2023年新高考天津数学高考真题（试卷）（附答案解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）={2,3,4,5,A1,3,B}={}=1,2,4}A=1.已知集合U，则UðB（）1,3,5}{}1,31,2,4}4,5}D.A.B.C.2.“a2=b2”是“a2+b2=2ab”）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件3.若a0.5,b0.6,c0.60.5，则a,b,c===的大小关系为（）A.c>a>bC.a>b>cB.c>b>aD.b>a>c()的图象如下图所示，则()的解析式可能为（）fxfx4.(−e−+2))5exxx5sinxx+12A.CB.D.x2(+e−+25ex5cosx+1x2x2()的一条对称轴为直线fx，一个周期为()的解析式可能为（）fx5.已知函数x=24π2π2sinsinxxA.C.B.D.ππxx44第1页共5页{}为等比数列，为数列{}的前项和，=+，则的值为（）anSnannan12Sn246.A.3B.18C.54D.7.r0.8245=）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245132P−ABCPM=PCPBNPN=PB8.在三棱锥中，线段上的点满足M，线段上的点满足3P−AMNP−ABC三棱锥和三棱锥的体积之比为（C.）11342A.B.D.999x22y2−(ab0)>>FFF29.双曲线P12ab222=2PF的斜率为1知A，直线，则双曲线的方程为（）4x2y2x2y2−−==11−−=1B.D.8448x2y2x2y2=1C.4224二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．5+14i2+10.i是虚数单位，化简的结果为_________．第2页共5页16x在2x3−的展开式中，x2项的系数为_________．12.过原点的一条直线与圆C:(x+2)值为_________．2+y2=3y2=2px(p>0)=8于点p的P13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比40%,25%,50%_________例分别为个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．14.在中，∠A=60，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设ABa,ACb，==1BF=BC_________．则可用a,b表示为_________，则的最大值为⋅3()=fxax22xx2ax+1有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________−−−．15.若函数三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角（1B的值；,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a=39,b=∠A=120．c（2的值；sinB−C)．(（3ABC-ABCAA⊥ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA=AC=1M,N面，分别是111117.三棱台中，若111BC,BA中点.AN平面11（1）求证：；第3页共5页C11A所成夹角的余弦值；1（2）求平面与平面（3）求点C到平面C的距离．1x22y22+=a>b>0)的左右顶点分别为A,AFAF=AF=118.设椭圆，右焦点为，已知．1212ab（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P2Py轴于点QA1交，若三角形的面积是三角2FP2P的方程．形面积的二倍，求直线{}等差数列，+=−=4．aa255a319.n2n1∑（1）求{}的通项公式和aa．in1i=2n（2）已知{}为等比数列，对于任意kN*，若2k1n2−1，则b<a<b，k1bn∈≤≤kkn（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k−1<k<2+1；k（Ⅱ）求{}的通项公式及其前项和．bnn11x2()=fx+(+)．lnx120已知函数y=f(x)在x=2处切线的斜率；（1）求曲线fx1（2x0时，证明：>()>；512<lnn!−n+lnn+n≤1()()（3）证明：．6第4页共5页第5页共5页2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（答案）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）={2,3,4,5,A1,3,B}={}=1,2,4}A=1.已知集合U，则UðB（）1,3,5}{}1,31,2,4}4,5}D.A.B.C.【答案】A【解析】【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；ðB=UA=，【详解】由，而ðBA=.U所以故选：A2.“a=b2”是“a22+b2=2ab”）A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】BB.