2024年高考数学优等生培优第35讲 等差数列的前n项和-解析版86

第35讲等差数列的前项和通关一、等差数列的前项和公式公式一证明:(倒序相加法)①,②,由①+②得,因为,所以,由此得公式二:证明:将代入可得.通关二、前项和与函数关系由,令,则;为常数).当即时,是关于的一个一次函数;它的图像是在直线上的一群孤立的点.(2)当即时,是关于的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线上的一群孤立的点.①当时,有最小值;②当时,有最大值.通关三、（为奇数）公式：（为奇数）证明：因为，当为奇数时，就是前项的中项，所以（为奇数）要点诠释：1.是这项的中项，其中必须为奇数，中项的下标为，所以（为奇数），为便于记忆，公式记为：（为奇数），中项可以临时推算出来2.公式的下标推算方法：（1）等差中项推算法：当为奇数时，向所为奇数向是首项和尾项的中项，所以下标是；（2）定义推算法，当为奇数时，项数为奇数项，必须是数列中正中间的一项，他前后项数应该一样多，所以，先从总项中去掉中项这一项，还一项，还有项，其前面有一半数量的项，即中项前面有项，所以中项排在第项的位置，所以中项的下标为.结论一、等差数列前项和公式及其变形（与首末两项等距离两项之和）【例1】）记为等差数列的前项和，若，则________【答案】25【解析】因为是等差数列，且，设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式可得即整理可得，解得，根据等差数列前项和公式可得，所以【变式】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，，则（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是公差为1得等差，，所以，解得，则，故选B结论二、前项和构造等差数列若是等差数列，则，所以也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的【例2】等差数列的前项和为，，则（） A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】解法一:由题意知所以公差，故选C解法二:等差数列，也为等差数列，即，代入得，故选C【变式】已知等差数列的前项和为，，则取得最大值时的值为（） A. B. C. D.或【答案】B【解析】解法一:由为等差数列得，由得，令得，所以取得最大值时的值为，故选B解法二:由为等差数列得，由得，令得，所以取得最大值时的值为，故选B结论三、相同项数的和构造等差数列等差数列前项和为，则也成等差数列，且公差，注意是第一个项和，第二个项和，，即每项和为一段.【例3】一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和.【解析】解法一:设其首项为，公差为，则解得，故解法二:易知数列成等差数列，设其公差为,则前3项得和为即所以解法三:设则解得所以解法四:因为数列为等差数，所以也为等差数列，点在一条直线上，即：三点共线，于是，将代入解之得解法五:因为数列为等差数，所以也为等差数列，设，将代入，解得解法六:因为又所以解法七:利用性质，可得解法八:利用性质当时，由于，可得【变式】设数列为等差数，它的前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】设数列的前项的和为，则由等差数列的性质得也成等差数列，所以，又因为将代入得，故选D结论四、等差数列前n项和与通项关系若为等差数列，为前项和，则【例4】已知等差数列中，，则项数为（） A. B. C. D.【答案】C【解析】因为故选C【变式】已知等差数列的前项和为，若，则（） A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列前项和公式，解之得：故选C结论五、前n项和比值与通项比值关系已知两等差数列，的前项和分别为和，则【例5】已知两等差数列，的前项和分别为和，且，则_________【解析】解法一:因为解法二:由解法三令差数列前项和分别为【变式】等差数列，的前项和分别为和，若，则（）【答案】【解析】结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质1.若项数为，则2.若项数为，则【例6】在项数为的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则等于（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因为等差数列有项，所以利用性质可得，故选B.【变式】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项和中，奇数项和偶数项和之比为，则中间项为.【答案】【解析】因为等差数列的项数为奇数，所以利用性质可得，解的，所以中间项为，因为结论七、等差数列前项和最大、最小值问题1.当时，解不等式组可得取到最大值时的值；当时，解不等式组可得取到最小值时的值；2.找到数列中的正负（或负正）转化项，即令，求出，若为整数（即存在为零项），则答案为两个：；若不为整数（即不存在为零项），答案为一个，即取整（或高斯）函数3.利用（二次函数）来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴是时，答案有两个，其余为一个.【例7】已知数列是等差数列，前项和分别为，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④最小，其中一定正确的结论是（） A.①③ B.①③④ C.②③④ D.①②【答案】A【解析】设等差数列的公差为，整理得，即，①正确.,②不正确.,③正确.可能大于，也可能小于，④不正确，其中正确得结论是①③，故选A【变式】是等差数列的前项和，，则时的最大值是（） A.2017 B.2018 C.4033 D.4034【答案】D【解析】，可知时的最大值是故选D结论八、数列的前n项和的求解1.求数列的前项和的关键时分清哪些项为正的，哪些为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列及进行求和.2.当的各项都为非负数时，的前项和就等于的前项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前项和要充分利用的前项和公式。这样能简化解题过程。3.当求的前项和表达式需分情况讨论时，其结果应该用分段函数表示。【例8】已知等差数列的各项都为整数，且，则=（） A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由各项都为整数得，因为，所以，化简得，