黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分）．1.若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定〖答案〗A〖解析〗对于平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，所以平行.又表示不同的平面，所以平面与平面平行.故选：A2.直线倾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗化为，斜率为，所以倾斜角为.故选:D.3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率.故选：C4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为，由，解得，，所以，故，故选：A.5.设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（）A.7 B. C.23 D.11〖答案〗B〖解析〗因为为空间的一个标准正交基底，所以，所以．故选：B.6.若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆是以为圆心，以为半径圆，又直线被圆所截得的弦长为，直线过圆心，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选：C．7.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.8.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，设双曲线C的方程为，则有，其渐近线方程为，即，又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，所以双曲线C的方程为，故选：A.二、多选题（每小题5分）9.关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A.离心率为 B.长轴长是C.焦点在轴上 D.焦点坐标为(-1，0)，(1，0)〖答案〗AD〖解析〗将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标为，故D正确；长轴长是故B错误因为所以离心率故A正确.故选：AD.10.在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.则，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴与不垂直的有、、，故选：ACD.11.已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗BC〖解析〗由，得，因为，所以，解得，所以直线恒过定点，因为点，，直线与线段有公共点，所以直线的斜率满足：，即，得，故选：BC12.如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（）A.直线BC与平面所成的角等于 B.点到平面的距离为C.异面直线和所成的角为. D.线段长度的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗由题意得：正方体的棱长为2对于选项A：连接，设交于O点平面即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；对于选项B：连接，设交于O点平面点到平面的距离为,故B正确；对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥故异面直线和所成的角即为和所成的角又为等边三角形，故C错误；对于选项D：过作，过作，连接PQ为异面直线之间的距离，这时距离最小；设，为等腰直角三角形，则，也为等腰直角三角形，则直角三角形故当时，取最小值，故，故D正确；故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分）.13.已知，，且，则______，______.〖答案〗①②〖解析〗，，则，，由，可得，解之得.故〖答案〗为：；.14.若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为________．〖答案〗〖解析〗由解得或，不妨设，所以.故〖答案〗为：15.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的的距离为______.〖答案〗2〖解析〗由题可知点到平面的的距离即为在的投影，，，，，在的投影为，即点到平面的的距离为.故〖答案〗为：.16.已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率为_______．〖答案〗〖解析〗如图所示：取的中点，连接．则．由知，，又因为点到渐近线的距离，所以，即，又，代入化简得，即，解得或（舍去），故．故〖答案〗为：四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分.）17.已知空间三点，，，设，．（1）求；（2）与互相垂直，求实数的值．解：（1）由题设，，所以．（2）由，，而，所以，可得或．18.直线经过两直线和的交点．（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为，求直线的方程．解：（1）由，解得，所以两直线和的交点为．当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为．（2）斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即．综上，直线的方程为或．19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．解：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），则，设平面A1DE的法向量是则，取，∴所以CF∥平面A1DE．（2）是面A1DA的法向量，∴即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．20.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.21.已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.（1）求抛物线C的方程；（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.解：（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又P是线段AB的中点，∴，即故l22.如下图，已知点是离心率为的椭圆：上