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.a2=b2，则a2ab，则(a−b)=b2是a+b=2ab的必要不充分条件.=±b，当a=−b≠0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立；【详解】由由a2+b2=2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立；222所以a故选：B3.若a0.5,b0.6,c0.60.5，则a,b,c===的大小关系为（）A.c>a>bC.a>b>c【答案】D【解析】B.c>b>aD.b>a>c【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.第1页共22页y=x在Ra=<b=，【详解】由y=x0.5在+∞)上递增，则a=>c=0.6.由所以b>a>c.故选：D()的图象如下图所示，则()的解析式可能为（）fxfx4.(−e−+2))5exxx5sinxx+12A.C.B.D.x2(+e−+25ex5cosx+1x2x2【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断AC中函数在(0,+∞)函数符号排除选项，即得答案.上的f(−2)=f(2)<0【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，5sin(−x)5sinx=−由且定义域为RB中函数为奇函数，排除；(−x)2+1x2+1x−e−+2x)x+e−x)+2(0,+∞)上函数值为正，排除；、中当x0时>>0、>0ACx2x2故选：D()的一条对称轴为直线fx，一个周期为()的解析式可能为（）fx5.已知函数x=24π2π2sinxxA.B.第2页共22页π4π4sinxxC.D.【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足=题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：ππππA选项中T==4T==4，选项中B，，2ππ2ππC选项中T==8，D选项中T==844排除选项CD，π××20=，故(0)对于A选项，当x==2时，函数值是函数的一个对称中心，排除选项是函数的一条对称轴，A，2π2=1，故x=2对于B选项，当x2时，函数值故选：B.2{}为等比数列，为数列{}的前项和，=+，则的值为（）anSnannan12Sn246.A.3B.18C.54D.【答案】C【解析】a4的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值.【详解】由题意可得：当n=1时，a=2a+2，即aq=2a+2，�2111当n2时，=a3=(+)+21a2，即aq=2(a+aq)+2，112�21a=q=31联立①②可得，则4=1q3=54.故选：C.7.r0.8245=）第3页共22页A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【解析】ABCD选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于r0.8245=相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C132P−ABCPM=PCPBNPN=PB8.在三棱锥中，线段上的点满足M，线段上的点满足3P−AMNP−ABC三棱锥和三棱锥的体积之比为（C.）11342A.B.D.999【答案】B【解析】M,C′⊥′⊥PA,垂足分别为M,C.过B作BB平面B′，′′′⊥作MM,CC连接PB′,过N作NN′⊥′,PB垂足为N′.先证NN′⊥平面V，则可得到BB//NN，再证//CC.′′′′′P−P−B−MM13NN'BB'23=N−==由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.′CC第4页共22页M,C′⊥′⊥PA,垂足分别为M,C.过B作BB平面′′′⊥PB′,过作MM,CC为B′，连接N作NN′⊥′,PB垂足为N′.因为BB′平面⊥，′⊂平面′，所以平面′PBB⊥平面.又因为平面PBB′平面PAC=PB，NN⊥PB，NN⊂平面′′′′′，所以NN′⊥平面，且′′.BB//NN′PM13在△′′′′′==，PCC中，因为MM⊥,CC⊥PA，所以//CC，所以PC′CC′PNNN23在△′′′，中，因为BB//NN，所以==PB′BB111′⋅′′NN⋅⋅PANNS⋅P−N−321129==3==所以.1VPVB−′′⋅′⋅⋅⋅−SBBPACCBB332故选：Bx22y2−(ab0)>>FFF29.双曲线P12ab222=2PF的斜率为1知A.C.，直线，则双曲线的方程为（）4x2y2x2y2−−==11−−=1B.D.8448x2y2x2y2=14224【答案】D【解析】第5页共22页bba【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设2=θ，由tanθ==得到=a，OPa+222=cyx.