误差理论与数据处理课件

第1章緒論門捷列夫(1834-1907)

科學始於測量,沒有測量，便沒有精密的科學。門捷列夫第一節研究誤差的意義我常說的一句話是：當你能夠測量你所關注的事物，而且能夠用數量來描述他的時候，你就對其有所認識；當你不能測量他，也不能將其量化的時候，你對他的瞭解就是貧乏和不深入的。開爾文為了紀念他在科學上的功績，國際計量大會把熱力學溫標（即絕對溫標）稱為開爾文（開氏）溫標，熱力學溫度以開爾文為單位，是現在國際單位制中七個基本單位之一。開爾文（1824-1907）第一節研究誤差的意義錢學森資訊技術包括測量技術、電腦技術和通信技術，測量技術是資訊技術的關鍵和基礎。錢學森(1911-)第一節研究誤差的意義王大珩等儀器儀錶是工業生產的“倍增器”，是高新技術和科研的“催化劑”，在軍事上體現的是“戰鬥力”。王大珩(1915-)第一節研究誤差的意義第一節研究誤差的意義正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因從根本上，消除或減小誤差正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果通過計算得到更接近真值的數據正確組織實驗過程，合理設計、選用儀器或測量方法根據目標確定最佳系統第二節誤差的基本概念這一節將介紹測量誤差的基本概念，如測量誤差的定義、分類、誤差的來源等。通過這些內容的學習，可以讓讀者對測量誤差有個全面的瞭解。

誤差（Error）：誤差測得值真值＝－真值（TrueValue）：觀測一個量時，該量本身所具有的真實大小。分類：理論值約定真值三角形內角之和恒為180º一個整圓周角為360º一、誤差的定義及表示法國際千克基準1Kg約定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估計值、約定值或參考值

是指對於給定用途具有適當不確定度的、賦予特定量的值。這個術語在計量學中常用。由國家建立的實物標準（或基準）所指定的千克副原器品質的約定真值為1kg，其複現的不確定度為0.008mg。當今保存在國際計量局的鉑銥合金千克原器的最小不確定度為0.004mg誤差是針對真值而言的，真值一般都是指約定真值。

亦稱一、誤差的定義及表示法誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統誤差隨機誤差表示形式性質特點一、誤差的定義及表示法絕對誤差（AbsoluteError）

測得值

被測量的真值，常用約定真值代替

絕對誤差

特點：1)絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。2)給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。

一、誤差的定義及表示法

L＝L－L0絕對誤差測得值真值＝－修正值(Correction)

:為了消除固定的系統誤差用代數法而加到測量結果上的值。

一、誤差的定義及表示法修正值真值測得值

－特點：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。

誤差－【例1-1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V

，被測電壓的修正值為－5V

，則修正後的測量結果為226+(－5V

)=221V。

測得值真值絕對誤差一、誤差的定義及表示法定義

被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值L

來代替

L0相對誤差

特點：1）相對誤差有大小和符號。2）無量綱，一般用百分數來表示。絕對誤差相對誤差（RelativeError）：

絕對誤差與被測量真值之比

相對誤差一、誤差的定義及表示法絕對誤差和相對誤差的比較用1μm測長儀測量0.01m長的工件，其絕對誤差=0.0006m，但用來測量1m長的工件，其絕對誤差為0.0105m。前者的相對誤差為

後者的相對誤差為用絕對誤差不便於比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準確度。

一、誤差的定義及表示法引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標稱範圍（或量程）上限

引用誤差

儀器某標稱範圍（或量程）內的最大絕對誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標稱範圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

一、誤差的定義及表示法我國電工儀錶、壓力錶的準確度等級（AccuracyClass）就是按照引用誤差進行分級的。

當一個儀錶的等級s選定後，用此表測量某一被測量時，所產生的最大絕對誤差為

最大相對誤差為絕對誤差的最大值與該儀錶的標稱範圍（或量程）上限xm成正比選定儀錶後，被測量的值越接近於標稱範圍（或量程）上限，測量的相對誤差越小，測量越準確

（公式2）（公式1）電工儀錶、壓力錶的準確度等級一、誤差的定義及表示法【例1-3

】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發現在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小於2V，問這只電壓表是否合格？

由公式2，該電壓表的引用誤差為

由於所以該電壓表合格。【解】一、誤差的定義及表示法【例1-4

】

某1.0級電流錶，滿度值（標稱範圍上限）為100，求測量值分別為100，80和20時的絕對誤差和相對誤差。根據題意得

由公式1可知，最大絕對誤差為

他們的相對誤差分別為

可見，在同一標稱範圍內，測量值越小，其相對誤差越大。

【解】一、誤差的定義及表示法

為了減小測量誤差，提高測量準確度，就必須瞭解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測量過程中，幾乎所有因素都將引入測量誤差。主要來源

測量裝置誤差

測量環境誤差

測量方法誤差

測量人員誤差

二、誤差的來源測量裝置誤差標準器件誤差儀器誤差附件誤差以固定形式複現標準量值的器具，如標準電阻、標準量塊、標準砝碼等等，他們本身體現的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標準器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。

測量裝置在製造過程中由於設計、製造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過程中，由於元器件的老化、機械部件磨損和疲勞等因素而使設備所產生的誤差。

