新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何2.4空间向量在立体几何中的应用2.4.2空间线面位置关系的判定第2课时向量与平行学生用书湘教版选择性必修第二册

第2课时向量与平行新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一向量法判断线线平行设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1∥l2❶⇔________⇔________．批注❶注意l1与l2是两条不重合的直线．要点二向量法判断线面平行设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，则l∥α❷⇔__________⇔__________⇔________．批注❷必须说明直线不在平面内！要点三向量法判断面面平行设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β❸⇔________⇔________⇔__________．批注❸必须说明两个平面不重合！基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．()2．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－12，－1，－32)，则l1，l2的位置关系是(A．垂直B．重合C．平行D．平行或重合3．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．以上选项都不对4．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1向量法证明线线平行例1在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.方法归纳利用向量法证明线线平行的2种方法巩固训练1如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．题型2向量法证明线面平行例2在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.方法归纳利用空间向量证明线面平行的3种方法巩固训练2在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.题型3向量法证明面面平行例3如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.方法归纳利用空间向量证明面面平行的方法巩固训练3已知正方体ABCD­A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.第2课时向量与平行新知初探·课前预习[教材要点]要点一v1∥v2x要点二v⊥nv·n＝0xa＋yb＋zc＝0要点三n1∥n2n2＝kn1a[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√2．解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝-1所以v1＝－2v2，即v1∥v2，所以l1∥l2或l1与l2重合．答案：D3．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α.答案：D4．解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，∴n1＝13n2，∴n1∥n2，∴α∥β答案：α∥β题型探究·课堂解透例1证明：方法一以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，∴PQ＝(－3，2，1)，RS＝(－3，2，1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.方法二RS＝RC+CS＝12DC-DA+12DD∴RS＝PQ，RS∥PQ，即RS∥巩固训练1证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，12)，C1(0，1，1)，F∴AE＝-1，0，12，FC1＝-1，0，12，∴AE＝FC1，∴AE∥F∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．例2证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，a2，方法一设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，又DE＝(0，a2，a2)，EB＝(a，a则有n·DE即y+z=0，2x+y-z=0.令z＝1，则x=1，y=-1，又PA＝(a，0，－a)，所以n·PA＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥PA.又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(a2，a2，0)，所以EG＝(a2，又PA＝(a，0，－a)，所以PA＝2EG，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三假设存在实数λ，μ使得PA＝λDE＋μEB，即(a，0，－a)＝λ(0，a2，a2)＋μ(a，a则有a=μa所以PA＝－DE+又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.巩固训练2证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，AB＝(2，0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED·n令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.例3解析：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由条件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，G(a2，1，4)所以BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，EG＝(a2，1，1)，EF＝(0，1方法一因为B1D·BA＝B1D·BD＝0＋4－4＝所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因为BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD又B1D·EG＝0＋2－2＝B1D·EF＝0＋2－2所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.方法二设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则ny1+令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·即x令y2＝1，则n2＝(0，1，－1)．所以n1＝n2，所以平面EGF∥平面ABD.巩固训练3证明：方法一设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是AB'＝(0，1，1)，D'B'＝(1，设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n即n令y1＝1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．易知DB＝(1，1，0)，DC'＝(0，1，1)由n2⊥令y2＝1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1，1，－1)．则n1＝n2，所以