江苏省届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣（要点回扣+易错警示+查缺补漏）压轴大题突破练(四) 文

压轴大题突破练(四)(推荐时间：60分钟)1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，∵ex>0，∴－x2＋2>0.解得－eq\r(2)<x<eq\r(2).∴函数f(x)的单调递增区间是[－eq\r(2)，eq\r(2)]．(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立，∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立，∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立．即a≥eq\f(x2＋2x,x＋1)＝eq\f(x＋12－1,x＋1)＝(x＋1)－eq\f(1,x＋1)对x∈(－1,1)都成立．令y＝(x＋1)－eq\f(1,x＋1)，则y′＝1＋eq\f(1,x＋12)>0.∴y＝(x＋1)－eq\f(1,x＋1)在(－1,1)上单调递增．∴y<(1＋1)－eq\f(1,1＋1)＝eq\f(3,2).∴a≥eq\f(3,2).(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R恒成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立，∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2这是不可能的，故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R恒成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立，∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．2．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点到直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的距离d＝eq\f(\r(21),7)，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值．(1)解由e＝eq\f(1,2)得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，∴b＝eq\r(3)c.由右焦点到直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的距离为d＝eq\f(\r(21),7)，eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1化为一般式：bx＋ay－ab＝0得eq\f(|bc－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(21),7)，解得a＝2，b＝eq\r(3).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，联立消去y整理可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m由根与系数的关系得：x1＋x2＝－eq\f(8km,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－12,3＋4k2).∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(k2＋1)eq\f(4m2－12,3＋4k2)－eq\f(8k2m2,3＋4k2)＋m2＝0，整理得7m2＝12(k所以O到直线AB的距离d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(12,7))＝eq\f(2\r(21),7)(为定值)．当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x＝±eq\f(2\r(21),7).则点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(21),7)(定值)．3．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足eq\o(BF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1F2,\s\up6(→))，且AB⊥AF2，如图所示．(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l：x－eq\r(3)y－3＝0相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l′与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．解(1)设B(x0,0)，则F2(c,0)，A(0，b)，由AB⊥AF2，可知△ABF2是以点A为直角顶点的直角三角形，由eq\o(BF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1F2,\s\up6(→))，可知F1为BF2的中点，且|BF2|＝2|F1F2|＝4∴|AF1|＝eq\f(1,2)|BF2|＝2c，而|AF1|＝a，故有a＝2c.∴椭圆的离心率e＝eq\f(1,2).(2)由(1)，知eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得c＝eq\f(1,2)a.于是F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a，0))，△ABF2的外接圆圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a，0))，半径r＝eq\f(1,2)|F2B|＝a，∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a－3)),2)＝a，解得a＝2.∴c＝1，b＝eq\r(3).故所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(3)由(2)，知F2(1,0)，l′：y＝k(x－1)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1.))整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．由于菱形的对角线垂直，则(eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→)))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，即(x2－x1)[x1＋x2－2m＋k(y1＋y2故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2mk2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2,3＋4k2)－2))＋eq\f(8k2,3＋4k2)－2m＝0.由已知条件，知k≠0且k∈R，∴m＝eq\f(k2,3＋4k2)＝eq\f(1,\f(3,k2)＋4)，∴0<m<eq\f(1,4).故存在满足题意的点P且m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).4．已知向量m＝(ex，lnx＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．(1)求k的值及F(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．解(1)由已知可得：f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)，∴f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－k,ex)，由已知，f′(1)＝eq\f(1－k,e)＝0，∴k＝1，∴F(x)＝xexf′(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－lnx－1))＝1－xlnx－x，∴F′(x)＝－lnx－2，由F′(x)＝－lnx－2≥0⇒0<x≤eq\f(1,e2)，由F′(x)＝－lnx－2≤0⇒x≥eq\f(1,e2).∴F(x)的增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))，减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，＋∞)).(2)∵对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，∴g(x)max<F(x)max.由(1)知，当x＝eq\f(1,e2)时，F(x)取得最大值Feq\b\lc\(\r