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到=，解出，代入双曲线的aPPa24方程即可得到答案.【详解】如图，ba()，不妨设渐近线方程为，即，Fc,0y=xbx−ay=0因为所以2bcbcc2===b，a2+b2所以b2=2bb2=θtanθ====a2=cx=设,则，所以，所以.OPOPaabc121abca2ab=c⋅y,y=PyPb因为所以，所以，所以，tanθ===PP2cxPxPa2aP,所以，ccF(−c,0)，因为所以所以1abcab2aa+22k=====，PFa2a2+c2a2+a2+4a241+cc()2a2+2=4a=，解得a2，x2y2−=1所以双曲线的方程为24故选：D第6页共22页二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．5+14i2+10.i是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】4i##i+4+【解析】2−【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.(+)(−)5+2+52(+)(−)2252+===4+i【详解】由题意可得.13故答案为：4i.+16x在2x3−的展开式中，x2项的系数为_________．【答案】【解析】=()k×26−k618−4k，令18−4k=2确定×k×【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式k1k的值，然后计算x2项的系数即可.k1x−k()6()k6−k×18−4k，【详解】展开式的通项公式k1=Ck62x3−=−1×2×Ck6令18−4k=2可得，k=4，(−)4×26−4×46=4×1560.=则x2项的系数为故答案为：60.1C12.过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3y2=2px(p>0)=8于点p的P值为_________．【答案】6【解析】(+)x22+y2=3和曲线y=y=，k>022关于x根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．(+)【详解】易知圆x22+y2=3和曲线y=y=，k>0，22关于x轴对称，不妨设切线方程为第7页共22页2px=y=x=02ky=3x3=3=3，由4p所以，解得：k解得：或，1+k2y2=2pxy0=23p32223p2pp=68，解得：．所以=+==333当k=−3时，同理可得．故答案为：6．13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比40%,25%,50%_________例分别为个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．3【答案】【解析】�.�.##5【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%5n2n，白球个数为n；×=甲盒中黑球个数为25%4nn，白球个数为n；×=甲盒中黑球个数为50%6nn，白球个数为×=n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，()=××=；PA0.40.250.50.05记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球为事件B，黑球总共有2n+n+n6n个，白球共有个，=9n9n3()=PB=所以，．15n53故答案为：；．514.在中，∠A=60，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设ABa,ACb，==1BF=BC_________．则可用a,b表示为_________，则的最大值为⋅31411324�.a+b�.【答案】2第8页共22页【解析】1E为CDa,b表示出2AF空答案，于是⋅可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.AE+ED=AD【详解】空1：因为E为CD的中点，则EDEC0，可得+=，AE+EC=AC两式相加，可得到2AE=AD+AC，11122AE=a+bAE=a+b即，则；24AF+FC=AC1BF=BC空2：因为，则2FBFC0，可得，+=3+=AFFBAB()AF+FC+2AF+FB=AC+2AB得到，213=a+b.即3AF=2a+b，即3AE⋅AF=141211(22)a+b⋅a+b=2a+5a⋅b+b于是.23312AB=x,AC=y记则，111125(222)2x2+5cos60+2y)=2x++2yAE⋅AF=2a+5a⋅b+b=222，1212=x+y192在中，根据余弦定理：BC22−2cos60=x2+y2−=1，1125AE⋅AF=2++2=+2于是，2122由故则x2+y2−=1和基本不等式，x2+y−=1≥2−=，2≤1，当且仅当x=y=1取得等号，13x=y=1时，有最大值⋅.241411324a+b.故答案为：；2第9页共22页()=fxax22xx2ax+1有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________−−−．15.