由余弦定理得:即，解得，则.在中，由余弦定理得又，所以，所以离心率.故选：A.7.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若为线段的中点，且，则该半正多面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为，则，所以，所以，解得，则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为，即，则外接球的表面积为.故C项正确.故选：C.8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的〖答案〗是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，，是的角平分线，交于，满足若为的费马点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，，由是的角平分线，交于，设到两边的距离为，则，故.已知的三个内角均小于，则点与的三个顶点的连线两两成角，所以.，所以，所以.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则下列选项满足的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为是定义域为的奇函数，且在单调递减，且，所以，且在上单调递减，所以当时，，不满足题意；当时，由，可得，所以；当时，由，可得，所以.综上，的解集为.故选:.10.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点是图像的对称中心B.直线是图像的对称轴C.的图像向右平移个单位长度得的图像D.在区间上单调递减〖答案〗ABD〖解析〗由题意可知，解得，所以，解得.将代入中，得，解得，因为，所以当时，，所以.对于A项，，所以点是图像的对称中心，故A项正确；对于B项，，所以直线是图像对称轴，故B项正确；对于C项，的图像向右平移个单位长度得的图像，故C项错误；对于D项，当时，，所以在区间上单调递减，故D项正确.故选：ABD11.已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（）A.点坐标为B.当直线与直线平行时，C.动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆D.的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为直线，可化为，由，解得，所以过定点，故A正确；对于B，当直线与直线平行时，因为直线的斜率为，所以直线的斜率也为时，则，解得：，此时，即与直线平行，故B项正确；对于C，圆心到直线的距离为，则，解得，设的中点为，，为的中点，，点在圆上，，，，即，化简可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；对于D，点到圆心的距离为，在圆内，的取值范围为，取值范围为，故D项正确.故选：ABD.12.在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（）A.平面B.在圆锥的侧面上，点A到的中点的最短距离为C.二面角的余弦值为D.记直线与过点的平面所成角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆〖答案〗BD〖解析〗对于A项，假设平面，因为平面，平面平面，所以，由题意得不与平行，所以假设不成立，则不平行平面，故项错误；对于项，将侧面铺平展开得，因为，所以，故，，底面圆周长，所以，则，所以点A到中点的最短距离为，在等边三角形中，，故B项正确；对于C项，因为，，则，所以，所以，同理，又，所以四面体为正四面体，取的中点，连接，则⊥，⊥，则即为二面角的大小，其中，由余弦定理得，即二面角的余弦值为，故C项错误；对于D项，设圆锥的轴截面顶角，则，由题意得，因为，所以，又在上单调递减，故，此时平面与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆，D正确.故选：.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，若，则的坐标是__________.〖答案〗〖解析〗因为，设则，所以，则，即.故〖答案〗为：14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗函数有两个零点，即与的图像有两个交点.令，作出与的大致图像如图所示，由图可知，则，故实数的取值范围是.故〖答案〗为：15.已知函数在区间内不存在对称轴，则的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，因为在区间内不存在对称轴，所以，解得，当时，；当时，；当时，不成立，即，故〖答案〗为：.16.如图，已知直线是之间的一个定点，点到的距离分别为是直线上一个动点，过点作，交直线于点，平面内动点满足，则面积的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由，得.取的中点的中点，有，则.设，由于，，而，则，由，，得，则，当且仅当，即时取等号，此时的面积的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.（1）求的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.解：（1）因为，所以，所以，设，则，解得.因为点在上，所以，所以，所以.（2）由（1）知，所以直线的方程为，又，所以直线的方程为，即.由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.设为的角平分线所在直线上任一点，则有，若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.所以，即，所以的角平分线所在直线的方程为.18.已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.（1）求的方程；（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.解：（1）由已知得，离心率，得，则的方程为.（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，所以设直线的方程为显然存在，，联立消去得，因为直线过点，所以显然成立，且，因为.，化简得，解得或（舍），所以直线的方程为或.19.如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面.（1）求证：四点共面，并确定点位置；（2）求异面直线与之间的距离；（3）作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.解：（1）因为面面，面面，所以，所以四点共面.又，所以为中点.（2）连接，因为面面，所以，因为，所以，又，所以面，又面，所以.所以线段即为异面直线与之间的距离，易得，即异面直线与之间的距离为.（3）如图，在线段上分别取点，使得，连接点，则四边形即为所求.又，所以该截面的周长为.20.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若，点在线段上且满足，当取最小值时，求的值.解：（1）由题得，由正弦定理得，又由，可得，所以，即，因为，可得，所以，即，因为，所以，所以，故，（2）在中，由正弦定理得，即，解得，则，因为，由余弦定理得，所以当时，取到最小值.21.如图①，在矩形中，为边的中点.将沿翻折至，连接，得到四棱锥（如图②），为棱的中点.（1）求证：面，并求的长；（2）若，棱上存在动点（除端点外），求直线与面所成角的正弦值的取值范围.解：（1）取的中点，连接，如下图，因为分别为的中点，所以且.又且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.在中，，所以.（2）取的中点，连接，易得.在中，，且，则，即.因为面，所以面.取的中点，连接，则，以为原点，方向分别为轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系，，设，则有，所以.因为，设平面的一个法向量，则取，可得.设与平面所成角为，则.设，所以，因为，因为，所以，所以，所以.即与平面所成角的正弦值的取值范围为.22.已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线与双曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在焦点所在的坐标轴上是