測量儀器所帶附件和附屬工具所帶來的誤差。

設計測量裝置時，由於採用近似原理所帶來的工作原理誤差

組成設備的主要零部件的製造誤差與設備的裝配誤差

設備出廠時校準與定度所帶來的誤差

讀數分辨力有限而造成的讀數誤差

數字式儀器所特有的量化誤差

元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差

二、誤差的來源測量環境誤差指各種環境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對於電子測量，環境誤差主要來源於環境溫度、電源電壓和電磁干擾等鐳射光波比長測量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會影響到空氣折射率，因而影響鐳射波長，產生測量誤差。高精度的准直測量中，氣流、振動也有一定的影響

二、誤差的來源測量方法誤差指使用的測量方法不完善，或採用近似的計算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差

如用均值電壓表測量交流電壓時，其讀數是按照正弦波的有效值進行刻度，由於計算公式中出現無理數和，故取近似公式，由此產生的誤差即為理論誤差。二、誤差的來源測量人員誤差測量人員的工作責任心、技術熟練程度、生理感官與心理因素、測量習慣等的不同而引起的誤差。

為了減小測量人員誤差，就要求測量人員要認真瞭解測量儀器的特性和測量原理，熟練掌握測量規程，精心進行測量操作，並正確處理測量結果。

二、誤差的來源三、誤差分類系統誤差（SystematicError）

在重複性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。

定義特徵

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規律變化的誤差。

用天平計量物體品質時，砝碼的品質偏差用千分錶讀數時，錶盤安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差系統誤差舉例在實際估計測量器具示值的系統誤差時，常常用適當次數的重複測量的算術平均值減去約定真值來表示，又稱其為測量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由於系統誤差具有一定的規律性，因此可以根據其產生原因，採取一定的技術措施，設法消除或減小；也可以在相同條件下對已知約定真值的標準器具進行多次重複測量的辦法，或者通過多次變化條件下的重複測量的辦法，設法找出其系統誤差的規律後，對測量結果進行修正。三、誤差分類三、誤差分類按對誤差掌握程度，系統誤差可分為

誤差絕對值和符號已經明確的系統誤差。

已定系統誤差：舉例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對值和符號未能確定的系統誤差，但通常估計出誤差範圍。

未定系統誤差：三、誤差分類按誤差出現規律，系統誤差可分為

誤差絕對值和符號固定不變的系統誤差。

不變系統誤差：舉例：

砝碼品質、熱膨脹誤差

誤差絕對值和符號變化的系統誤差。按其變化規律，可分為線性系統誤差、週期性系統誤差和複雜規律系統誤差。

變化系統誤差：隨機誤差（RandomError）

測得值與在重複性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特徵

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產生原因實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、雜訊干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

三、誤差分類隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。

雖然一次測量的隨機誤差沒有規律，不可預定，也不能用實驗的方法加以消除。但是，經過大量的重複測量可以發現，它是遵循某種統計規律的。因此，可以用概率統計的方法處理含有隨機誤差的數據，對隨機誤差的總體大小及分佈做出估計，並採取適當措施減小隨機誤差對測量結果的影響。具體見第二章。

隨機誤差的性質三、誤差分類粗大誤差（GrossError）

指明顯超出統計規律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產生原因某些偶爾突發性的異常因素或疏忽所致。測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規程操作、讀錯讀數或單位、記錄或計算錯誤等）測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械衝擊和振動等）。由於該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數據（稱為壞值或異常值）予以剔除。三、誤差分類三類誤差的關係及其對測得值的影響

標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統誤差和隨機誤差的定義是科學嚴謹，不能混淆的。但在測量實踐中，由於誤差劃分的人為性和條件性，使得他們並不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉化。也就是說一個具體誤差究竟屬於哪一類，應根據所考察的實際問題和具體條件，經分析和實驗後確定。三、誤差分類如一塊電錶，它的刻度誤差在製造時可能是隨機的，但用此電錶來校準一批其他電錶時，該電錶的刻度誤差就會造成被校準的這一批電錶的系統誤差。又如，由於電錶刻度不准，用它來測量某電源的電壓時必帶來系統誤差，但如果採用很多塊電錶測此電壓，由於每一塊電錶的刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質的相互轉化三、誤差分類第三節精度這一節將介紹測量誤差的評定參數及與誤差的關係。

第三節精度它反映測量結果中系統誤差的影響。準確度（Correctness）它反映測量結果中隨機誤差的影響程度。精密度（Precision）精確度（Accuracy）

它反映測量結果中系統誤差和隨機誤差綜合的影星程度，簡稱精度。精確度（精度）在數值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分數。如某一測量結果的相對誤差為0.001%，則其精度為10-5。

準確度、正確度和精密度三者之間的關係彈著點全部在靶上，但分散。相當於系統誤差小而隨機誤差大，即精密度低，正確度高。彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當於系統誤差大而隨機誤差小，即精密度高，正確度低。彈著點集中靶心。相當於系統誤差與隨機誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準確度亦高。第三節精度

