5.1 随机事件与样本空间 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第五章概率5.1随机事件与样本空间5.1.1随机事件教材要点要点一随机现象1．在相同的条件下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象．2．对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验．随机试验一般用大写字母________表示．

状元随笔(1)随机现象与确定性现象不同，确定性现象在一定的条件下必然发生(出现)．(2)随机现象的结果不止一个，哪个结果出现事先并不知道．E要点二样本空间1．样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能________称为样本点．一般用________(或带下标)表示．2．样本空间：将随机试验所有________构成的集合称为此试验的样本空间，用________表示．3．如果样本空间中________的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间．

状元随笔样本点与样本空间的关系是元素与集合的关系．样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．结果ω样本点Ω样本点要点三随机事件1．一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的________是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．2．由____________组成的集合称为基本事件．3．由于样本空间Ω包含了所有的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω为________事件．4．空集∅也是Ω的子集，所以∅也是事件，但空集∅中没有样本点，永远不会发生，称∅是________事件．状元随笔随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生；必然事件一定会发生，不可能事件一定不会发生．子集一个样本点必然不可能基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机试验的所有可能结果是不明确的．(

)(2)必然事件不是样本空间Ω的子集．(

)(3)随机试验的样本空间是一个集合．(

)(4)我们一般用列举法表示样本空间和随机事件．(

)××√√2．下列事件：①明天下雨；②3>2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2<0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.其中随机事件的个数为(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：D解析：①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．3．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是(

)A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生答案：B解析：由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．4．抛掷二枚硬币，面朝上的样本空间有________________________________________．{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}解析：每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上，则样本空间为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．题型1事件类型的判断例1指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)在标准大气压下，温度低于0℃时，冰融化；(2)某个数的绝对值小于0；

(3)掷一枚硬币，出现正面；(4)某地12月12日下雨；

(5)导体通电后发热；(6)没有水分，种子发芽；

(7)三角形的内角和为180°；(8)某人购买福利彩票5注，均未中奖．解析：(5)(7)无论在什么条件下都一定会发生，所以是必然事件．(1)(2)(6)一定不会发生，所以是不可能事件．(3)(4)(8)有可能发生也有可能不发生，所以是随机事件．方法归纳要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．跟踪训练1

(1)(多选)下列事件中是随机事件的是(

)A．任取一个整数，被2整除B．小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分C．甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜D．当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍答案：ABC解析：ABC均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，D是一定发生的事件，为必然事件．(2)一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球．下列事件为不可能事件的是(

)A．3个都是白球

B．3个都是红球C．至少1个红球

D．至多2个白球解析：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确；摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确；袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确；摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确．答案：A题型2确定试验的样本空间角度1列表法确定样本空间例2

袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．(1)从中任取一个球；(2)从中任取两个球；(3)先后各取一个球(不放回)．分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．解析：(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4.(2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6.(3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球．列表如下：第一次第二次红白黄黑红

(白，红)(黄，红)(黑，红)白(红，白)

(黄，白)(黑，白)黄(红，黄)(白，黄)

(黑，黄)黑(红，黑)(白，黑)(黄，黑)

则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12.角度2树状图法确定样本空间例3

将数字1，2，3，4任意排成一列，试写出该试验的样本空间．解析：这个试验的样本点实质是由1，2，3，4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，所作树状图如图．

这个试验的样本空间Ω＝{1234，1243，1324，1342，1432，1423，2134，2143，2341，2314，2431，2413，3124，3142，3214，3241，3421，3412，4123，4132，4213，4231，4312，4321}．角度3列举法确定样本空间例4

从1，2，3，5中任取两个数字作为直线Ax＋By＝0的系数A，B.(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)写出“这条直线的斜率大于－1”这一事件所包含的样本点．

方法归纳求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关．跟踪训练2

将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数．(1)求样本空间中的样本点个数；(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”．解析：(1)方法一(列举法)试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．方法二(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示．由图可知，共36个样本点．方法三(坐标系法)如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．由图可知，样本点个数为36.(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．易错辨析不能正确理解试验结果致误例5

随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示随机事件A＝“一个男孩，一个女孩”．解析：(1)因为两个孩子的性别共有“两男”“两女”“男女”“女男”四种基本结果，所以样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．(2)因为“一个男孩，一个女孩”的结果有两种，所以A＝{(男，女)，(女，男)}．易错警示易错原因纠错心得将“一男一女”与“一女一男”两种结果错认为是一种结果，导致结果出错．1.把握随机试验的实质，明确试验的条件．2．若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题，列举样本空间与随机事件时要做到不重不漏．课堂十分钟1．下列事件中，随机事件的个数为(

)①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到80%；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．A．1B．2

C．3D．4答案：B解析：①③是随机事件；④是必然事件；Δ＝4－20<0，无实数根，②是不可能事件．2．下列事件是必然事件的是(

)A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数C．平行于同一条直线的两条直线平行D．随机选取一个实数x，得2x<0答案：C解析：A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当0<a<1时，函数y＝logax为减函数；C是必然事件；D是不可能事件，根据指数函数y＝2x的图象可得，对任意实数x，2x>0.3．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是(

)A．4B．5C．6D．7答案：A解析：从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，这三个数之和不大于8，列举如下：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}四种情况．4．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字组成一个两位数，则事件A＝“这个两位数大于40”的集合表示是________________________________．{41，42，43，45，51，52，53，54}解析：因为这个两位数大于40，所以十位数字为4或5，所以A＝{41，42，43，45，51，52，53，54}．5．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．解析：样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．高中数学湘教版必修第二册第五章概率5.1随机事件与样本空间5.1.2事件的运算教材要点要点事件的运算事件的关系定义表示法图示包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A.对于任何事件A，都有∅⊆A⊆Ω.________事件相等对于事件A，B，如果A⊆B，且B⊆A，则称A与B等价，或称A与B相等．A＝B两个相等的圆A⊆B事件的交(或积)如果某事件发生当且仅当事件A与事件B________发生，则称该事件为事件A与B的交(或积)．________(或AB)事件的并(或和)如果某事件发生当且仅当事件A________事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和)．________(或A＋B)互斥事件同时

或

不可能事件的差如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差．________事件对立如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件．Ω\A或________A\B

状元随笔(1)事件A与事件B互为对立事件，则集合A与集合B互为补集．(2)若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B一定互斥，事件A与事件B互斥，A与B不一定对立．(3)事件A与事件B互为对立事件，也即事件A与事件B有且只有一个发生．

√×√×2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(

)A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案：B解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．(多选)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中正确的是(

)A．A与C互斥

B．B与C互斥C．任何两个都互斥

D．任何两个都不互斥答案：ABC解析：由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．

至少有一次中靶

题型1事件关系的判断例1某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．解析：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．方法归纳(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．(2)事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，点数均为1～10)中任取一张．判断下面给出的每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．

解析：(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是因为还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10的牌．因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．题型2事件的运算例2

盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？

变式探究在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

方法归纳事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．