黑龙江省鸡西市密山市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1黑龙江省鸡西市密山市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题（40分.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，所以．故选：A．2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗由于存在量词命题的否定是全称量词的命题，命题“，”是存在量词的命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A.3.已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若关于的不等式有解，当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零，当时，则，则关于的不等式有解不能推出，若，当时，关于的不等式一定有解，当时，关于的不等式有解，所以能推出关于的不等式有解，所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.5.如图，这是一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（）A. B.C.A与B互斥 D.A与B不相互独立〖答案〗B〖解析〗对于A项，由题意得，故A项错误；对于B项，因为，所以，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，因为，，由A项知，所以，所以A与B相互独立，故D项错误.故选：B.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，，所以，当时，，当时，，，所以，所以排除A，C，当时，，，所以，所以排除D.故选：B.7.若定义域为R的函数同时满足：（1）；（2）当时，；（3）当，时，，则可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A选项：，不满足（1），故A错；B选项：，满足（1）；单调递增，故满足（2）；令，则，，由得，不满足（3），故B错；C选项：当时，，为奇函数且在和上单调递增，满足（1）（2），令，则，，，所以，不满足（3），故C错；D选项：当时，，当时，，当时，，所以满足（1）；当时，单调递增，满足（2）；当时，，，即，满足（3），故D正确.故选：D.8.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数图象只有选项C符合.故选：C.二、多项选择题（15分.）9.若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（）A.可以表示平面内任意一个向量B.若，则O在直线BD上C.若，，则D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗A：由题意，又，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量，对；B：由向量共线的推论知：，则O在直线BD上，对；C：由题设，则，所以，错；D：由，则，若为中点，则，即且，如下图示，所以，对.故选：ABD.10.对于实数，，，下列说法正确的是（）A.若，则；B.命题“，”的否定是“，；C.若，，则；D.若，且，则的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A：因为，所以，左右同除，可得，故A正确；对于B：命题“，”的否定是“，，故B错误；对于C：因为，，所以，所以，故C正确；对于D：因为，且，所以，即，所以，解得，所以，当且仅当，即时等号成立，与矛盾，所以，无最小值，故D错误.故选：AC.11.新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在内的居民有180人.则以下说法正确的是（）A.B.调查的总人数为4000C.从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数D.根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的”的规定〖答案〗ACD〖解析〗由频率分布直方图的性质，可得，即，解得，所以A正确；设总共调查了人，可得，解得，即调查的总人数为300人，所以B错误；中位数位于区间，设中位数为，则，解得，由频率分布直方图知各段的频率分别为，设平均数，则.可得，所以C正确；由评分在的居民占调查总人数的，所以评分低于65分的居民不超过全体居民的，所以D正确.故选：ACD.三、填空题（25分.）12.若关于的方程有两个根，则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗令，则方程化为：，方程有两个根，即有两个正根，，解得：.故〖答案〗为：.13.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，截面的面积为，则球心O到该截面的距离为______.〖答案〗1〖解析〗设球的半径为，球心与截面圆心的连线的距离为，截面圆的半径为，则有，求得：，，，.故〖答案〗为：.14.函数（且）的图象过定点_________.直线的倾斜角为_______.〖答案〗〖解析〗因为，令，得，此时，所以的图象所过定点为；易得直线的斜率为，则其倾斜角为.故〖答案〗为：.15.已知函数，若存在实数，当时，，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗函数图象，如图：所以，，得，则，令，得，又，则的取值范围为．三、解答题（70分.）16.已知．（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．解：（1）当时，，，，，，.（2）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此，即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以，因此，.17.如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，E为的中点．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求的长．解：（1）连接，交于点，因为在长方体中，平面，平面，所以，又因为底面为正方形，所以，且，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）连接，易知，所以，且为的中点，所以在等腰中，，且，所以为二面角的平面角，即，所以，所以.18.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元，乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元；某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家开展活动小时的收费为元，在乙家开展活动小时的收费为元.（1）试分别写出和的〖解析〗式.（2）选择哪家比较合算?请说明理由.解：（1）由题意，f(x)=5x，15≤x≤40，（2）由，解得，当时，；当时，；当时，，由，得，故时，.所以当时，选甲家比较合算；当时，两家一样合算；当时，选乙家比较合算.19.一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？解：（1）依题意，设每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比为，则，即，则，解得，所以每年砍伐面积的百分比为.（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，剩余面积为原来的，则，即，又由（1）知，则，所以，解得，故到今年为止，该森林已被砍伐5年.（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为，令，即，则，所以，解得，故今后最多还能砍伐15年.20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.解：（1）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（2）由（1）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12，由以上样本的频率分布，可以估计