指在相同條件下在短時間內對同一個量進行多次測量所得測量結果之間的一致程度，一般用測量結果的分散性來定量表示。

重複性（Repeatability）指在變化條件下，對同一個量進行多次測量所得測量結果之間的一致程度，一般用測量結果的分散性來定量表示。複現性也稱為再現性。

複現性（Reproducibility）常用品質名詞術語第三節精度指測量儀器保持其計量特性隨時間恒定的能力。它可以用幾種方式來定量表示，如用計量特性變化某個規定的量所經過的時間；或用計量特性經規定的時間所發生的變化等。

穩定性（Stability）指測量儀器的示值與對應輸入量的真值之差。由於真值不能確定，故在實際應用中常採用約定真值。

示值誤差（ErrorofIndication）常用品質名詞術語第三節精度指測量儀器示值的系統誤差。通常用適當次數重複測量的示值誤差的平均來估計。

偏移（Bias）

指對於給定的測量儀器，規範、規程等所允許的誤差極限值。有時也稱為允許誤差限。

最大允許誤差（MaximumPermissible）常用品質名詞術語第三節精度第四節有效數字與數據運算這一節將介紹有效數字的定義、數字的射入原則和數據的運算原則。

第四節有效數字與數據運算一、有效數字

含有誤差的任何數，如果其絕對誤差界是最末尾數的半個單位，那麼從這個近似數左方起的第一個非零的數字，稱為第一位有效數字。從第一位有效數字起到最末一位數字止的所有數字，不管是零或非零的數字，都叫有效數字。

測量結果保留位數的原則1：最末一位數字是不可靠的，而倒數第二位數字是可靠的。測量結果保留位數的原則2：在進行重要的測量時，測量結果和測量誤差可比上述原則再多取一維數字作為參考。第四節有效數字與數據運算二、數字舍入規則

計算和測量過程中，對很多位的近似數進行取捨時，應按照下述原則進行湊整：若舍去部分的數值，大於保留部分末位的半個單位，則末位數加1。若舍去部分的數值，小於保留部分末位的半個單位，則末位數減1。若舍去部分的數值，等於保留部分末位的半個單位，則末位湊成偶數，即當末位為偶數時則末位不變，當末位是奇數時則末位加1。第四節有效數字與數據運算三、數字運算規則

在近似數運算時，為了保證最後結果有盡可能高的精度，所有殘餘運算的數字，在有效數字後可多保留一維數字作為參考數字（或稱為安全數字）。在近似數做加減運算時，各運算數據以小數位數最少的數據位數為准，其餘各數據可多取一位小數，但最後結果應與小數位數最少的數據小數位相同。在近似數乘除運算時，各運算數據以有效位數最少的數據位數為准，其餘各數據可多取一位有效數，但最後結果應與有效位數最少的數據位數相同。在近似數平方或開方運算時，近似數的選取與乘除運算相同。在對數運算時，n位有效數字的數據應該用n位對數表，或用（n+1）位對數表，以免損失精度。三角函數運算時，所取函數值的位數應隨角度誤差的減小而增多，其對應關係：第四節有效數字與數據運算角度誤差10”1”0.1”0.01”函數值位數5678第2章

誤差的基本性質與處理

本章分別詳細闡述隨機誤差、系統誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質、數據處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數據處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數據處理方法。通過學習本章內容，使讀者能夠根據不同性質的誤差選取正確的數據處理方法並進行合理的數據處理。教學目標三大類誤差的特徵、性質以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數據處理方法掌握不等精度測量的數據處理方法重點與難點

當對同一測量值進行多次等精度的重複測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現沒有確定的規律，即前一個數據出現後，不能預測下一個數據的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統計規律。隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構成，主要有以下幾方面：

①測量裝置方面的因素

②環境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩定性，信號處理電路的隨機雜訊等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。瞄準、讀數不穩定，人為操作不當等。第一節隨機誤差一、隨機誤差產生的原因

隨機誤差的分佈可以是正態分佈，也有在非正態分佈，而多數隨機誤差都服從正態分佈。我們首先來分析服從正態分佈的隨機誤差的特性。設被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為：(2-1)式中。正態分佈的分佈密度與分佈函數為

(2-2)

(2-3)式中：σ——標準差（或均方根誤差）

e——自然對數的底，基值為2.7182……。它的數學期望為(2-4)它的方差為：(2-5)第一節隨機誤差二、正態分佈其平均誤差為：(2-6)此外由可解得或然誤差為：

(2-7)由式（2-2）可以推導出：

①有,可推知分佈具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數相等，這稱為誤差的對稱性；

②當δ=0時有，即，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多，這稱為誤差的單峰性；

③雖然函數的存在區間是[-∞,+∞]，但實際上，隨機誤差δ只是出現在一個有限的區間內，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；

④隨著測量次數的增加，隨機誤差的算術平均值趨向於零：這稱為誤差的補償性。返回本章目錄從正態分佈的隨機誤差都具有的四個特徵：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由於多數隨機誤差都服從正態分佈，因此正態分佈在誤差理論中佔有十分重要的地位。第一節隨機誤差

圖2-1為正態分佈曲線以及各精度參數在圖中的座標。σ值為曲線上拐點A的橫坐標，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標，ρ值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。

第一節隨機誤差對某量進行一系列等精度測量時，由於存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應以算術平均值作為最後的測量結果。

(一)算術平均值的意義設為n次測量所得的值，則算術平均值為:

(2-8)

