湖南省长沙市名校联考联合体2023-2024学年高一上学期第二次联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖南省长沙市名校联考联合体2023-2024学年高一上学期第二次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.2.已知幂函数的图象经过点，则等于（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，且，解得，所以.故选：B.3.若，且，则角α是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角〖答案〗A〖解析〗，又，，因此角为第一象限角.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗对于A，当时，，A错误；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，当时，，C错误；对于D，，，D错误.故选：B.5.已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（）A. B. C.3 D.5〖答案〗C〖解析〗因为角的终边所在直线的方程为，在角的终边取一点，则，所以，则.故选：C.6.已知条件P：，条件Q：，则P是Q的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当条件P：成立时，因为为上增函数，又，所以，又为上减函数，所以成立，所以是的充分条件；当时，取，满足条件，但此时无意义，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件.故选：A.7.计算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.8.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，设，函数与互为反函数，其图象关于直线对称，且的图象在直线上方，的图象在直线下方，因此当时，；当时，函数递增，递减，则递增，显然，即有，根据零点存在性定理，得，设，函数在R上递减，在R上递增，则在R上递减，显然，即有，根据零点存在性定理，得，令，当时，是奇函数，其图象如图：观察图象知，，即当时，，当时，，显然，，即有，根据零点存在性定理，得，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20.分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，所以，所以，即，故A错误；对于B，因为，函数在上单调递增，所以，故B正确；对于，当时，，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数是奇函数C.函数在区间单调递减D.若直线与函数相交于两点P，，则|PQ|的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗函数的最小正周期，A错误；由，得函数是奇函数，又其定义域为，B正确；由，得，则函数在区间上单调递减，C正确；由直线与函数相交于两点，得，则的最小值为，D正确.故选：BCD.11.已知，，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于，因为，所以，当，即时，等号成立，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；对于D，因为，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：ABD.12.已知函数是定义在实数集上的奇函数，且，当时，的值域为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.是周期为2的周期函数C.当时，的值域D.当时，的值域为〖答案〗BCD〖解析〗对于AB，因为是定义在实数集上的奇函数，且，所以，则是周期为2的周期函数，，故A错误，B正确；对于C，令，则的定义域为，又，所以是奇函数，当时，的值域为，故当时，的值域为，进而可得时，的值域为，故C正确；对于D，当时，，则的值域为，即的值域为，又，故值域为，又时，的值域为，因此时，的值域为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是定义在上的偶函数，则等于__________.〖答案〗〖解析〗因为是定义在上的偶函数，所以.故〖答案〗为：.14.化简：___________.〖答案〗4〖解析〗.故〖答案〗为：4.15.已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由函数在R上是增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数（），.记表示，中的最小者，设函数（），若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗当时，，则，则在上没有实数解；当时，，若，则，，则不是的实数解，若，则，因此，则是的实数解；当时，，则只需讨论在区间的实数解的个数，由，得，即问题等价于与图象的交点个数，由于，在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合在区间上的图象知，当时，有3个实数解，所以实数取值范围为.故〖答案〗为：.四.解答题；本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.己知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由，得，即，所以.（2）由（1）知，，所以18.已知全集为R，集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数取值范围.解：（1），时，，故或，或.（2）因为，当时，，解得，当时，需满足，解得，综上，实数的取值范围是.19.已知二次函数满足：，不等式的解集为，函数，.（1）求函数〖解析〗式；（2）证明；函数为单调递增函数.并求函数的最大值.解：（1）设，由，得，则，又不等式的解集为，则1，2是方程的两根，且，因此，解得，所以函数〖解析〗式为.（2）由（1）知，，且，显然，而，则，于是，即，所以函数在区间单调递增，.20.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度.100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900m/s.（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；（2）经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值，参考数据：，，.解：（1）依题意，.（2）技术改进前的理想速度，技术改进后的理想速度，要使火箭理想速度至少增加，则，即，因此，即，所以，所以在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值为7.21.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，当时.都有，求正实数的取值范围.解：（1）由，得，由，得，且，于是，解得，即，所以不等式的解集为.（2）由是增函数，在上单调递减，得函数在上为减函数，因此，因为当，满足，则只需，则，即对任意成立，由，得函数的图象对称轴，于是函数在上单调递增，则，解得，所以的取值范围为.22.已知定义在上的函数是偶函数，定义在上的函数是奇函数，且满足.（1）求