江西省部分学校2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江西省部分学校2024届高三上学期期中数学试题高三数学试题卷一、单选题1.已知集合只有一个元素，则a的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.—1〖答案〗C〖解析〗因为集合只有一个元素，所以或或，选C.2.若直线，，则直线间的位置关系是（）A.平行 B.异面或平行 C.相交 D.异面〖答案〗B〖解析〗若直线，，则直线间的位置关系是平行或异面，故选：B.3.若k∈R则“k>5”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若k>5，则所以方程表示双曲线若方程表示双曲线，则所以或综上可知，“k>5”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件所以选A4.若复数z满足，则（）A.3 B.4 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗∵，则，∴.故选：C.5.已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝|log2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，则2m+n的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为f(x)＝|log2x|，0＜m＜n且f(m)＝f(n)，所以，即，所以mn＝1．∴2m+n≥＝，当且仅当2m＝n，即时等号成立．故2m+n的取值范围为.故选：D．6.双曲线：的左，右焦点分别为，，，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因，，所以，则由对称性可知，因为，所以是的中点，则，将代入双曲线，可得，，消去得，故．故选：D.7.已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（）个A.2 B.4 C.6 D.9〖答案〗C〖解析〗由，得，当时，，两式相减得，即，于是，依题意，若，有，则，即是递减数列，由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾，因此，即，于是数列是周期为2的周期数列，当时，由，得，即，从而，所以的可能值有6个.故选：C.8.已知，当时，恒成立，则b的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，即，恒成立，即，即，即．令，，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，，且，即，所以的最小值为，最大值为．由知，，，设，即，则，解得，，所以，因为，，所以，，则，即，所以b的最大值为.故选：A.二、多选题9.已知直线，直线，则（）A.当时，与的交点为 B.直线恒过点C.若，则 D.存在，使〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，直线，直线，联立解得所以两直线的交点为，故A正确；对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当时，，，两直线重合，舍去，当时，直线，直线，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选：ABC.10.在中，，，，是边上的一点，则（）A. B.外接圆的半径是C.若，则 D.若是的平分线，则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项：，故选项正确；对于选项B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圆的半径是，故选项B错误；对于选项C：因为，所以，所以，则，故选项C正确；对于选项D：由等面积法，得即，解得，故选项D正确；故选：.11.设向量满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗将平方得，由，，得，故A正确；由平方得，得，所以，故B不正确；因为，所以，所以，所以，即，故C正确；由选项C可得，，与C同理可得，，，所以，故D正确．故选：ACD12.定义数列，则下列说法正确的是（）A.是单调递减数列 B.C D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，在单调递增，在单调递减，，当且仅当时，，若，又因为，则，则，又因为，所以，所以.对A：设，可得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，，所以，所以，由，当时，，因为，所以，则，同理得，当时，，所以，故数列单调递减，选项A正确；对B：需证明，令，令，则，成立，所以，选项B正确；对C：，设，设，则，所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大，所以，选项C错误；对D：当时，根据选项B可知，，当时，，即，选项D正确．故选:ABD.三、填空题13.已知函数，若，则________．〖答案〗2〖解析〗函数，，，．故〖答案〗为：．14.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形中，，，，，点是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗如图所示，延长至点，作，延长至点，作，过点作，垂足为.，..当点与点重合时，；当点与点重合时，.故的取值范围是.故〖答案〗为：15.已知点在函数的图象上，且在上单调递减，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗因为点在函数的图象上，所以.又在上单调递减，所以，即，所以，易知的一个单调递减区间为，所以的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为_______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，为曲线的左、右焦点，点P为曲线与曲线在第一象限的交点，即C、E有相同的焦点，则，联立，消去，得，又，可得，对于椭圆，设为椭圆上一点，令，则椭圆化为圆，则对应点即为，由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，故可得椭圆在处的切线方程为，故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，则，可得直线方程为①，设三角形内切圆半径为，由等面积得，，则

②，又P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：由圆的切线性质得，则，即，即M点横坐标为1，由，可得直线的方程为③

，联立①②③，化简可得，又，故.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，角所对的边分别是.已知．（1）求；（2）为边上一点，，且，求．解：（1）已知，由，有，所以，两边同乘以abc得：．由正弦定理得：．由，，所以，．（2）取、为平面向量的基底．因为D在BC边上，且，所以．因为，所以，则即，得，所以，．不妨设，．在中，由余弦定理：，所以．由余弦定理：．18.2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?了解不了解合计男生女生合计（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.解：（1）因为，，所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：了解不了解合计男生153550女生302050合计4555100零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据，依据的独立性检验，可以推断成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为（人）；女生人数为（人），由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，，，.随机变量的分布列如下：0123则.19.已知数列中，，，数列中，，.（1）求和的通项公式；（2）若数列求数列的前项和，并求使得恒成立的最大正整数的值.解：（1）由题意知，∴当时，，两式相减得，∴，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴.数列中，，，∴是常数列且∴.（2）由（1）知，则数列的前项和为，，两式相减可得，∴，显然单调递增，∴，故恒成立，即恒成立，解得，所以最大正整数.20.如图，在四棱台中，底面中点．底面为直角梯形，且．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：因为底面，底面，则，由题意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨设，由题意可得：，可知：，即，且，平面，所以直线平面.（2）解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，可得，设二面角为，则，所以二面角的正弦值.21.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．椭圆的中心为，左焦点为，上顶点为，右顶点为，且．（1）求抛物线和椭圆的标准方程．（2）设直线经过点，与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点．记和的面积分别为和，是否存在直线，使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线的焦点为，可知，所以，所以抛物线的方程为；设椭圆的标准方程为，则，，所以，，由，可得，又，所以，解得或（舍），则，所以椭圆方程为；（2）由题意可知，直线的斜率一定不为，则设直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线，得，，则，，所以的面积，联立直线与椭圆，得，，则，，所以的面积，又，所以，解得，所以存在满足条件的直线，且直线方程为或.22.已知函数.（1）求曲线