辽宁省鞍山市2024届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省鞍山市2024届高三上学期期末联考数学试题第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以故选：C.2.在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限.故选：A.3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.『点石成金』：已知双曲线方程求渐近线方程：.4.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（）A.，，依次成公比为2的等比数列 B.，，依次成公差为2的等差数列C. D.〖答案〗D〖解析〗由条件，知，，依次成公比为的等比数列，故AB都错误；又，，所以，所以，故C错误，D正确故选：D．5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以由，，故选：A6.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B.7.为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（）种.A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若甲校分名大学生，此时有种分配方法；若甲校分名大学生，此时有种分配方法.综上所述，共有种分配方法.故选：C.8.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，设，则，若为奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，，即，则有或，故或，即不等式的解集为，故B正确.故选：B.二、选择题9.下列说法中，正确的命题是（）A.已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2<X<4）=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1D.若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2〖答案〗CD〖解析〗A.已知随机变量服从正态分布，，则，所以，所以∴，故A错误；B.线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；D.设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.故选：CD.10.已知，，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗已知，，且，所以，对于A选项，，故错误；对于B选项，，为增函数，所以，故正确；对于C选项，均为正数，且不相等，所以，故正确；对于D选项，，所以，故错误.故选：BC.11.如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上，，F是垂足，G在BD上，，则下列结论中正确的是（）A.B.直线与直线所成角的余弦值为C.直线与平面所成角的余弦值为．D.若平面平面，则〖答案〗AD〖解析〗对于A：由圆柱的性质得：面，面，又是下底面圆的直径又，面，面面，又面，又又，面，面面，又面，A正确；对于B：过点作交于点，如图则就是直线与直线所成角（或补角）设，则中，，在等腰中，，又在中，，，即：在中，，，在中，，，B错误；对于C：取的中点，连接，如图所示则：，面，又面又，面，面面就是直线与平面所成角又，C错误；对于D：在中，，，，又面，面面又平面平面，面，D正确.故选：AD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的一个周期为 B.函数在上单调递增C.函数的最大值为 D.函数图象关于直线对称〖答案〗ABD〖解析〗由由知，A正确；由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；关于直线对称，故D正确.故〖答案〗为：ABD第II卷（非选择题）三、填空题13.已知，，若，则______．〖答案〗2〖解析〗已知，，所以，由可得，解得．故〖答案〗为：2.14.已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．〖答案〗〖解析〗由于，所以在圆上，又，故,故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令，故,故，故〖答案〗为：15.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．〖答案〗〖解析〗如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.故〖答案〗为：16.已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．〖答案〗〖解析〗由题意设三棱台为，如图，上底面所在平面截球所得圆的半径是，（为上底面截面圆的圆心）下底面所在平面截球所得圆的半径是，（为下底面截面圆的圆心）由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，设球的半径为，当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；当在的延长线上时，可得，解得，得，因此球的体积是.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知分别为内角的对边，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.解：（1）∵∴即∴∴或∵在中，∴,故∴，即，∴（2）∵的面积为，且由第一问可知：由面积公式得：∴∵由余弦定理得：解得：∴的周长为18.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）当时，，解得，当时，，则，即，又，则，∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，∴数列的通项公式为．（2）由（1）可得：，∴，设，则∴，∴，又，∴19.随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展.某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”.能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.解：（1）设事件A为“从10所学校中选出的1所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．（2）（i）X的所有可能取值为0，1，2，3，“单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．所以，.所以X分布列为：X0123P所以．（ii）设事件B为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，则．——★参考答案★——1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．——★参考答案★——2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.（1）若直线平面，求证：为的中点；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.（1）证明：连接交于点，再连接，由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；（2）解：以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设，则设，，设平面的法向量为，则，即取，则.设平面的法向量，则，即，可得平面的法向量，设平面与平面夹角为，整理得，21.已知椭圆过点，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点.问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.（1）解：因为椭圆过点，其右焦点为所以，即，所以