第一節隨機誤差三、算術平均值下麵來證明當測量次數無限增加時，算術平均值必然趨近於真值Lo。即由前面正態分佈隨機誤差的第四特徵可知，因此

由此我們可得出結論：如果能夠對某一量進行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當測量次數無限增大時，算術平均值（數學上稱之為最大或然值）被認為是最接近於真值的理論依據。但由於實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術平均值近似地作為被測量的真值。第一節隨機誤差

一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機誤差，這時可用算術平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為殘餘誤差，簡稱殘差：(2-9)

此時可用更簡便演算法來求算術平均值。任選一個接近所有測得值的數作為參考值，計算每個測得值與的差值：(2-10)

式中的為簡單數值，很容易計算，因此按（2-10）求算術平均值比較簡單。

若測量次數有限，由參數估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性，並滿足最小二乘法原理；在正態分佈條件下滿足最大似然原理。第一節隨機誤差例2-1

測量某物理量10次，得到結果見表2-1，求算術平均值。

解：任選參考值=1879.65，計算差值和列於表很容易求得算術平均值＝1879.64。

（二）算術平均值的計算校核算術平均值及其殘餘誤差的計算是否正確，可用求得的殘餘誤差代數和來校核。由，式中的是根據（2-8）計算的，當求得的為未經湊整的準確數時，則有：(2-11)殘餘誤差代數和為零這一性質，可用來校核算術平均值及其殘餘誤差計算的正確性。但當實際得到的為經過湊整的非準確數，存在

序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一節隨機誤差舍入誤差Δ，即有：成立。而經過分析證明，用殘餘誤差代數和校核算術平均值及其殘差，其規則為：

①殘差代數和應符合：當，求得的為非湊整的準確數時，為零；當，求得的為非湊整的準確數時，為正，其大小為求時的餘數；當，求得的為非湊整的準確數時，為負，其大小為求時的虧數。

②殘差代數和絕對值應符合：當n為偶數時，；當n為奇數時，。式中的A為實際求得的算術平均值末位數的一個單位。以上兩種校核規則，可根據實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數情況選用第二種規則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。第一節隨機誤差

例2-2

用例2-1數據對計算結果進行校核。解：因n為偶數，A＝0.01，由表2-1知

故計算結果正確。例2-3

測量某直徑11次，得到結果如表2-2所示，求算術平均值並進行校核。

解：算術平均值為：

取＝2000.067

序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節隨機誤差用第一種規則校核，則有：用第二種規則校核，則有：故用兩種規則校核皆說明計算結果正確。第一節隨機誤差（一）均方根誤差（標準偏差）σ

為什麼用σ來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態）分佈的分佈密度推知：令，則有：

高斯參數h為精密度。由於h值無法以實驗中得到，故以σ值代之。

第一節隨機誤差四、測量的標準差

由於σ值反映了測量值或隨機誤差的散佈程度，因此σ值可作為隨機誤差的評定尺度。σ值愈大，函數減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。

標準差σ不是測量到中任何一個具體測量值的隨機誤差，σ的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分佈情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差δ，一般都不等於σ，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬於同樣一個標準差σ的概率分佈。在不同條件下，對同一被測量進行兩個系列的等精度測量，其標準差也不相同。

第一節隨機誤差（二）或然誤差ρ

測量列的或然誤差ρ，它將整個測量列的n個隨機誤差分為個數相等的兩半。其中一半（n/2個）隨機誤差的數值落在-ρ—+ρ範圍內，而另一半隨機誤差的數值落在-ρ—+ρ範圍以外：，查表，得到時，z=0.6745，故有其實際意義是：若有n個隨機誤差，則有n/2個落在區間[-ρ,+ρ]之內，而另外n/2個隨機誤差則落在此區間之外。（三）算術平均誤差θ

測量列算術平均誤差θ的定義是：該測量列全部隨機誤差絕對值的算術平均值，用下式表示：由概率積分可以得到θ與σ的關係：

目前世界各國大多趨於採用σ作為評定隨機誤差的尺度。這是因為：

①σ的平方恰好是隨機變數的數字特徵之一（方差），σ本身又第一節隨機誤差恰好是高斯誤差方程式中的一個參數，即，所以採用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合；

②σ對大的隨機誤差很敏感，能更準確地說明測量列的精度；

③極限誤差與標準偏差的關係簡單：；

④公式推導和計算比較簡單。五、標準偏差的幾種計算方法

（一）等精度測量到單次測量標準偏差的計算1、貝塞爾(Bessel)公式

(2-13)

式中，稱為算術平均值誤差將它和代入上式，則有(2-14)

第一節隨機誤差將上式對應相加得：，即(2-15)若將式(2-14)平方後再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當n適當大時，可以認為趨近於零，並將代入式(2-16)得：(2-17)由於，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一節隨機誤差2、別捷爾斯法

由貝賽爾公式得：進一步得：則平均誤差有：

由式2-6得：故有：

(2-26)

此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘餘誤差的絕對值之和求出單次測量的標準差，而算術平均值的標準差為：(2-27)第一節隨機誤差

例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標準差。

解：計算得到的值分別填於表中，因此有3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計算標準差均需先求算術平均值，再求殘餘誤差，然後進行其他運算，計算過程比較複雜。當要求簡便迅速序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一節隨機誤差算出標準差時，可用極差法。若等精度多次測量測得值服從正態分佈，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差：(2-28)

