误差理论与测量平差课件

誤差理論與測量平差第一章緒論第一節觀測誤差第二節補充知識停止返回第一章緒論第一節：概述

1、測量平差的研究對象——誤差任何量測不可避免地含有誤差

閉合、附合水準路線閉合、附合導線距離測量角度測量………..停止返回誤差：測量值與真值之差由於誤差的存在，使測量數據之間產生矛盾，測量平差的任務就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。停止返回產生誤差的原因測量儀器：i角誤差、2c誤差觀測者：人的分辨力限制外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等三者綜合起來為觀測條件停止返回誤差的分類系統誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上表現出系統性，或者按一定的規律變化，這種誤差稱為系統誤差。停止返回系統誤差的存在必然影響觀測結果。削弱方法：採用一定的觀測程式、改正、附加參數誤差的分類偶然誤差/隨機誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上都表現出偶然性，從單個誤差上看沒有任何規律，但從大量誤差上看有一定的統計規律，這種誤差稱為偶然誤差。

不可避免，測量平差研究的內容粗差：錯誤停止返回停止返回測量平差的任務：

對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統計的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。

評定測量成果的品質停止返回測量平差產生的歷史

最小二乘法產生的背景18世紀末，如何從多於未知參數的觀測值集合求出未知數的最佳估值？

最小二乘的產生1794年，C.F.GUASS，從概率統計角度，提出了最小二乘1806年，A.M.Legendre，從代數角度，提出了最小二乘。《決定彗星軌道的新方法》1809年，C.F.GUASS，《天體運動的理論》停止返回測量平差產生的歷史

最小二乘法原理的兩次證明

形成測量平差的最基本模型1912年，A.A.Markov，對最小二乘原理進行證明，形成數學模型：最小二乘解：

測量平差理論的擴展補充知識一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣（1）由個數有次序地排列成m行n列的表叫矩陣通常用一個大寫字母表示，如：停止返回(2)若m=n，即行數與列數相同，稱A為方陣。元素a11、a22……ann稱為對角元素。(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對於的方陣，除對角元素外，其他元素全為零，稱為對角矩陣。如：(5)對於對角陣，若a11=a22=……=ann=1，稱為單位陣，一般用E、I表示。停止返回（6）若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。停止返回矩陣的基本運算：（1）若具有相同行列數的兩矩陣各對應元素相同，則：（2）具有相同行列數的兩矩陣A、B相加減，其行列數與A、B相同，其元素等於A、B對應元素之和、差。且具有可交換性與可結合性。（3）設A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,則A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數為m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回二、矩陣的轉置對於任意矩陣Cmn:將其行列互換，得到一個nm階矩陣，稱為C的轉置。用：停止返回矩陣轉置的性質：（6）若則A為對稱矩陣。停止返回三、矩陣的逆給定一個n階方陣 A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：A矩陣存在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等於0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣停止返回矩陣的逆的性質停止返回矩陣求逆方法：（1）伴隨矩陣法：設Aij為A的第i行j列元素aij的代數餘子式，則由n*n個代數餘子式構成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。停止返回矩陣求逆方法則：（2）初等變換法：經初等變換：停止返回概率與數理統計內容隨機變數誤差分佈曲線概率密度曲線數學期望方差停止返回第二章精度指標與誤差傳播第一節概述第二節偶然誤差的規律性第三節衡量精度的指標第四節協方差傳播律停止返回第五節協方差傳播律在測量上的應用第六節協方差傳播律第七節權與定權的常用方法第八節協因數與協因數傳播律第二節偶然誤差的規律性觀測值：對該量觀測所得的值，一般用Li表示。真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數值，一般用表示。一、幾個概念真誤差：觀測值與真值之差，一般用

i=-Li表示。第一節概述停止返回觀測向量：若進行n次觀測，觀測值：L1、L2……Ln可表示為：停止返回

二、偶然誤差的特性例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等於180度，但由於誤差的影響往往不等於180度，計算各內角和的真誤差，並按誤差區間的間隔0.2秒進行統計。

