（全国通用）中考数学总复习 专题13 二次函数的应用（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

专题13二次函数的应用（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1图形面积或周长问题】 1【考点2图形运动问题】 4【考点3拱桥问题】 5【考点4销售问题】 7【考点5投球问题】 10【考点6喷水问题】 12【考点7增长率问题】 14【考点8车过隧道问题】 15【考点9行程问题】 17【考点10其他问题】 19【要点1解二次函数的实际应用问题的一般步骤】审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；答：写出答案.【考点1图形面积或周长问题】【例1】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【变式1-1】（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【变式1-2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为xmx>0，加长后水池1的总面积为y1m2，则y1关于x的函数解析式为：y1=x+4x>0；设水池2的边EF的长为x【问题解决】(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________m2(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的xm(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，xm(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；(5)假设水池ABCD的边AD的长度为bm，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3m2关于xmx>0的函数解析式为：【变式1-3】（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【考点2图形运动问题】【例2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，点O是BC的中点．点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤52），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线(1)若点G落在边AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；(3)在整个运动过程中，设△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．【变式2-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝13时，求x（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．【变式2-3】（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB(1)当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？(2)设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ:【考点3拱桥问题】【例3】（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【变式3-1】（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B【变式3-2】（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【变式3-3】（2022·湖北咸宁·统考一模）图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距离为2m．(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？【考点4销售问题】【例4】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【变式4-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123…x每天的销售量（千克）101214…

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？【变式4-3】（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．【考点5投球问题】【例5】（2022·河北石家庄·统考一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1:y=−1(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于23米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CF∥x轴，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b【变式5-1】（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x【变式5-2】（2022·山东青岛·校考二模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．【变式5-3】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)当t＝s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离【考点6喷水问题】【例6】（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点4m．【变式6-1】（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【变式6-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ【变式6-3】（2022·北京·北京四中校考模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．【考点7增长率问题】【例7】（2022·山东东营·统考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【变式7-1】（2022·浙江丽水·校联考三模）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y=2.41+2x B．C．y=2.41+x2 【变式7-2】（2022·浙江宁波·统考一模）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【变式7-3】（2022·广东广州·广州大学附属中学校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【考点8车过隧道问题】【例8】（2022·广东深圳·统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB=2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于12米．如图2，以O点为原点，OA所在直线为x(1)直接写出点A的坐标是______，抛物线顶点P的坐标是______；(2)求出这条抛物线的函数表达式；(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．【变式8-1】（2022·北京房山·统考一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．【变式8-2】（2022·湖北武汉·统考一模）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【变式8-3】（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0<m≤6，求栅栏总长l与（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4【考点9行程问题】【例9】（2022·浙江金华·统考一模）如图1是城市平直道路，道路限速60km/h，A路口停车线l1和B路口停车线l2之间相距S＝400m，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线l1后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线l1平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程S、速度v与时间(1)求该汽车从停车线l1(2)求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线l2(3)若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线l2【变式9-1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【变式9-2】（2022·安徽合肥·校考二模）某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：kmℎ）函数关系．