根據極差的分佈函數，可求出極差的數學期望為(2-29)

因故可得的無偏估計值，若仍以表示，則有(2-30)

式中的數值見表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節隨機誤差例2-5仍用表2-3的測量數據，用極差法求得標準差。解：4、最大誤差法在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定值），因而能夠算出隨機誤差，取其中絕對值最大的一個值，當各個獨立測量值服從正態分佈時，則可求得關係式：(2-31)

一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標準差，應按最大殘餘誤差進行計算，其關係式為：(2-32)

式（2-31）和（2-32）中兩係數、的倒數見表2-5。第一節隨機誤差最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當時，最大誤差法具有一定精度。例2-6

仍用表2-3的測量數據，按最大誤差法求標準差，則有，而故標準差為n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節隨機誤差例2-7

某鐳射管發出的鐳射波長經檢定為，由於某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但後來又用更精確的方法測得鐳射波長，試求原檢定波長的標準差。解：因後測得的波長是用更精確的方法，故可認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差為：

故標準差為：

5、四種計算方法的優缺點

①貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩，需要乘方和開方等，其計算速度難於滿足快速自動化測量的需要；

②別捷爾斯公式最早用於前蘇聯列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍；

③用極差法計算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當n<10時可第一節隨機誤差用來計算σ，此時計算精度高於貝氏公式；

④用最大誤差法計算σ更為簡捷，容易掌握，當n<10時可用最大誤差法，計算精度大多高於貝氏公式，尤其是對於破壞性實驗(n=1)只能應用最大誤差法。（二）多次測量的測量列算術平均值的標準差

在多次測量的測量列中，是以算術平均值作為測量結果，因此必須研究算術平均值不可靠的評定標準。如果在相同條件下對同一量值作多組重複的系列測量，每一系列測量都有一個算術平均值，由於隨機誤差的存在，各個測量列的算術平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術平均值的不可靠性，而算術平均值的標準差則是表徵同一被測量的各個獨立測量列算術平均值分散性的參數，可作為算術平均值不可靠性的評定標準。由式(2-8)已知算術平均值為：取方差得因故有第一節隨機誤差

所以(2-21)

即在n次測量的等精度測量列中，算術平均值的標準差為單次測量標準差的，當n愈大，算術平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。增加測量次數，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動。由圖2-3可知,σ一定時，當n>10以後，的減小很慢。此外，由於增加測量次數難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內較為適宜。總之，提高測量精度，應採取適當精度的儀器，選取適當的測量次數。第一節隨機誤差評定算術平均值的精度標準，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應公式為：

(2-22)(2-23)

若用殘餘誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25)

例2-8用遊標卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統誤差和粗大誤差，得到數據如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術平均值及其標準差。解：本例題中的測量數據與表2-3中的測量數據一樣，表中的算術平均值為。因為，

第一節隨機誤差與表中的結果一致，故計算正確。根據上述各個誤差計算公式可得：六、測量的極限誤差

測量的極限誤差是極端誤差，測量結果（單次測量或測量列的算術平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，並使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測量的極限誤差測量列的測量次數足夠多和單次測量誤差為正態分佈時，根據概第一節隨機誤差率論知識，正態分佈曲線和橫坐標軸間所包含的面積等於其相應區間確定的概率，即：當研究誤差落在區間（-δ,+δ）之間的概率時，則得：(2-33)

將上式進行變數置換，設經變換，上式成為：(2-34)

這樣我們就可以求出積分值p，為了應用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數積分值表。當t給定時，φ(t)值可由該表查出。現已查出t=1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，並求出隨機誤差不超出相應區間的概率p=2φ(t)和超出相應區間的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。由表可以看出，隨著t的增大，超出|δ|的概率減小得很快。當第一節隨機誤差

t=2，即|δ|=2σ時，在22次測量中只有1次的誤差絕對值超出2σ範圍；而當t=3，即

|δ|=3σ時，在370次測量中只有1次誤差絕對值超出3σ範圍。由於在一般測量中，測量次數很少超過幾十次，因此可以認為絕對值大於3σ的誤差是不可能出現的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即

(2-35)

當t＝3時，對應的概率p＝99.73％。在實際測量中，有時也可取其他t值來表示單次測量的極限誤差。如第一節隨機誤差t不超出的概率超出的概率測量次數n超出的測量次數0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：(2-36)

若已知測量的標準差σ，選定置信係數t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。（二）算術平均值的極限誤差測量列的算術平均值與被測量的真值之差稱為算術平均值誤差，即。當多個測量列的算術平均值誤差為正態分佈時，根據概率論知識，同樣可得測量列算術平均值的極限運算式為：(2-37)

式中的t為置信係數，為算術平均值的標準差。通常取t＝3，則(2-38)

實際測量中有時也可取其他t值來表示算術平均值的極限誤差。但當測量列的測量次數較少時，應按“學生氏”分佈(“student”distribution)或稱t分佈來計算測量列算術平均值的極限誤差，即

(2-39)第一節隨機誤差式中的為置信係數，它由給定的置信概率和自由度來確定，具體數值見附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水準），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測量次數；為n次測量的算術平均值標準差。對於同一測量列，按正態分佈和t分佈分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由於置信係數不同，因此求得的算術平均值極限誤差也不同。例2-9