誤差區間—△+△個數K頻率K/n(K/n)/d△個數K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

停止返回例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等於180度，但由於誤差的影響往往不等於180度，計算各內角和的真誤差，並按誤差區間的間隔0.2秒進行統計。誤差區間—△+△個數K頻率K/n(K/n)/d△個數K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501停止返回(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數曲線用直方圖表示:停止返回面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回提示：觀測值定了其分佈也就確定了，因此一組觀測值對應相同的分佈。不同的觀測序列，分佈不同。但其極限分佈均是正態分佈。1、在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對值不會超過一定的界限；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的次數多；3、絕對值相等的正負誤差出現的次數大致相等；4、當觀測次數無限增多時，其算術平均值趨近於零，即Lim——n

i=1nni=Limn

——n[]=0偶然誤差的特性：停止返回第三節衡量精度的指標精度：所謂精度是指偶然誤差分佈的密集離散程度。一組觀測值對應一種分佈，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分佈不同，精度也就不同。提示：一組觀測值具有相同的分佈，但偶然誤差各不相同。

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回可見：左圖誤差分佈曲線較高且陡峭，精度高右圖誤差分佈曲線較低且平緩，精度低一、方差/中誤差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

面積為1第三節衡量精度的指標停止返回方差：中誤差：提示：越小，誤差曲線越陡峭，誤差分佈越密集，精度越高。相反，精度越低。方差的估值：二、平均誤差停止返回在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望。與中誤差的關係：三、或然誤差f()0閉合差50%停止返回四、極限誤差四、相對誤差中誤差與觀測值之比，一般用1/M表示。第四節協方差傳播律一、協方差對於變數X，Y，其協方差為：停止返回表示X、Y間互不相關，對於正態分佈而言，相互獨立。表示X、Y間相關對於向量X=[X1，X2，……Xn]T，將其元素間的方差、協方差陣表示為：停止返回矩陣表示為：方差協方差陣特點：I對稱

II正定

III各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當對角元相等時，為等精度觀測。若：若DXY=0，則X、Y表示為相互獨立的觀測量。二、觀測值線性函數的方差已知：那麼：停止返回證明：設：那麼：停止返回

例1:設，已知，求的方差。例2:若要在兩已知點間佈設一條附和水準路線,已知每公里觀測中誤差等於±5.0mm,欲使平差後線路中點高程中誤差不大於±10mm,問該路線長度最多可達幾公里?停止返回二、多個觀測值線性函數的協方差陣已知：停止返回停止返回例3：在一個三角形中，同精度獨立觀測得到三個內角L1、L2、L3，其中誤差為，將閉合差平均分配後各角的協方差陣。例4：設有函數，已知求四、非線性函數的情況設有觀測值X的非線性函數：已知：停止返回將Z按臺勞級數在X0處展開：例4、根據極座標法測設P點的座標，設已知點無誤差，測角中誤差為m

，邊長中誤差ms，試推導P點的點位中誤差。ABP

mssmump停止返回協方差傳播應用步驟:根據實際情況確定觀測值與函數,寫出具體表達式寫出觀測量的協方差陣對函數進行線性化協方差傳播停止返回a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1協方差傳播在測量中的應用一、水準測量的精度停止返回作業1、在高級水準點A、

（高程為真值）間佈設水準路線，如下圖，路線長分別為，設每公里觀測高差的中誤差為，試求：（1）將閉合差按距離分配之後的p1、p2點間高差的中誤差；（2）分配閉合差後P1點的高程中誤差。AP1P2B作業2、在相同條件下，觀測兩個角度

A=15

00

00

，

B=75

00

00

，設對

A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3

，問觀測9個測回的精度為多少？停止返回第七節權與定權的常用方法一、權的定義稱為觀測值Li的權。權與方差成反比。（三）權是衡量精度的相對指標，為了使權起到比較精度的作用，一個問題只選一個