若函数()∪()∪(),00,1【答案】【解析】a【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．()=⇔(−)a1x2−ax+1≥0时，fx02+(−)−=a2x10，）当xa−1x−x+1=0，即()()若a=1时，x=1，此时xax10成立；−2−+≥1a≠1时，x=或x=1−，若a−1x=−1，则1+a+1≥0若方程有一根为，即a≥2且a≠1；12a−11a−11a−1x=−a×+1≥0a≤2a≠1；，解得：且若方程有一根为，则1a−1x==−1时，a=0，此时1+a+1≥0成立．若()=⇔(+)−(+)+=，a1xa2x102−ax+1<0时，fx02（2xa+1x−x−1=0，即()()若a=1时，x1，显然xax10不成立；=2−+<1a+1若a≠1时，x1或=x=，若方程有一根为x1，则=1−a+1<0，即a>2；12a+11a+11a+1x=−a×+1<0，解得：a<−2；若方程有一根为，则1a+1x==1时，a=0−+<若，显然x2ax10不成立；综上，11当a<−2时，零点为，；a+1a−1第10页共页1a−1当2≤a<0时，零点为，1；当a0时，只有一个零点1；=1a−1当0<a<1时，零点为，1；当a=1时，只有一个零点1；1a−1当1a2时，零点为<≤，1；−1．当a2时，零点为>所以，当函数有两个零点时，a0且≠a≠1．()∪()∪(),00,1故答案为：．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角（1B的值；,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a=39,b=∠A=120．c（2的值；sinB−C)．(（313【答案】（）13（2）573（3）−26【解析】）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出B,cosC【小问1详解】，即可由两角差的正弦公式求出．ab39213==，解得：sinB=由正弦定理可得，，即；sinAsinBsin120sinB13【小问2详解】第页共22页1−2×2×c×−，bcsinA，即39=4+c2由余弦定理可得，a2=b2+c2−2解得：c=5或c=7【小问3详解】ac39551326===，而A=120o，由正弦定理可得，，即，解得：sinCsinAsinCsin120sinC25339123913B,C都为锐角，因此cosC=1−=，B=1−=所以，522613133392395137326(−)=−=×−×=−故sinBCsinBcosCBsinC．13261326ABC-ABCAA⊥ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA=AC=1M,N面，分别是111117.三棱台中，若111BC,BA中点.AN平面1（1）求证：（2）求平面；1C1A与平面所成夹角的余弦值；11（3）求点C到平面C的距离．1【答案】（）证明见解析2（2）（3）343第12页共页【解析】C）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；1（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【小问1详解】AC,1A.由M,N，且BC,BA的中点，根据中位线性质，MN//AC==1，连接分别是2ACACMNAC=AC=1C可知，四边形是平行四边形，1由棱台性质，//，于是//，由111111AN则又//，11AN⊄C1⊂1C1AN//1，于是.1平面，平面1【小问2详解】过M作ME⊥AC，垂足为E，过E作EF⊥AC,1E.，垂足为F,连接1AA⊥AA1⊥，又ME⊥AC，平面AC∩AA1=A，AC,1⊂由⊂面，面，故11A⊥1A，则平面.111⊂1A⊥ACEF⊥AC1ME,EF⊂∩=MEF由平面，故，又，E，平面，于是111⊥平面MEF，⊂MEF1⊥C11A所成角即由平面，故.于是平面与平面.1AB1225==1cos∠CAC=，1，则sin1=EF=1×sin1=，故又，在255第13页共页453Rt中，∠=90，则=1+=，5EF23于是cos==【小问3详解】[方法一：几何法]CP⊥AC1CQ⊥AM，垂足为Q1PQ,PMPR⊥Q，过P作，垂足为过1作R.，垂足为P，作，连接由题干数据可得，CACC==5，1M=CP2PM=5，根据勾股定理，+21112232Q=5−=，22第14页共页由1P⊥平面，AM平面⊂，则CP⊥AM1CQ⊥AMCQCP=C，又，，1111CQ,CP⊂C1AM⊥C平面.1平面，于是11又PR平面⊂C1，则⊥，又PR⊥QCQAM=QQ,AM⊂，，C平面，故11⊥平面1.22⋅1⋅PQ23223Rt1PQPR===在中，，12又CA2PA，故点到平面=CC1的距离是到平面PC1的距离的两倍，4即点C到平面C1的距离是.3[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C到平面C1的距离为h.11123(2)=2V=×CP×S=×2××，1−1332111322hV=×h×S=×h××2×=.C−113322第15页共页h2343由1−=C−1⇔=h=.，即2x22y22+=a>b>0)的左右顶点分别为A,AFAF=AF=118.