青海省西宁市大通县2024届高三上学期期末数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2024届高三上学期期末数学试题（理）第I卷一、选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B.2.复数，满足，则（）A. B. C.-3 D.-4〖答案〗D〖解析〗由题意得，则，故.故选：D.3.已知向量，不共线，，，，则（）A. B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，则解得.故选：A.4.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，当时，，，即切点坐标为，切线斜率为，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.5.在等差数列中，，则的前15项和（）A.15 B.45 C.75 D.105〖答案〗C〖解析〗设的公差为d，则，则，故.故选：C.6.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（）A. B.C. D.平面〖答案〗C〖解析〗如图，记正方体的另一个顶点为C，连接，交于点O，设的中点为，连接，因为Q，D为的中点，则，又因为交于同一点，即与均不平行，故A，B错误；对于选项D：若平面，且平面，平面平面，可得，这与与不平行相矛盾，假设不成立，故D错误；对于选项C：因为正方形，则，且M，N为所在棱的中点，则，可得，又因为平面，且平面，可得，且，平面，所以平面，由平面，所以，故C正确；故选：C.7.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，，得，，对A，令，则，则，故A正确；对BCD，令，，结合A选项中，则BCD错误；故选：A.8.三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，共有种方法，其中三个项目都有学生参加的方法有种，故所求的概率为.故选：D9.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.3 B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，可知的图象关于直线对称，且是定义在上的奇函数，则，且，即，可知是以8为周期的周期函数，因为当时，，可得，则.故选：C.10.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，O为坐标原点，P是C右支上一点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知，O为的中点，且，所以.由解得则，.故选：B.11.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则.设，则，当时，，单调递减.因为，所以当时，，则在上单调递减.又，所以，即，则，从而.故选：C.12.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（）A.216 B.228 C.384 D.486〖答案〗A〖解析〗先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有种不同的挂法.故选：A第Ⅱ卷二、填空题13.设x，y满足约束条件，则的最小值为___________.〖答案〗2〖解析〗由约束条件作出可行域，如图阴影部分，结合图可知，平移直线，当平移到经过点A时，直线：在y轴上的截距最小，即取得最小值，联立，得，即，将的坐标代入直线，即得的最小值为2，故〖答案〗为：214.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是E上一点，若的周长为6，则___________.〖答案〗2〖解析〗由题可知，解得.故〖答案〗为：2.15.在数列中，，对任意，.若，，则___________.〖答案〗3〖解析〗令，可得，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，解得.故〖答案〗为：3.16.已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，此时点，，，在同一球面上，且，则该球的表面积为___________.〖答案〗〖解析〗由和为全等的等边三角形，设，分别为线段，的中点，连接，，，则，，设为的外心，为的外心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两垂线交于点，则为该球的球心，连接，知和全等，点在线段上，在中，，则，又，，所以，外接圆半径为，所以，因为和相似，所以，解得，设该球的半径为，连接，所以，则该球的表面积为.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由余弦定理可得，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，解得.因为，所以.综上，的取值范围为.18.家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具、家电、建材、装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来，家居消费一直是居民消费的重要组成部分，对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动，统计了半个月以来天数x与销售额y（万元）的一组数据：.通过分析发现x与y呈线性相关.（1）求x与y的样本相关系数r（结果保留三位小数）；（2）求x与y的线性回归方程（，的结果用分数表示）.参考公式：相关系数，，.参考数据：，，，.解：（1）依题意，，，所以.（2）因为，则，所以y关于x的线性回归方程为.19.如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别为，的中点，平面与棱相交于点G.（1）求；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）设平面与棱相交于点，连接，，，，则平面截正方体的截面为五边形.因为平面平面，平面，所以平面，且DE在平面DEF内，平面平面，所以，同理得，因为E，F分别为，的中点，若是中点，由正方体性质易得，所以，则，且，故.由得，即，则，所以.（2）以A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，得，可得，故直线与平面所成角的正弦值为.20.已知函数.（1）证明：.（2）若关于不等式有解，求的取值范围.（1）证明：.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故.（2）解：由题意可得不等式有解因为，所以当时，等号成立，所以.故的取值范围为21.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.解：（1）抛物线的焦点，设，由消去x得，则，，由点F是的重心，得，则，而点C在上，于是，又，所以.（2）当时，的方程为，设，，，直线的斜率，同理得直线的斜率，直线的斜率，直线AB的方程为，化简得.而直线AB过点，即，显然，则，又，即，于是，整理得，直线AC的方程为，化简得，将代入，得，令，得，直线AC过定点，设线段ME的中点为G，则G的坐标为，因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，因为，所以D的轨迹方程为（且）.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（a为参数），直线的参数方程为（t为参数）.（1）求C和的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.解：（1）消去参数，由上下两边平方相加可得C的直角坐标方程为.当时，的直角坐标方程为.当时，的直角坐标方程为.（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得.