新教材2023版高中数学课时作业三十离散型随机变量的数学期望湘教版选择性必修第二册

课时作业(三十)离散型随机变量的数学期望练基础1.若随机变量X的分布列如下(a∈R)，则E(X)＝()X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)aA.eq\f(1,6)B．eq\f(5,3)C.eq\f(\r(5),3)D．eq\f(5,9)2．已知随机变量X服从二项分布B(8，eq\f(1,2))，则E(3X－1)＝()A.11B．12C.18D．363．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，E(X)＝________．4．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4.求在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及数学期望．提能力5.小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝()A．176B．182C．184D．1866．某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆．现选4人参加比赛，2人划左桨，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则E(X)＝()A．eq\f(6,5)B．eq\f(7,5)C．eq\f(48,31)D．eq\f(38,31)7．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是eq\f(7,9)，则袋中的白球个数为________，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个．(1)用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；(2)求E(ξ)及E(2ξ＋1).9．高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“3＋1＋2”模式，为了解学生选科情况，长沙某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人．(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率．现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望．培优生10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为________．11．从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为1－p(其中0<p<1).在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择A，再从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；Ⅲ：只选择A，小明该题的得分为Z.在p变化时，根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略．课时作业(三十)离散型随机变量的数学期望1．解析：由分布列性质，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋a＝1，则a＝eq\f(1,6)，所以E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：B2．解析：∵随机变量X服从二项分布B(8，eq\f(1,2))，∴E(X)＝8×eq\f(1,2)＝4，E(3X－1)＝3E(X)－1＝3×4－1＝11.答案：A3．解析：Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.答案：0.74．解析：由题设，Y的可能取值－4，－2，0，2，4，P(Y＝－4)＝0.2×0.2＝0.04，P(Y＝－2)＝0.2×0.5＋0.5×0.2＝0.2，P(Y＝0)＝0.2×0.3＋0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，P(Y＝2)＝0.5×0.3＋0.3×0.5＝0.3，P(Y＝4)＝0.3×0.3＝0.09.Y的概率分布为Y－4－2024P0.040.20.370.30.09所以E(Y)＝－4×0.04＋(－2)×0.2＋0×0.37＋2×0.3＋4×0.09＝0.4.5．解析：依题意可得X的可能值为200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，X的分布列为X200180160P0.40.30.3所以E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182.答案：B6．解析：由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝31(种)选法，当X＝0时，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3(种)，P(X＝0)＝eq\f(3,31)，当X＝1时，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝18(种)，P(X＝1)＝eq\f(18,31)；当X＝2时，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝10(种)，P(X＝2)＝eq\f(10,31)，E(X)＝eq\f(18,31)＋eq\f(10,31)×2＝eq\f(38,31).答案：D7．解析：依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是eq\f(7,9)，则不含白球的概率为eq\f(2,9)，可得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10－x)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(2,9)，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5.依题意，随机变量ξ～H(10，5，3)，所以E(ξ)＝eq\f(3×5,10)＝eq\f(3,2).答案：5eq\f(3,2)8．解析：(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，故ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1＋1＝3.9．解析：(1)设该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(100)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(300)))＝eq\f(1,3)，所以该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史的概率为eq\f(1,3).(2)由题意得：全校高三学生选历史的概率为eq\f(1,3)，则X～B(3，eq\f(1,3))，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(1,3))0(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,3))1(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(1,3))2·eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，所以X的分布列为X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)数学期望为E(X)＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1(或E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1).10．解析：由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，由p∈(0，1)，所以p∈(0，eq\f(1,2)).答案：0<p<eq\f(1,2)11．解析：：选策略Ⅰ，则小明得分为X的分布为X025Peq\f(1,2)p1－peq\f(1,2)p得分的期望为E(X)＝2(1－p)＋5×e