测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m．已知紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x(1)求a，b的值(2)若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，求两次测量中，刹车时的速度大小的平均值．【变式9-3】（2022·北京·校考一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：时间（秒）00.020.040.060.080.10相邻各点的距离（厘米）00.30.50.70.91.0(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．【考点10其他问题】【例10】（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=a时间x（分钟）0123…88<x⩽10累计人数y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【变式10-1】（2022·湖北黄冈·统考中考真题）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．【变式10-2】（2022·河北保定·校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙体材料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数据：x（单位：m2）2050y（单位：万元）240600(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）【变式10-3】（2022·河北承德·统考二模）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米．以点B为坐标原点，直线BD为(1)求立柱AB的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1专题13二次函数的应用（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1图形面积或周长问题】 1【考点2图形运动问题】 9【考点3拱桥问题】 19【考点4销售问题】 26【考点5投球问题】 32【考点6喷水问题】 40【考点7增长率问题】 48【考点8车过隧道问题】 51【考点9行程问题】 58【考点10其他问题】 65【要点1解二次函数的实际应用问题的一般步骤】审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；答：写出答案.【考点1图形面积或周长问题】【例1】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【答案】(1)96−325dm(2)20dm；(3)能切得半径为3dm的圆．【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，∵对称轴为y轴，∴b=0，将A、C代入得，a=−12，则二次函数解析式为y=−1如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，则P点坐标可以表示为（m，2m）代入二次函数解析式得，−12m∴2m=45−4则正方形的面积为96−325（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）将x=n代入二次函数解析式，得y=−1则EF=−1矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+−12n当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过点N作⊙M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，设Nm,−由勾股定理得：PM∴m解得：m1=22∴N2∴PM=4−3=1∵cos∴QM=3MN=9∴Q设QN的解析式为：y=kx+b∴b=12∴k=−2∴QN的解析式为：y=−2与抛物线联立为：−1Δ所以此时N为⊙M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．【变式1-1】（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【答案】288m2【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为47−x+12m，设鸡场面积为ym2【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为47−x+12m，设鸡场面积为ym2根据题意，得y=x⋅47−x+1∴当x=24时，y有最大值为288，∴鸡场面积的最大值为288m2．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．【变式1-2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为xmx>0，加长后水池1的总面积为y1m2，则y1关于x的函数解析式为：y1=x+4x>0；设水池2的边EF的长为x【问题解决】(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________m2(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的xm(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，xm(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；(5)假设水池ABCD的边AD的长度为bm，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3m2关于xmx>0的函数解析式为：【答案】(1)3<x<6；9(2)C，E；1，4；(3)0<x<1或4<x<6(4)94，(5)25【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据Δ=0，求出b【详解】（1）∵y∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，∵水池2的面积随EF长度的增加而减小，∴EF长度的取值范围是3<x<6；水池2面积的最大值是9m2故答案为：3<x<6；9；（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；联立方程组y=x+4y=−解得，x∴x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，0<x<1或4<x<6，所以，水池1的面积大于水池2的面积时，xm的取值范围是0<x<1或4<x<6故答案为0<x<1或4<x<6；（4）在1<x<4范围内，两个水池面积差M=(−x∵−1<0,∴函数有最大值，∵0<x<6∴当x=52即，当x=52（5）∵水池3与水池2的面积相等，∴x+b=−x整理得，x2∵xm∴Δ=解得，b=【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=72m时，围成的两块矩形总种植面积最大=1474【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可.【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-72)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴当BC=72m时，y最大=1474m【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．【考点2图形运动问题】【例2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)S=(3)存在，t=【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AE（2）分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N，证△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125（3）当PQ∥CD时∠AQP=∠ADC，易证△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，则（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE∴AD=5∵EQ⊥AD∴∠AQE=∠AED=90°又∠EAQ=∠DAE∴△AQE∽△AED∴AQ∴t∴t=答：当EQ⊥AD时，t的值为165（2）解：分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°∴∠B=∠CAM又∠BCA=∠AMC=90°∴△ABC∽△CAM∴AB∴5∴AM=∵∠B=∠B∴△BPN∽△BAC∴BP∴t∴PN=∴SS∴S==6+8−=∴S=（3）解：假设存在某一时刻t，使PQ∥CD∵AD=5,AM=∴DM=AD−AM=5−∵PQ∥CD∴∠AQP=∠ADC又∠PAQ=∠CMD=90°∴△APQ∽△MCD∴AP∴5−t∴t=∴存在时刻t=6529s【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．【变式2-1】（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，点O是BC的中点．