對某量進行6次測量，測得數據如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術平均值及其極限誤差。解：算術平均值標準差

因測量次數較少，應按t分佈計算算術平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，則有：第一節隨機誤差若按正態分佈計算，取，相應的置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術平均值的極限誤差為：由此可見，當測量次數較少時，按兩種分佈計算的結果有明顯的差別。七、不等精度測量

①在實際測量過程中，由於客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。

②對於精密科學實驗而言，為了得到極其準確的測量結果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進行測量。如果這些測量結果是相互一致的。那麼測量結果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進行的不等精度測量。

③對於某一個未知量，歷史上或近年來有許多人進行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結果。我們就需要將這些測量結果進行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準確的測量結果。這也是不等精度測量。對於不等精度測量，計算最後測量結果及其精度（如標準差），不第一節隨機誤差能套用前面等精度測量的計算公式，需推導出新的計算公式。（一）權的概念在等精度測量中，各個測量值認為同樣可靠，並取所有測得值的算術平均值作為最後的測量結果。在不等精度測量中，各個測量結果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結果地算術平均值作為最後的測量結果，應讓可靠程度大的測量結果在最後測量結果中佔有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結果的可靠程度可用一數值來表示，這數值即稱為該測量結果的“權”，記為，可以理解為當它與另一些測量結果比較時，對該測量結果所給予信賴程度。（二）權的確定方法測量結果的權說明了測量的可靠程度，因此可根據這一原則來確定權的大小。最簡單的方法可按測量的次數來確定權，即測量條件和測量者水準皆相同，則重複測量次數愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數來確定權的大小，即。假定同一被測量有m組不等精度的測量結果，這m組測量結果是從單次測量精度相同而測量次數不同的一系列測量值求得的算術平均值。因第一節隨機誤差為單次測量精度皆相同，其標準差均為σ，則各組算術平均值的標準差為：(2-40)

由此得下列等式因為，故上式又可寫成(2-41)

或表示為(2-42)

即：每組測量結果的權（）與其相應的標準偏差平方（）成反比，若已知（各組算術平均值的標準差），則可由（2-42）得到相應的大小。測量結果的權的數值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數，允許各組的權數同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關係不變，但通常皆將各組的權數予以約簡，使其中最小的權數為不可再放簡的整數，以便用簡單的數值來表示各組的權。例2-10

對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結果為第一節隨機誤差求各測量結果的權。解：由式(2-42)得因此各組的權可取為（三）加權算術平均值

若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果為：，設相應的測量次數為n1,n2,…,nm，即：

(2-43)

根據等精度測量算術平均值原理，全部測量的算術平均值應為：第一節隨機誤差將式(2-43)代入上式得：或簡寫為(2-44)

當各組的權相等，即時，加權算術平均值可簡化為：(2-45)

由上式求得得結果即為等精度的算術平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計算，加權算術平均值可表示為：(2-46)

式中的為接近的任選參考值。第一節隨機誤差例2-11

工作基準米尺在連續三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最後測量結果。解：按測量次數來確定權：，選，則有

(四)單位權的概念由式（2-41）知，此式又可表示為

(2-47)

式中為某精度單次測量值的標準差。因此，具有同一方差的等精度單次測量值的權數為1。若已知，只要確定，根據（2-47）式就可求出各組的方差。由於測得值的方差的權數為1在此有特殊用途，故稱等於1的權為單位權，而為具有單位權的測得值方差，為具有單位權的測得值標準差。利用單位權化的思想，可以將某些不等權的測量問題化為等權測量問題來處理。單位權化的實質，是使任何一個量值乘以自身權數的平方根，得到新的量值權數為1。第一節隨機誤差例如，將不等精確測量的各組測量結果皆乘以自身權數的平方根，此時得到的新值z的權數就為1。證明之：設取方差

以權數字表示上式中的方差，則

由此可知，單位權化以後得到的新值的權數為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結果皆進行了單位權化，使該測量列轉化為等精度測量列。不等精度測量列，經單位權化處理後，就可按等精度測量列來處理。第一節隨機誤差（五）加權算術平均值的標準差對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果為：若已知單位權測得值的標準差σ，則由式（2-40）知

全部（m×n個）測得值的算術平均值的標準差為：比較上面兩式可得：(2-48)

因為代入式（2-48）得(2-49)第一節隨機誤差當各組測得的總權數為已知時，可由任一組的標準差和相應的權，或者由單位權的標準差σ求得加權算術平均值的標準差。當各組測量結果的標準差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結果的殘餘誤差來計算加權算術平均值的標準差。已知各組測量結果的殘餘誤差為：將各組單位權比，則有：上式中各組新值已為等精度測量列的測量結果，相應的殘差也成為等精度測量列的殘餘誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導得到：(2-50)將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節隨機誤差用式（2-51）可由各組測量結果的殘餘誤差求得加權算術平均值的標準差，但是只有組數m足夠多時，才能得到較為精確的值。一般情況下的組數較少，只能得到近似的估計值。例2-12

