江苏省百校大联考2024届高三上学期第五次考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省百校大联考2024届高三上学期第五次考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，即，解得，所以，又，所以.故选：C2.已知，，且，则（）A. B.2 C. D.10〖答案〗A〖解析〗因为，即，即，因为，，所以，解得，所以.故选：A.3.已知直线与直线平行，则的值为（）A.4 B. C.2或 D.或4〖答案〗B〖解析〗因为直线与直线平行，所以，解得或，当时直线与直线重合，不符合题意；当时直线与直线平行.故选：B4.在中，点满足，点满足，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为点满足，所以为的中点，所以，又，所以，所以，又，因为，所以，即，所以，解得，所以.故选：C.5.设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（）A.3 B. C.9 D.〖答案〗B〖解析〗由题设，，可得，，由，，则，即，所以的面积.故选：B6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以.故选：D7.圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，.则，，记双曲线的焦距为，长轴长为，在直角三角形中，，，由双曲线定义，可得，所以，即，所以离心率.故选：A8.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，令，所以，则，，所以，即恒为递增函数，则，即，所以，综上：，故选：A.二、选择题9.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由已知得，所以或，所以直线的方程为或.故选：AC.10.已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为B.直线AB的方程为C.D.若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗由圆C：知圆心为，所以直线OC的方程为，即，所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，可得直线AB的方程为，故B正确；点O到直线AB的距离，所以，故C错误；点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．故选：ABD．11.如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的方程为或B.C.以线段为直径的圆与轴相切D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A：由题意知，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，所以，，由得，所以，.若，则，解得或，所以直线的方程为或，故A错误；对于B：因为，，所以，所以，故B正确；对于C：由抛物线定义知，，线段中点的横坐标，即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；对于D：，，所以，故D正确.故选：BCD.12.已知函数的定义域为，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（）A. B.为偶函数C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A：令，，则，又，所以，故A错误；对于B：令，则，所以，所以为偶函数，故B正确；对于C：令，则，所以，由于，令，，即，即，故C正确；对于D：令，则，所以，所以，所以，所以，所以是周期为6的周期函数.令，则，即，所以，所以，，，，所以，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.过点且与圆：相切的直线方程为________.〖答案〗或〖解析〗圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.故〖答案〗为：或14.若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗双曲线，则，，所以，设右焦点为，圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，且恰为双曲线的左焦点，，又点是双曲线右支上的一点，则，所以，当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.故〖答案〗为：15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,已知点,圆：，若圆上存在点,使得，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，所以圆与圆有公共点，所以，又，所以，解得，即的取值范围是.16.已知，，是椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，记，的面积分别为，，若，则________．〖答案〗〖解析〗由，即，则，由图知：当位置变化时，或，故，所以，而直线、斜率存在且不，故，，所以，即或，当，化简得.当时，，显然，无解.所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．解：（1）因为，所以，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，又，所以，所以，则.（2）因为，由正弦定理可得，又，由，所以，解得或（舍去），所以，所以.18.已知数列的前n项和为，且．（1）求通项公式；（2）记，求数列的前n项和．解：（1）当，则；当，则，所以，而，则是首项、公比为2的等比数列，所以，且也满足，综上，.（2）由（1）得，当时，，当时，.所以.19.已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点.（1）求直线的方程；（2）若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆.（1）解：依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，，所以，，所以，又，，所以，故直线的方程为，即，经检验，符合题意，所以直线的方程为.（2）证明：由得，解得或，所以，.线段中垂线方程为：，设，由得，所以，故的中点，所以，，所以，，，在以为圆心，为半径的圆上，所以，，，四点共圆.20.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，．（1）求证：平面平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接交于点，连接，因为底面是边长为的菱形，所以为、的中点且，又，，所以，，，同理可得，所以，所以，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．（1）求C的方程；（2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由题意，故.（2）由（1）及题设知：，直线的斜率存在且不为0，设，则，即，所以，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则，故直线，而直线，则，联立，而，可得，所以，故，过作轴，如图，所以为定值.22.已知函数．（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上存在极大值点，求证：．（1）解：当时，则，，所以，所以在处的切线方程为.（2）证明：函数，则，若在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，，则.当时，，在区间内单调递减；当时，，在区间内单调递增，故，所以，又，所以当时恒成立，则