河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在上投影向量故选：A2.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③〖答案〗C〖解析〗①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．3.已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（）A. B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，设，由可得，，则，因为，可知当时，最大为.故选：B4.已知双曲线的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，一条渐近线：，设双曲线的右焦点为，则点到直线的距离，所以，离心率.故选：B．5.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由曲线，可得，又由直线，可化为，直线恒过定点，作出曲线与直线的图象，如图所示，结合图象，可得，所以，当直线与曲线相切时，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D6.已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，可知点在以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆上，即，可得，所以椭圆的方程为，又因为为函数图象上的点，则，解得，所以．故选：C.7.某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（）A.9种 B.10种 C.11种 D.12种〖答案〗A〖解析〗用表示编号的面试者回答的试题为，其中，所以的全部可能情况有：，所以共有9种，故选：A8.已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为直线：，即，令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线过定点，又因为，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，因为圆的圆心，半径，所以的最大值是.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列选项正确的是（）A.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是B.“”是“直线与直线垂直”的充要条件C.“”是“直线与直线平行”的充要条件D.直线的倾斜角的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗对于A项，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为，∴直线的倾斜角是，A正确；对于B项，当时，直线与直线变为：与显然垂直，充分性成立.当直线与直线垂直时，解得：或，必要性不成立，故B错误；对于C项，当时，直线与直线化为：与即与，两直线平行，充分性满足要求.若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；对于D项，在直线中，该直线的斜率为故倾斜角范围为.故D正确.故选：ACD.10.已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，〖答案〗ACD〖解析〗圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.11.已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论正确的是（）A.与一定不垂直 B.二面角的正弦值是C.的面积是 D.点到平面的距离是定值〖答案〗BD〖解析〗对于A，当与点重合时，，故选项A错误；对于B，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，平面即平面，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可求得平面的法向量为，设二面角为，所以，故，故选项B正确；对于C，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项C错误；对于D，由于，且平面，平面，所以平面，又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项D正确．故选：BD．12.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为，则B.当时，C.当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D.若点坐标为，直线与相切，则〖答案〗ABD〖解析〗因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.抛物线的准线方程为________________.〖答案〗〖解析〗由.14.椭圆的焦距是2，则实数的值是___________.〖答案〗10或8〖解析〗由题意可知：椭圆的半焦距长为，若焦点在x轴上，则，解得；若焦点在y轴上，则，解得；综上所述：实数的值是10或8.故〖答案〗为：10或8.15.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率______.〖答案〗〖解析〗由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，则，，可得四边形为平行四边形，又及托勒密定理，可得四边形为矩形．设，，在中，，则，，，，，，解得．双曲线的离心率为．故〖答案〗为：．16.正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是___________.〖答案〗〖解析〗连接如图所示线段，其中为中点，由正方体棱长为2，则，则，，有，故，又，且、平面，，故平面，又平面，故，又平面，平面，故，又、平面，，故平面，又为中点，故，故平面，故平面，故，连接点与中点，则有、、、，又，故与全等，则有，故，即，即点在线段上，故当时，有最小值，此时有，即，即最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，已知的顶点为，，是边AB的中点，AD是BC边上的高，AE是的平分线．（1）求高AD所在直线的方程；（2）求AE所在直线的方程．解：（1）因为是边AB的中点，所以，因为，所以，因此高AD所在直线的方程为：；（2）因为AE是的平分线，所以，所以，设，所以，所以AE所在直线的方程为：.18.已知椭圆.（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程；（2）过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.解：（1）因为，所以在椭圆的内部，则所求弦必然存在，设这条弦与椭圆交于点，由中点坐标公式知，把代入，则，作差整理得，可得，所以这条弦所在的直线方程为，即.（2）由题意可知：过点引椭圆的割线的斜率存在且不为0，设割线方程为，联立方程，消去得，则，解得，设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，根据椭圆性质可知，则，令，则，可得，因为在上单调递减，在上单调递增，且，可知，则，所以，则，可得，把代入，则，两式相减得，整理得，即，整理得..19.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．解：（1）连接，，分别为，中点，为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形，则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，，，D（0，-1,0）取中点，连接，则四边形为菱形且为等边三角形又平面，平面平面，即平面为平面一个法向量，且设平面的法向量，又，，令，则，二面角的正弦值为：20.用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线．（1）以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程；（2）设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值．解：（1）把圆周上的点折叠到点，折痕是的垂直平分线，，，若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．总有成立，又是圆内的一点，，故点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，，，，，，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，曲线的标准方程为；（2）设直线与曲线交于，两点坐标为，，，，由，消去得，整理得，，，，，，以直径的圆经过曲线的中心，则，，，，，解得，经检验，符合题意，故．21.如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，于点，，，，，为线段上的一点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.解：（1）因为，平面平面，平面平面，且平面，可得平面，由平面，则，在中，由余弦定理可得，即，则，可得，平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，则，，平面，所以平面.（2）如图，以A为坐标原点，分别为轴所在的直线，过A作平行于的直线为x轴所在的直线，建立空间直角坐标系，因为，可知,则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设，可知，即，可得，若直线与平面所成角的正弦值为，则，整理得，解得或（舍去），可知，所以三棱锥的体积.22.如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段