新教材2023版高中数学课时作业二十七空间向量运算的坐标表示空间向量平行共线和垂直的条件北师大版选择性必修第一册

课时作业(二十七)空间向量运算的坐标表示空间向量平行(共线)和垂直的条件[练基础]1．在空间直角坐标系O­xyz中，下列说法中正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标相同2．已知三个力F1＝(1,2,1)，F2＝(－1，－2,3)，F3＝(2,2，－1)，则这三个力的合力的坐标为()A．(2,2,3)B．(0,0,0)C.eq\r(17)D．03．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1B．1C．0D．－24．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))5．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是()A．3B．4C．5D．66．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)7．已知点B(2，－3,1)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，则点A坐标是________．8．若a＝(2,3，－1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为()A．(4,6，－5)B．5C．7D．369．如果A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)三点共线，那么a－b＝________.10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[提能力]11．[多选题]已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．a∥cD．b∥c12．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，设C(λ，eq\f(1,3)＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A.eq\f(11,6)B．－eq\f(11,6)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)13．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4,2－2m，2－2m)平行，则m的值等于________．14．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).若ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________.15．如图，已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.[培优生]16．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))取最小值时，点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(4,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(8,3)，\f(4,3)))课时作业(二十七)1．答案：D2．解析：F1＋F2＋F3＝(1，2，1)＋(－1，－2，3)＋(2，2，－1)＝(2，2，3).故选A.答案：A3．解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.故选A.答案：A4．解析：设点C坐标为(x，y，z)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－4)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(6,5)，y＝－eq\f(4,5)，z＝－eq\f(8,5).故选A.答案：A5．解析：因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.故选C.答案：C6．解析：由已知得ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k，2)·(3，2，－2)＝0，得5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5)，故选D.答案：D7．解析：设点A(x，y，z)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－x，－3－y，1－z)＝(－3，5，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x＝－3,－3－y＝5,1－z＝2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－8,z＝－1))，所以点A(5，－8，－1).答案：(5，－8，－1)8．解析：b＋c＝(2，0，3)＋(0，2，2)＝(2，2，5)，a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.答案：59．解析：∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(1，－1，3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4)).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ（a－1）,－1＝－2λ,3＝λ（b＋4）))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2),a＝3，,b＝2))∴a－b＝1.答案：110．解析：ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16).(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，则eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq\f(106,3).11．解析：因为a·b＝－2×2＋1×4＝0，所以a⊥b，B正确；因为a＝(－2，－3，1)＝eq\f(1,2)(－4，－6，2)＝eq\f(1,2)c所以a∥c，C正确；因为b·c＝2×(－4)＋4×2＝0，所以b⊥c，D不正确．故选BC.答案：BC12．解析：设D(x，y，z)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1，z－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1－x，－y，－1－z)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2（1－x），,y－1＝－2y，,z－2＝－2－2z.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(1,3)，,z＝0.))∴D(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)－λ，－λ，－1－λ)，∵eq\o(CD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\f(1,3)－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－eq\f(11,6).故选B.答案：B13．解析：当m＝1时，a＝(2，0，0)，b＝(4，0，0)，显然满足a∥b；当m≠1时，则依a∥b则有eq\f(4－2m,4)＝eq\f(m－1,2－2m)＝－eq\f(1,2)，解得m＝3.综上可知m＝1或m＝3.答案：1或314．解析：因为a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).答案：k＝2或k＝－eq\f(5,2).15．证明：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，设Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6.因为P是DD1的中点，所以P(0，eq\f(9,2)，3)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(6，m－eq\f(9,2)，－3)，又AB1＝(3，0，6)，于是AB1·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝18－18＝0，所以AB1⊥eq\o(PQ,\s\up6(→))，即AB1⊥PQ.16．解析：设eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))＝(t，t，2t)，t≥0，∵A(1，2，3)，B(2，1，2)，C(1，1，2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1－t，2－t，3－2t)，eq\o(DB,\s\up6(