点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤52），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线(1)若点G落在边AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；(3)在整个运动过程中，设△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．【答案】(1)1(2)11+(3)s=【分析】（1）由题意得BE=t，OF=2t，EFt=3＋t，列出方程求解即可；（2）设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，求出KF=2，KC=3，再求出KN=2，MN=1，ME=4，最后求得△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；（3）分当0≤t≤1时、当1＜t≤32时、当32＜t≤52时，对三种情况进行讨论，分别求出S(1)由题意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，∴EF=OB－BE＋OF=3－t＋2t=3＋t．当G落在AD上时，如图①，G到EF的距离为2∴EF=4，即3＋t=4，t=1．(2)当t=2时（如图②），设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，则BE=2，OF=4，EC=4，CF=1．在Rt△CFK中，∠F=60°，∴KF=2，KC=3．∵CD=23∴KC=3，即K是CD的中点．∴KN=2，MN=1，ME=4．∴重叠部分的周长=4+3+2+1+4=11+3．(3)(i)当0≤t≤1时，由（1）知，S=S△EFG=3(t+3)24(ii)当1＜t≤32设EG，FG分别与AD相交于点M，N，则MN=t－1，∴S=S四边形MNFE=(t－1＋t＋3)×232=

(iii)当32＜t≤5设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，则MN=t－1，CF=2t－3，CK=3(2t−3)∴S=S四边形MNFE－S△CFK=(t－1＋t＋3)×232－3(2t−3)综上所述，S=3【点睛】本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、二次函数与几何动点问题的有关知识以及多边形面积求法，关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论得出．【变式2-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝13时，求x（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．【答案】（1）x＝59；（2）不变，△MDP的周长为2；（3）S=12t−122+【分析】（1）利用折叠的性质得ME＝BE＝x，则AE＝1－x，在根据勾股定理列式求出x的值；（2）连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，证明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周长就等于AD＋DC，是定值；（3）连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，证明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，设AM＝a，根据勾股定理列式得到a与x的关系式，表示出CF和BE长，得到三角形面积表达式，再求出最值．【详解】（1）由折叠可知ME＝BE＝x，∴AE＝1－x，在Rt△AEM中，由AM＝13，得1解得x＝59（2）如图，连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，∵EB＝EM，∴∠EBM＝∠EMB，∵∠EBC＝∠EMN，∴∠MBC＝∠BMN，∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，∴△BAM≌△BHM，∴AM＝HM，BH＝AB，∵BC＝AB，∴BH＝BC，∵BP＝BP，∴Rt△BHP≌Rt△BCP，∴HP＝PC，∴△MDP的周长＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，∴△MDP的周长为2；（3）如图，连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，则QF＝BC＝AB，∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，∴∠BEF＝∠AMB，∵∠A＝∠EQF，∴△AMB≌△QEF，∴AM＝EQ，设AM＝a，则a2∴a＝2x−1，∴CF＝x－2x−1，∴S＝12＝12(x－2x−1＋x＝12(2x－2x−1设2x−1＝t，则2x=tS=1∴当t＝12，即x＝58时，面积的最小值为【点睛】本题考查几何动点问题，解题的关键是掌握勾股定理，折叠性质的运用，全等三角形的性质和判定，二次函数最值的求解，需要掌握数形结合的思想．【变式2-3】（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB(1)当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？(2)设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ:【答案】(1)20(2)y=(3)存在，2【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥（2）过点P作PE⊥AB，证明△BPE∽△BAC，根据相似三角形的性质求出PE、PD，根据梯形的面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4∴AB=A∵PD∥∴当PQ∥AC时，四边形∴QBAB=BP解得，t=20答：当t=2013时，四边形（2）解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，∵∠PEB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BPE∽△BAC，∴PEAC=BP解得，PE=3∵PD∥∴∠DPC=∠B，∠C=∠C，∴△CPD∽△CBA，∴PDAB=CP解得，PD=20−5t∴y===9（3）解：若存在某一时刻，使S四边形则y=∵S∴940解得，t1=0（舍去），则t为2s时，S【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．【考点3拱桥问题】【例3】（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【答案】149##【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（−3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（−3，0）代入得，∴9a+2=0，∴a=−2∴抛物线解析式为：y=−2当水面下降，水面宽为8米时，有把x=4代入解析式，得y=−2∴水面下降149故答案为：149【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式3-1】（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B【答案】(1)y=−(2)A(5−【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)将(0,0)代入，得0=a(0−5)2+9∴抛物线的函数表达式为y=−9（2）令y=6，得−9解之，得x1∴A(5−5【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．【变式3-2】（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，y=−120x2；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,−5)．设该抛物线函数表达式为y=ax则−5=100a，∴a=−1∴该抛物线的函数表达式是y=−1任务二：∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，∴悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，∴悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8．当y=−1.8时，−1.8=−120x2，解得∴悬挂点的横坐标的取值范围是−6≤x≤6．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵−6≤x≤6，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4>6，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−4.8．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−5.6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式3-3】（2022·湖北咸宁·统考一模）图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距离为2m．(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？【答案】（1）66m；（2）当水面下降1m后，水面宽为2【分析】（1）先建立直角坐标系，求出函数解析式，计算当y=-1时的横坐标即可得到答案；（2）设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，设圆的半径为xm，根据勾股定理列方程求出半径，设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，根据勾股定理即可求出答案.【详解】（1）以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则点B（6，0），A（-6，0），∵（0，2）在抛物线上，∴设其抛物线为：y=ax2+2，把（6，0）代入得：0=a×62+2，∴a=−1∴抛物线为：y=−1当y=-1时，有−1=−1解得x=±36∴此时水面的宽为：2×36（2）如图，设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，则CD=2，BC=6．设圆的半径为xm，则OC=(x-2)m由勾股定理得：(x-2)2+62=x2解得：x=10设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，则OM=10-3=7(m)，

