河南省名校九师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1河南省名校九师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学试题（文）一、选择题1.已知，则为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由含有存在性量词的命题的否定知为：“”.故选：D.2.设集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，或，所以.故选：B.3.已知是角的终边上一点，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三角函数的定义知:，所以.故选：A.4.已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则与共线，可知充分性成立；若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立；所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.5.扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（）图1图2A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以，所以该折扇的扇面的面积为.故选：D6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，可知，且在定义域内单调递减，则，即，所以.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以有，则.故选:D.8.已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点，由题意得，所以.故选：D.9.已知函数，若将其图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，因为的图象关于原点对称，所以，即，由于，当时，取得最小值.故选：A10.如图，已知两个单位向量和向量，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则（）A.-1 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为与的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为.由，得，所以，由题意得，，，在两边分别点乘，得，同理，两式联立并解得，所以.故选：B.11.在中，为上一点，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，由，得，即，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.12.已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为为偶函数，即，所以，又由，所以，所以，故为周期函数且4是一个周期，所以.故选：A.二、填空题13.函数，且的图象过定点__________.〖答案〗〖解析〗令，则，此时在上无论取何值，的值总为1，故函数的图象过定点.故〖答案〗为：14.已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.〖答案〗〖解析〗因为，，与的夹角为，所以.由，得解得.故〖答案〗为：.15.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗因为，则，可得，即切点坐标为，斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.16.函数的值域为______．〖答案〗〖解析〗设，因为，则，可知，可得函数，则对任意恒成立，所以在上单调递增，且，所以该函数的值域为.故〖答案〗：.三、解答题17.已知向量，函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，，求边的长．解：（1）由题意得，所以的最小正周期，令，解得，所以的单调递减区间为（2）由（1）知，，则，由，得，则，解得，又由，得，已知，则由正弦定理，得.18.已知，且是偶函数．（1）求的值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．解：（1）函数定义域R，由函数为偶函数，有，即，则有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，则，设，依题意有，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，令，则，有，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，，则有，得，所以实数的最大整数值为5.19.已知是方程的根.（1）求的值；（2）若是第四象限角，，求的值.（1）解：因为是方程的根，所以或（舍），则原式，由，所以是第三象限或第四象限角，若是第三象限角，则，此时；若是第四象限角，则，此时.故所求式子的值为或.（2）解：由（1）知，当是第四象限角时，，由，得，所以.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上存2个零点，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，且.当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）若，在上无零点，不合题意；若，由，得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，又，所以要使直线与的图象有两个交点，则，所以，即实数的取值范围为.21.南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．（1）求；（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．解：（1）由题意知，，，则，，所以.所以栈道总长度为（2）建造栈道的费用为，则，令，得，又，解得，当时，，当时，，则在单调递减，在单调递增，故，此时，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元