4.1 空间的几何体 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.1空间的几何体4.1.1.1几类简单几何体教材要点要点一空间几何体1．空间几何体的定义如果我们只考虑物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体．形状大小2．空间几何体的分类

多面体旋转体定义由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体．把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条________旋转而成的几何体．图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：两个面的公共边；顶点：棱和棱的交点．轴：定直线称为旋转轴．平面多边形定直线状元随笔(1)任意一个几何体都是由点、线、面构成的．点、线、面是构成几何体的基本元素．我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关系．在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．即点动成线，线动成面，面动成体．(2)多面体与旋转体的异同相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．不同点：多面体的表面是平面多边形，旋转体的侧面是曲面，底面为圆．要点二多面体多面体定义图形及表示相关概念特殊几何体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是___________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的几何体叫作棱柱．如图可记作：棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相______的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两个侧面的公共边；顶点：侧棱与底面的公共点．直棱柱：侧面都是______的棱柱；正棱柱：底面是_____多边形的直棱柱；长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱；正方体：所有棱长都相等的长方体；平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱．平行四边形平行平行矩形正棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，这样的几何体叫作棱锥．如图可记作：棱锥S-ABCD侧面：具有一个________的三角形的面；顶点：这个公共点；侧棱：相邻两个侧面的公共边；底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面．正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面放置后，它的顶点又在过正多边形________的铅垂线上．公共顶点公共顶点中心棱台过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面________的平面去截棱锥，截面和棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台．如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边．正棱台：由正棱锥截得的棱台．平行基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)棱柱的所有侧棱都平行且相等．(

)(2)棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形．(

)(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(

)(4)正三棱锥也称为正面体．(

)√√××2．下面图形中，为棱锥的是(

)A.①③

B．①③④C．①②④

D．①②答案：C解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．3．下列图形中，是棱台的是(

)答案：C解析：由棱台的定义知，A、D项的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B项中两个面不平行，不是棱台，只有C项符合棱台的定义．4．下面属于多面体的是________(填序号)．①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②解析：①②属于多面体，③④属于旋转体．题型1棱柱的结构特征例1

(1)下面的几何体中是棱柱的有(

)A.3个

B．4个C．5个D．6个答案：C解析：(1)棱柱有三个特征：1〉有两个面相互平行；2〉其余各面是四边形；3〉侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合．(2)(多选)下列关于棱柱的说法中正确的是(

)A．所有的面都是平行四边形B．每一个面都不会是三角形C．两底面平行，并且各侧棱也平行D．被平面截成的两部分可以都是棱柱

解析：棱柱的底面不一定是平行四边形，A错误；棱柱的底面可以是三角形，B错误；由棱柱的定义易知，C正确；棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，D正确．所以正确说法的序号是CD.答案：CD方法归纳判断棱柱的两种方法1．扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．2．举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.题型2棱锥、棱台的结构特征例2

(1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(

)A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥解析：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A项正确；由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B项正确；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，C项正确；如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D项错误．答案：ABC(2)如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是(

)A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案：B解析：由题图知，在三棱台A′B′C′­-ABC中，截去三棱锥A′­ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′­-BB′C′C.方法归纳判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法

棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点题型多面体的平面展开图例3

(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(

)答案：A解析：因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．(2)如图所示，长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？

方法归纳判断棱柱的两种方法1．绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．跟踪训练1

(多选)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(

)答案：CD解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现A、B可折成正四面体，C、D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．易错辨析凭直观感觉判断几何体致误例4对如图所示的几何体描述正确的是________(填序号)．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．①③④⑤解析：因为该几何体有六个面，属于六面体，①正确．因为侧棱的延长线不能交于一点，②错误．如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱，③正确．④⑤都正确，如图(1)(2)所示．易错警示易错原因纠错心得易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，错选②.解答关于空间几何体概念的判断时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切记勿只凭图形主观臆断．课堂十分钟1．(多选)下列命题中，正确的命题是(

)A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台答案：ABC解析：根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B项均为真命题；对于C项，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C项也是真命题；对于D项，只有当截面与底面平行时才对．2．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(

)A．四边形

B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形答案：C解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(

)答案：C解析：动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．53解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．5.如图所示，长方体ABCD­-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．

解析：(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1­-DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.1空间的几何体4.1.1.2几类简单几何体(2)教材要点要点一旋转体名称定义相关概念图形表示法圆柱将___________(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱．轴：边AB所在直线；底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面；母线：边CD(圆柱有无数条母线)．图中圆柱表示为圆柱AB矩形ABCD圆锥将_____________(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．轴：直角边AB所在直线；顶点：点A；底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面；母线：斜边AC(圆锥有无数条母线)．图中圆锥表示为圆锥AB直角三角形ABC圆台将_____________(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台．轴：腰BC所在直线；底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面；侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面；母线：腰AD(圆台有无数条母线)．图中圆台表示为________直角梯形ABCD圆台BC球将圆心为O的_______(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球．球面：半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面；球的半径：原半圆的半径．图中的球表示为球O半圆状元随笔(1)以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．(3)球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．要点二简单组合体1．简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体________而成；(2)由简单几何体____________一部分而成．

状元随笔要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．拼接截去或挖去基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(

)(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．(

)(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(

)(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．(

)×××√2．(多选)下列说法正确的是(

)A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的侧面展开图是一个扇形C．圆台的侧面展开图是一个梯形D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径答案：ABD解析：A、B、D项正确，C项不正确，因为圆台的侧面展开图是一个扇环．3．如图所示，其中为圆柱体的是(

)答案：C解析：B、D项不是旋转体，首先被排除．又A项不符合圆柱体的定义，只有C项符合，所以选C.4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是_____________________________．一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱解析：由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱．题型1旋转体的结构特征例1

(1)(多选)下列命题中正确的有(

)A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．圆柱的任意两条母线相互平行答案：BD解析：A中所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符合；C项中所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；BD项符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选BD.(2)下列说法正确的是(

)A．球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体B.球的直径是球面上任意两点间的连线C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆D．空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球解析：球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，A项正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，B错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，C错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，D项错误．答案：A方法归纳1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1

(多选)下列说法正确的是(

)A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面答案：CD解析：A项以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B项它们的底面为圆面；C、D正确．题型2简单组合体的结构特征例2请描述如图所示的几何体是如何形成的．解析：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．方法归纳判断组合体构成的方法(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．

跟踪训练2(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体是(

)A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C解析：一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°得到的旋转体为两个同底的圆锥的组合体．(2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号)①⑤解析：当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤.题型3空间几何体中的计算问题角度1有关旋转体的侧面展开图的计算例3

如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

方法归纳解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：角度2简单几何体中的有关计算例4

如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．

方法归纳(1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．角度3球的截面问题例5

已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．

方法归纳利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．跟踪训练3

已知一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

易错辨析对旋转体的结构特征理解不到位致错例6

(多选)下列结论中正确的是(

)A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球B．直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥C．夹