连接OF，由勾股定理得：MF=102∴当水面下降1m后，水面宽为251【点睛】此题考查函数解析式的求法，勾股定理，圆的性质，正确理解抛物线和圆的图形特点是解题的关键.【考点4销售问题】【例4】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，根据题意得，w=54−a−30∵−5<0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=−2x+100；(2)40元或20元；(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（25，50）和点（35，30）代入，得25k+b=5035k+b=30，解得k=−2∴一次函数的解析式为y=−2x+100；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则(x−10)×(−2x+100)=600，解得：x1=40，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意，则w=(x−10)×(−2x+100)，整理得：w=−2(x−30)∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．【变式4-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123…x每天的销售量（千克）101214…

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)见解析(2)y＝{(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；（2）根据图像写出分段函数即可；（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）设每天的销量为z，∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，∴z＝sx+t，∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，∴{s+t=10解得{s=2即z＝2x+8，当x=30时，销售量z=68，则将表格中的最后一列补充完整如下表：x（天）123…30每天的销售量（千克）101214…68（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，设y＝kx+b，∴{10k+b=14解得{k=−∴y＝-12当20＜x≤30时，y＝9，∴y关于x的函数关系式为y＝{−（3）由题意知，当0＜x≤20时，w＝(2x+8)(−12x+19−5)∴此时当x＝12时，w有最大值为256，当20＜x≤30时，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，∴此时当x＝30时，w有最大值为272，综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键．【变式4-3】（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．【答案】(1)a=−(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．（1）把x=3,y=7.2，x=4,y=5.8代入9a+c=7.2,②-①，得7a=−1.4，解得a=−1把a=−15代入①，得∴a=−1（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有w=x化简，得w=−1∵−14<0,t=4∴当t=4时，w有最大值．答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．（3）由y供给=y化简，得x2+5x−50=0，解得∴售价为5元/千克．此时，y供给=y把x=5代入x售价=1把t=6代入w=−14t∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．【考点5投球问题】【例5】（2022·河北石家庄·统考一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1:y=−1(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于23米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CF∥x轴，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b【答案】(1)c=4；b=32；小球离(2)98≤b≤193(3)157【分析】（1）有题意可得点B坐标，然后代入可求得c的值；先求出C2的函数表达式，根据两个函数值的差为1可求得此时小球离B（2）先将x=15代入抛物线C1，可得最远着陆点在小山丘外的平地上，再将x=15代入抛物线C2，可得b的取值范围，然后求出（3）由题意可得，小球恰好落在装置内时，对应的横坐标范围是13—14，分别将x=13和x=14代入函数表达式求出对应b的取值范围即可．【详解】（1）由题意可得点B的坐标为0,4，将B0,4代入C解得c=4；∵C1与y轴交于点A∴A0,1，B0,4．由题意可知，抛物线∴−18×∴抛物线C2的函数表达式y=−∵小球与小山丘的竖直距离为1米，∴−1解得：x1=−4（不合题意，舍去），∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；（2）将x=15代入抛物线C1，得y=−∴最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为（15，0）将x=15代入抛物线C2，得y=−解得：b≤∵抛物线C1:y=−1∵当小球飞行到小山丘顶正上方，且与顶部距离不小于23∴y=−18∴b的取值范围是98∵c=4，∴抛物线C2:y=−18x∵98≤b≤193120，∴当b=9∴小球飞行路线的项点到x轴距离的最小值为20932（3）∵抛物线C当x=14时，y=−1∴E14,1∵DE=1，CD=1.5，∴C13,2.5当x=13时，y=−1∴C1与CD的交点坐标为若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），则当x=13时，y=−18×当x=14时，y=−18×故b的取值范围：157104【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．【变式5-1】（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x【答案】10【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．【详解】将y=0代入y=−10=−整理得：x（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式5-2】（2022·山东青岛·校考二模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．【答案】(1)y=−(2)小球M能飞过这棵树，理由见解析(3)小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为49【分析】（1）根据最高点的坐标为4,8，设抛物线解析式为y=a(x−4)2+8（2）把x=2分别代入y=−12(x−4)（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为4,8，∴设抛物线的表达式为y=a(x−4)把0,0代入得，0=a(0−4)解得：a=−1∴抛物线的表达式为y=−1（2）当x=2时，y1=1∵6−1>4，∴小球M能飞过这棵树；（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度ℎ=−1∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．【变式5-3】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)当t＝s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离【答案】(1)0.4；y与x之间存在二次函数关系，y=−0.2(2)乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；(3)2.5；0.45m【分析】（1）先