设椭圆，右焦点为，已知．1212ab（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P2Py轴于点QA，若三角形的面积是三角1交2FP2P的方程．形面积的二倍，求直线x2y21+=1，离心率为e=【答案】（）椭圆的方程为.4326(−).x2（2）y=±2【解析】a+c=3ac1，从而求出b=3==1）由解得，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率a−c=1公式即求离心率.yx⋅xPP点和Q2P（2点坐，即可得到关于k的方程，解出k，代入P2S=S1+S=2S2+S122Q=3y得标.由2AAPAAP1122P直线的方程即可得到答案.【小问1详解】如图，a+c=3a−c=1ac1===222=3，−由题意得，解得，所以b第16页共页x2y2c12+=1，离心率为e==所以椭圆的方程为.43a【小问2详解】x2y2=1可得A2,0)，(2P+由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为2432P=(−)ykx2的方程为，设直线22xy+=1()x3y3+4k22−16k2x+16k2−120=联立方程组4，消去整理得：，ykx2=(−)16k2−128k−62由韦达定理得xAxP⋅=，所以x=P，3+4k23+4k222−−8k612k所以，2(−)Q2k.P,−3+4k23+4k111S=×4×y,S=×1×y,S=×4×y，P所以所以所以2Q2PAAP222112S=S1+S=2S2+S12k，2AAPAAP121122Q=3y2−2k=3−，即，P+234k662=±2Py=±的方程为(x−2).解得k，所以直线2{}是等差数列，+=−=4．aa255a319.n2n1∑（1）求{}的通项公式和aa．in1i=2n（2）已知{}为等比数列，对于任意kN*，若2k1n2−1，则b<a<b，k1bn∈≤≤kkn（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k−1<k<2k+1；（Ⅱ）求{}的通项公式及其前项和．bnn2n1n∑a=2n+1i=3×22n1；【答案】（），1i=2nb=2nnn（2）Ⅰ)证明见解析；)，前项和为2n1−.2第17页共页【解析】a=d=212n1∑ni=3×22n1.后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得1i=2n1n2≤≤−1时，kk(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k<a，n<bk−1时，nn=2k1−1，即可证得题中的不等式；，取取n=2k1，当2k−2≤n≤2k1b=n2n，然后分别排除q>2和q<2两种情况即可确定数列的公比，进而可得(Ⅱ)结合()中的结论猜想nn数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.【小问1详解】a+a=2a+5d=6a=3d=22511由题意可得，解得，a−a=2d=453则数列{}的通项公式为a=n1n1d2n1+(−)=+，ana=2×2n1+1=2n+1，从2n1到a共有2n−1−2n1+1=2n1项，1−注意到1n−(2n−)−12n−112n−1∑×(2+)1+×2=2+2+2−2=3×22n−=2n1n2n1n12n−2n11故ai21i=2n【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当2<ann2≤≤−1时，kk1k，取n=2k1，则b<a=2×2k1+1=2k+<1，即k2k+1，k2k1<b，k当2取nk−2≤n≤2k−1−1时，n=2k1−1，此时ana2k1122)12−+=−1，==k1k据此可得2−1<bk，k2k−1<k<2k+1.综上可得：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：1<b<<b<7<b<<b<，1234b=2nn据此猜测，=−>×q>2，则nqn1bn1−>n1，2否则，若数列的公比1第18页共页)1−()n1−2−1>0不恒成立，即2n1n−n2−(2−=1−2n121>n2−1不恒成立，注意到，则n此时无法保证2−1<bn，nq<2，则nqn1bn13n1=−<×−<×−，若数列的公比1−()132n1×−2n+=2n1−1，则2n1−1<0不恒成立，即3×2<2n+1不恒成立，n1注意到此时无法保证b<n+，21nb=2nn综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为，()2×1−2nn其前项和为：S==2n1−2.n1−2n项和的核生探索新知识很有裨益.11x2()=+(+)．lnx1fx20.已知函数（1）求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率；fx1（2x0时，证明：>()>；512<lnn!−n+lnn+n≤1()()（3）证明：．61ln3−【答案】（）34（2）证明见解析（）证明见解析【解析】）利用导数的几何意义求斜率；2xx+22xx+2(+)>（2）问题化为x0时x1=(+)−g(x)x1>，构造，利用导数研究单调性，即可证结论；12h(n)