求例2-11的加權算術平均值的標準差。解：由加權算術平均值，可得各組測量結果的殘餘誤差為：，又已知

代入式(2-51)得八、隨機誤差的其他分佈正態分佈是隨機誤差最普遍的一種分佈規律，但不是唯一分佈規律。下麵介紹幾種常見的非正態分佈。(一)均勻分佈

在測量實踐中，均勻分佈是經常遇到的一種分佈，其主要特點是，誤差有一確定的範圍，在此範圍內，誤差出現的概率各處相等，故又稱矩形第一節隨機誤差分佈或等概率分佈。均勻分佈的分佈密度（圖2-5）和分佈函數分別為：（2-52）（2-53）它的數學期望為：（2-54）它的方差和標準差分別為：（2-55）（2-56）(二)反正弦分佈反正弦分佈實際上是一種隨機誤差的函數分佈規律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關係。反正弦分佈的分佈密度（圖2-6）和分佈函數分別為：(2-57)第一節隨機誤差（2-57）它的數學期望為：（2-58）它的方差和標準差分別為：（2-59）（2-60）（三）三角形分佈

當兩個誤差限相同且服從均勻分佈的隨機誤差求和時，其和的分佈規律服從三角形分佈，又稱辛普遜（Simpson）分佈。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分佈，則總的測量誤差為三角形分佈誤差。三角形分佈的分佈密度（圖2-7）和分佈函數分別為：(2-61)第一節隨機誤差（2-63）它的數學期望為：（2-64）它的方差和標準差分別為：（2-65）

（2-66）如果對兩個誤差限為不相等的均勻分佈隨機誤差求和時，則其和的分佈規律不再是三角形分佈而是梯形分佈。在測量工作中，除上述的非正態分佈外，還有直角分佈、截尾正態分佈、雙峰正態分佈及二點分佈等，在此不做一一敘述。（四）分佈令為個獨立隨機變數，每個隨機變數都服從標準化的正態分佈。定義一個新的隨機變數

(2-67)

隨機變數稱為自由度為的卡埃平方變數。自由度表示上式中項數或

第一節隨機誤差獨立變數的個數。分佈的分佈密度如圖2-8所示。

(2-68)

式中的函數。它的數學期望為：

(2-69)

它的方差和標準差分別為：(2-70)(2-71)

在本書最小二乘法中要用到分佈，此外它也是t分佈和F分佈的基礎。

由圖2-8的兩條理論曲線看出，當逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱。可以證明當足夠大時，曲線趨近正態曲線。值得提出的是，在這裏稱為自由度，它的改變將引起分佈曲線的相應改變。（五）t分佈 第一節隨機誤差令和是獨立的隨機變數，具有自由度為的分佈函數，具有標準化正態分佈函數，則定義新的隨機變數為(2-72)

隨機變數t稱自由度為的學生氏t變數。

t分佈的分佈密度為（圖2-9）：

(2-73)

它的數學期望為：(2-74)

它的方差和標準差分別為：(2-75)(2-76)

t分佈的數學期望為零，分佈曲線對稱於縱坐標軸，但它和標準化正態分佈密度曲線不同，如圖2-9所示。可以證明，當自由度較小時，t分佈與正態分佈有明顯區別，但當自由度時，t分佈曲線趨於正態分佈曲線。t分佈是一種重要分佈，當測量列的測量次數較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數據的系統誤差時經常用到它。第一節隨機誤差（六）F分佈若具有自由度為的卡埃平方分佈函數，具有自由度為的卡埃平方分佈函數，定義新的隨機變數為(2-77)

隨機變數F稱為自由度為、的F變數。

F分佈的分佈密度如圖2-10所示。

(2-78)

它的數學期望為：(2-79)

它的方差和標準差分別為：

(2-80)(2-81)

F分佈也是一種重要分佈，在檢驗統計假設和方差分析中經常應用。第一節隨機誤差

第二節系統誤差

系統誤差的產生原因系統誤差的特徵與分類系統誤差的發現方法系統誤差的減小和消除方法研究系統誤差的重要意義第二節系統誤差實際上測量過程中往往存在系統誤差，在某些情況下的系統誤差數值還比較大。因此測量結果的精度，不僅取決於隨機誤差，還取決於系統誤差的影響。由於系統誤差和隨機誤差同時存在測量數據之中，而且不易被發現，多次重複測量又不能減小它對測量結果的影響，這種潛伏使得系統誤差比隨機誤差具有更大的危險性，因此研究系統誤差的特徵與規律性，用一定的方法發現和減小或消除系統誤差，就顯得十分重要。系統誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，並始終以必然性規律影響測量結果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結果的準確度。一、系統誤差產生的原因

系統誤差是由固定不變的或按確定規律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源於：

①測量裝置方面的因素

②環境方面的因素

③

測量方法的因素

④

測量人員的因素第二節系統誤差計量校準後發現的偏差、儀器設計原理缺陷、儀器製造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規律變化的誤差。採用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。第二節系統誤差二、系統誤差的分類和特徵系統誤差的特徵是在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規律變化。由系統誤差的特徵可知，在多次重複測量同一值時，系統誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數規律的誤差。從廣義上講，系統誤差是指服從某一確定規律變化的誤差。圖2-11為各種系統誤差⊿隨測量過程t變化而表現出不同特徵。曲線a為不變的系統誤差，曲線b為線性變化的系統誤差，曲線c為非線性變化的系統誤差，曲線d為週期性變化的系統誤差，曲線e為複雜規律變化的系統誤差。根據系統誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統誤差分為不變系統誤差和變化系統誤差兩大類。第二節系統誤差（一）不變系統誤差

