河北省保定市部分重点高中2024届高三上学期12月期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分重点高中2024届高三上学期12月期末数学试题一､选择题1.已知复数，则的虚部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗复数，则的虚部是2.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，则，解得，故，，故.故选：D.3.已知命题，，与共线，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗充分性：由与共线，则，解得或0，p是q的不充分条件；必要性：当，时，由，则与共线，p是q的必要条件.故选：B.4.新高考在赋分时，先根据考生原始分划定等级，再根据该等级下考生原始分数的排名进行赋分（赋分均为整数），某校在高三年级某次化学模拟考试中对全校1000人进行赋分，一同学该科目全校排名300名，则其赋分为（）（保留整数）等级ABCDE比例赋分区间A.80 B.79 C.78 D.77〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，该同学被划定为等级B，设其赋分为，则，解得.故选：B.5.已知函数，将的图象向右平移个单位后可以得到的图象，则的最大值为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，则，所以当，即时，取到最大值.故选：C.6.已知函数满足：，，成立，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，则当时，，则，当时，上式也成立，所以，所以.故选：C.7.已知抛物线，是直线上的一个动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，，若为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为（）A. B.5 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设，由题意在点和点处的切线方程的斜率不等于零，设点处的切线方程为，联立，消得，则，即又，所以，所以，所以点处的切线方程为，即，同理可得点处的切线方程为，又两切线都过点，所以，，所以直线的方程为，即，令，解得，所以直线过定点，圆的圆心，半径，所以点到直线距离的最大值即为点到定点的最大距离，所以点到直线距离的最大值为.故选：D.8.已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，即，即，即，则，等价于，令，因为都是增函数，所以函数是增函数，则，即为，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故选：A.二､多选题9.已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A. B.的离心率为C.曲线经过的一个顶点 D.与有相同的渐近线〖答案〗ACD〖解析〗双曲线的渐近线方程为，所以，解得（舍去），故A正确；双曲线，所以的离心率为，故B错误；双曲线的顶点为，因为，所以曲线经过的一个顶点，故C正确；对于D，令，则，即的渐近线方程为，故D正确.故选：ACD.10.已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（）A.存在和，使得．B.若为的前项和，则，，，成等差数列C.若为的前项和，则，，，成等比数列D.当时，存在实数A、使得〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A：例如，，故A正确；对于选项B：因为，所以，，，成等差数列，故B正确；对于选项C：例如，则，可得，，，不一定成等比数列，故C错误；对于选项D：因为数列为等差数列，设，又因为，则，令，则，即存在实数A、使得，故D正确；故选：ABD.11.在直三棱柱中，已知，，下列说法正确的是（）A.平面平面B.若，则与平面所成角的余弦值为C.若，设为的中点，则平面平面D.无论取任何值，不会垂直于〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，又因平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；对于C，因为四边形为矩形，为的中点，所以点即为与的交点，则平面即为平面，因为平面，平面，所以，因为，所以四边形为正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故C正确；对于D，假设，因为平面，所以平面，因为平面，所以，而，不可能重合，所以假设不成立，即无论取任何值，不会垂直于，故D正确；对于B，如图，以点原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，可取，则，所以与平面所成角的余弦值为，故B错误.故选：ACD.12.在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（）A.满足条件的不可能是直角三角形B.面积的最大值为C.当时，的内切圆的半径为D.若为锐角三角形，则〖答案〗BC〖解析〗，则，对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误；对选项B：设，则，，，，当时，最大为，正确；对选项C：时，，，，，故，设内切圆的半径为，则，解得，正确；对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，且，即，解得，故，错误；故选：BC.三､填空题13.展开式中项的系数为________．〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项的系数为.故〖答案〗为：.14.已知，则________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.已知，，，，，，例如，则，，，．若，则________．〖答案〗0〖解析〗令，则，，可知，的周期为2，令，则，可知，的周期为4，由题意可得：，，，注意到，所以.故〖答案〗为：0.16.如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是________．〖答案〗①②③〖解析〗对于①：以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，可得，设，则，即，可得，当，即时，取到最小值，故①正确；对于②：设到平面的距离的最大值为，由可得，则，由（1）可知的最小值为，所以到平面的距离的最大值为，故②正确；对于③：设在平面上射影为，连接，可知：与平面所成的角为，与平面所成的角为，则，可得，在空间直角坐标系，则，设，则，整理得，可知在平面上射影的轨迹为半径为的圆，所以轨迹长度为，故③正确；故〖答案〗为：①②③.四､解答题17.已如等差数列的前项和为，若，．（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和，求数列的前项和．解：（1）设的公差为，由题意可得，解得，所以.（2）因为，当，则；当，则；综上所述：.则，设数列前项和，当，则；当，则；注意到符合上式，所以.18.在平行六面体中，已知，．（1）证明：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．（1）证明：设，则为的中点，连接，因为，可知，可得，则，又因为为菱形，则，且，平面，所以平面.（2）解：设，则为的中点，连接，设到的距离为，则，当且仅当，即平面时，等号成立，又因为，即，可得，当且仅当时，等号成立，综上所述：当且仅当为正方体时，三棱锥体积最大，由题意可知：，为的中点，则，可知二面角的平面角为，中，，可得，所以二面角的余弦值为.19.2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州亚运会以“中国新时代杭州新亚运”为定位、“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色、智能、节俭、文明”办会理念，坚持“以杭州为主、浙江全省共享”的办赛原则，会前，为喜迎亚运，某商场组织了“文明迎亚运”知识竞赛活动，每名参赛者需要回答A、、三道题目，通过答题获得积分，进而获得相应的礼品．每题答错得0分，答对A题目得1分，答对、题目分别得2分，每名参赛者的最后得分为每题得分的累积得分，已知一名参赛者答对A题目的概率为，答对、题目的概率均为，并且每题答对与否相互独立．（1）求该名参赛者恰好答对两道题目的概率：（2）求该名参赛者最终累积得分的分布列和数学期望．解：（1）由题意可得：该名参赛者恰好答对两道题目概率.（2）设该名参赛者最终累积得分为，可知，则：；；；；；；可得该名参赛者最终累积得分的分布列为：012345所以数学期望.20.在圆内接四边形中，已知，，平分．（1）若，求的长度；（2）求的值．解：（1）平分，有，又，，所以，有，由，，在和中，由余弦定理得，，有，解得，，则有.（2）由（1）知，有，设，在和中，由余弦定理得，，有，解得，又，，，，在和中，由余弦定理得，，即，得，即，.21.已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．（1）求点的轨迹方程；（2）过作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．（1）解：设点的坐标为，则，，点在上，则有，即，所以点的轨迹方程为.（2）证明：直线斜率不存在时，直线方程为，则、，，，得，，由，得，，，由，，此时.直线斜率存在时，由直线交轴于点知斜率不为0，设直线方程为，则有，设、，由，消去得，，有，，，由，得，，，由，，此时.综上可知，为定值.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若恒成立，求的值．解：（1）令，其定义域为，.当时，恒成立，在上单