0。（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權。二、單位權中誤差三、常用的定權方法1、水準測量的權或2、邊角定權停止返回第八節協因數與協因數傳播律一、協因數與協因數陣不難得出：QXX為協因數陣特點：I對稱，對角元素為權倒數

II正定

III各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當為等精度觀測，單位陣。二、權陣第三章平差數學模型與最小二乘原理第一節測量平差概述第二節測量平差的數學模型第三節參數估計與最小二乘原理停止返回一、必要觀測、多餘觀測

確定平面三角形的形狀觀測三個內角的任意兩個即可,稱其必要元素個數為2，必要元素有種選擇第一節測量平差概述

確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個元素中必須有選擇地觀測三個內角與三條邊的三個元素，因此，其必要元素個數為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。停止返回必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要元素個數為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

確定如圖四點的相對高度關係ADCBh1h6h5h2h4h3必要觀測:能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測一般用t表示。停止返回特點:給定幾何模型，必要觀測及類型即定，與觀測無關。必要觀測之間沒有任何函數關係，即相互獨立。確定幾何模型最大獨立觀測個數多餘觀測:觀測值的個數n與必要觀測個數t之差一般用r表示，r=n-t。確定幾何模型最大獨立觀測個數為t,那麼再多進行一個觀測就相關了，即形成函數關係，也稱為觀測多餘了。觀測值:為了確定幾何模型中各元素的大小進行的實際觀測，稱為觀測值，觀測值的個數一般用n表示。n<t，則無法確定模型n=t，唯一確定模型，不能發現粗差。n>t,，可以確定模型，還可以發現粗差。二、測量平差必要觀測可以唯一確定模型，其相互獨立。可見若有多餘觀測必然可用這t個元素表示，即形成r個條件。ADCBh1h6h5h2h4h3停止返回實際上：第二節測量平差的數學模型一、條件平差法以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。即為條件平差的函數模型。

條件平差的自由度即為多餘觀測數r，即條件方程個數。二、間接平差法

選擇幾何模型中t個獨立變數為平差參數，每一個觀測量表達成所選參數的函數，即列出n個這種函數關係式，以此為平差的函數模型，成為間接平差法。停止返回三、附有參數的條件平差法

設在平差問題中，觀測值個數為n，t為必要觀測數，則可列出r=n-t個條件方程，現有增設了u個獨立量作為參數，而0<u<t，每增設一個參數應增加一個條件方程。以含有參數的條件方程作為平差的函數模型，稱為附有參數的條件平差法。

上式就是間接平差的函數模型。儘管間接平差法是選了t個獨立參數，但多餘觀測數不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。上式為附有參數的條件平差法的函數模型。

此平差問題，由於選擇了u個獨立參數，方程總數由r個增加到c=r+u個，故平差的自由度為r=c-u。停止返回四、附有限制條件的間接平差法如果進行間接平差，就要選出t個獨立量為平差參數，按每一個觀測值與所選參數間函數關係，組成n個觀測方程。如果在平差問題中，不是選t個而是選定u>t個參數，其中包含t個獨立參數，則多選的s=u-t個參數必是t個獨立參數的函數，亦即在u個參數之間存在著s個函數關係，它們是用來約束參數之間應滿足的關係。在選定u>t個參數進行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。停止返回五、平差的隨機模型數學模型停止返回函數模型隨機模型：第三節函數模型的線性化條件方程的綜合形式為：為了線性化，取X的近似值：取的初值：將F按臺勞級數在X0，L處展開，並略去二次以及以上項：停止返回一、條件平差法二、間接平差法三、附有參數的條件平差法四、附有限制條件的間接平差法第四節參數估計與最小二乘原理

為了求得唯一解，對最終估計值應該提出某種要求，考慮平差所處理的是隨機觀測值，這種要求自然要從數理統計觀點去尋求，即參數估計要具有最優的統計性質，從而可對平差數學模型附加某種約束，實現滿足最優性質的參數唯一解。