固定系統誤差是指在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。

如千分尺或測長儀讀數裝置的調零誤差，量塊或其他標準件尺寸的偏差等，均為不變系統誤差。它對每一測量值的影響均為一個常量，屬於最常見的一類系統誤差。（二）變化系統誤差

變化系統誤差指在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數規律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：

①線性變化的系統誤差在整個測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統誤差。例如，量塊中心長度隨溫度的變化：第二節系統誤差

②週期變化的系統誤差在整個測量過程中，隨某因素作週期變化的系統誤差。例如，儀錶指針的回轉中心與刻度盤中心有一個偏心量e

，則指針在任一轉角

處引起的讀數誤差為。此誤差變化規律符合正弦曲線規律，當指針在0

和180

時誤差為零，而在90

和270

時誤差絕對值達最大。

③複雜規律變化的系統誤差在整個測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為複雜的規律變化，稱其為複雜規律變化的系統誤差。

例如，微安表的指針偏轉角與偏轉力距間不嚴格保持線性關係，而錶盤仍採用均勻刻度所產生的誤差就屬於複雜規律變化的系統誤差。這些複雜規律一般可用代數多項式、三角多項式或其他正交函數多項式來描述。第二節系統誤差

由於形成系統誤差的原因複雜，目前尚沒有能夠適用於發現各種系統誤差的普遍方法。但是……我們可針對不同性質的系統誤差，可按照下述兩類方法加以識別：

1、用於發現測量列組內的系統誤差，包括實驗對比法、殘餘誤差觀察法、殘餘誤差校核法和不同公式計算標準差比較法；

2、用於發現各組測量這間的系統誤差，包括計算數據比較法、秩和檢驗法、和t

檢驗法。三、系統誤差的發現方法第二節系統誤差

1、實驗對比法實驗對比法是改變產生系統誤差的條件，進行不同條件的測量，以發現系統誤差。

這種方法適用於發現不變的系統誤差。

2、殘餘誤差觀察法殘餘誤差觀察法是根據測量列的各個殘餘誤差大小和符號的變化規律，直接由誤差數據或誤差曲線圖形來判斷有無系統誤差。

這種方法適於發現有規律變化的系統誤差。（一）測量列組內的系統誤差發現方法故有(2-82)若系統誤差顯著大於隨機誤差，可予忽略，則得(2-83)

3、殘餘誤差校核法(有兩種方法)①用於發現線性系統誤差：設有測量列，它們的系統誤差為，它們不含系統誤差之值為，有下式成立：第二節系統誤差它們的算術平均值為:因由上式看出，顯著含有系統誤差的測量列，其任一測量值的殘餘誤差約為系統誤差與測量列系統誤差平均值之差。根據式(2-82)，若將測量列中前K個殘餘誤差相加，後n-K個殘餘誤差相加(當n為偶數，取K=n/2；n為奇數，取K=(n+1)/2)，兩者相減得：

當測量次數足夠多時，有：第二節系統誤差所以得：(2-84)若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認為測量列存在線性系統誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準則”，它能有效地發現線性系統誤差。但要注意的是，有時按殘餘誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統誤差。

②用於發現週期性系統誤差：若一等精度測量列，接測量先後順序將殘餘誤差排列為，如果存在著按此順序呈週期性變化的系統誤差，則相鄰的殘餘誤差的差值()符號也將出現週期性的正負號變化，因此由差值()可以判斷是否存在週期性系統誤差，但是這種方法只有當週期性系統誤差是整個測量誤差的主要成分時，才有實用效果。否則，差值()符號變化將主要取決於隨機誤差，以致不能判斷出週期性系統誤差。在此情況下，可用統計準則進行判斷，令

第二節系統誤差若(2-85)則認為該測量列中含有週期性系統誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特准则（Abbe-Helmert準則），它能有效地发现周期性系统误差。

4、不同公式計算標準差比較法對等精度測量，可用不同分式計算標準差，通過比較以發現系統誤差。按貝塞爾公式：

按別捷爾斯公式：令若(2-86)則懷疑測量列中存在系統誤差。在判斷含有系統誤差時，違反“準則”時就可以直接判定，而在遵守“準則”時，不能得出“不含系統誤差”的結論，因為每個準則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節系統誤差則任意兩組結果與間不存在系統誤差的標誌是：若對同一量獨立測量得m組結果，並知它們的算術平均值和標準差為：(二)測量列組間的系統誤差發現方法第二節系統誤差(2-87)而任意兩組結果之差為：其標準差為：1、計算數據比較法對同一量進行多組測量得到很多數據，通過多組數據計算比較，若不存在系統誤差，其比較結果應滿足隨機誤差條件，否則可認為存在系統誤差。2、秩和檢驗法——用于检验两组数据间的系统误差

對某量進行兩組測量，這兩組間是否存在系統誤差，可用秩和檢驗法根據兩組分布是否相同來判斷。第二節系統誤差若獨立測得兩組的數據為：

將它們混和以後，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數較少那一組數據的