第三章圆锥曲线的方程知识点汇总高二上学期数学人教A版选择性

第三章圆锥曲线的方程第一部分椭圆一、椭圆的定义第三章圆锥曲线的方程第一部分椭圆把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为．(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为．(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为．(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形焦点与与a，b，c的关系c2＝三、椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)轴长短轴长|B1B2|＝，长轴长|A1A2|＝焦点F1，F2F1，F2焦距|F1F2|＝2c范围对称性对称轴为，对称中心为顶点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)2.离心率的性质四、直线与椭圆的位置关系1.直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交解Δ0相切解Δ0相离解Δ02.弦长公式当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的长点，则弦公式的常见形式有如下几种：(1)|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；(2)|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；(3)|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；(4)|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])（k≠0）.3.中点弦斜率公式：设M(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2结论：焦点在x轴上:x2焦点在y轴上:y2a4.焦半径：焦点弦：通径：第二部分双曲线第二部分双曲线一、双曲线的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数()的点的轨迹叫做双曲线．焦点：两个定点；焦距：的距离，表示为|F1F2|.2.双曲线就是下列点的集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．注意：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a。当2a<|F1F2|时，轨迹是；当2a＝|F1F2|时，轨迹是；当2a>|F1F2|时，轨迹．二、双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形焦点F1，F2F1，F2焦距|F1F2|=a，b，c的关系c2＝三、焦点三角形问题双曲线上一点P与其两个焦点F1、F2①定义：②余弦定理：③面积公式：；；四、双曲线的几何性质1.双曲线的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围或，y∈或，x∈对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点轴实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e＝∈渐近线2.等轴双曲线(1)定义：等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①一般方程形式：.②渐近线方程：.③离心率e＝.注意：具有相同渐近线的双曲线y＝±eq\f(b,a)x的双曲线可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0，λϵR)当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上；3.焦点到渐近线的距离为。五、直线与双曲线的位置关系1.直线y＝kx＋m与双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的位置关系：联立y＝kx＋mx2a2−y2①当b2a2k=0，即k=±eq\f(b,a)时，因为m≠0，所以直线l与双曲线，有.设直线l与双曲线交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2.设直线l与双曲线交于两点A(x1,yⅠ.∆＞0时，直线l与双曲线，有个公共点Ⅱ.∆=0时，直线l与双曲线，有个公共点Ⅲ.∆＜0时，直线l与双曲线，有个公共点2.中点弦斜率公式：设P(x0,y0)为双曲线x2a2−y2b结论：焦点在x轴上:x焦点在y轴上:y2a3.双曲线的通径：第三部分抛物线第三部分抛物线一、抛物线的定义1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l()的的点的轨迹叫做抛物线．(1)焦点：定点F.(2)准线：定直线l.2．抛物线标准方程的几种形式p的几何意义是的距离．三、抛物线的简单几何性质1.抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：图象范围对称轴轴轴顶点O(0,0)离心率e＝1图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)2．抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝；②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝；③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝；④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝；3.抛物线的通径四、直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的或．②若k2≠0，当Δ