一、參數估計及其最優性質對於上節提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：條件的個數r=n-t<n，即方程的個數少，求解的參數多，方程多解。其他模型同。數理統計中所述的估計量最優性質，主要是估計量應具有無偏性、一致性和有效性的要求。可以證明，這種估計為最小二乘估計。停止返回例：勻速運動的質點在時刻的位置y表示為：實際上：寫成矩陣：間接平差函數模型二、最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，應使各個觀測點觀測值偏差的平方和達到最小。測量中的觀測值是服從正態分佈的隨機變數，最小二乘原理可用數理統計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準則的估值相同。

設觀測向量為L，L為n維隨機正態向量，其數學期望與方差分別為：停止返回其似然函數為：以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E（）=0得：按最大似然估計的要求，應選取能使lnG取得極大值時的作為X的估計量。停止返回由於上式右邊的第二項前是負號，所以只有當該項取得極小值時，lnG才能取得極大值，換言之，的估計量應滿足如下條件：即最小二乘原則。停止返回第四章條件平差第一節條件平差原理第二節條件方程第三節精度評定第四節水準網平差示例停止返回第一節條件平差原理一、基礎方程和它的解按求函數極值的拉格朗日乘數法，構造新的函數：停止返回數學模型求其一階偏導數，並令其為0：上式也稱為法方程式停止返回二、條件平差的計算步驟停止返回根據平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數等於多餘觀測數r。根據條件式的係數，閉合差及觀測值的權組成法方程式，法方程的個數等於多餘觀測數r。解演算法方程，求出聯繫數K值。將K值代入改正數方程式，求出V值，並求出平差值為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3Ch1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二節條件方程一、水準網列條件的原則：1、閉合水準路線2、附合水準路線包含的線路數最少為原則停止返回h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回二、測角網4個必要的起算數據為：一個已知點（2個座標）一個方位（1個）一個尺度（1個兩已知點（4個座標）停止返回列條件的原則：將複雜圖形分解成典型圖形。條件類型：圖形條件、圓周條件、極條件、固定方位條件、固定邊長條件、固定座標條件三角形大地四邊形中心多邊形扇形停止返回AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第三節精度評定一、計算單位權中誤差二、協因數陣

停止返回第四節水準網平差示例例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數據與觀測數據列於下表。按條件平差求各點的高稱平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回解：1、列條件方程停止返回2、定權取C=1，則：3、形成法方程停止返回4、解演算法方程5、計算改正數6、計算平差值7、計算高程平差值停止返回作業1：如圖所示的水準網，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表。線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002

53.4042

63.4524

A

oooBC123456P1P2P3如圖所示的水準網，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表

試用條件平差法求P1、P3、P3點高程的平差值。第一節間接平差原理第二節誤差方程第三節精度評定第四節平差示例第五章間接平差停止返回第一節間接平差原理一、基礎方程和它的解按函數極值的求法，極值函數：求其一階偏導數，並令其為0：停止返回代入誤差方程：即為法方程式停止返回二、間接平差法平差步驟1、選擇t個獨立的未知參數2、將每個觀測值表示成未知參數的函數，形成誤差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、計算改正數6、精度評定一、確定待定參數的個數水準網測角網測邊網邊角網第二節誤差方程停止返回GPS網採用GPS尺度與方位不採用GPS尺度與方位二、參數的選取高程控制網：待定點的高程平面控制網：待定點的二維座標三維控制網：待定點的三維座標停止返回三、誤差方程的組成1、水準路線的誤差方程ijXiXjhij當i點已知時：當j點已知時：停止返回2、方向的誤差方程N零方向jkl——定向角未知數設j、k的座標為未知參數：即：零方向的方位角jk的方位角為：停止返回為非線性函數，要進行線性化。對上式在初始近似值處進行Taylor級數展開，略去二次以及二次以上項：停止返回停止返回停止返回停止返回停止返回停止返回當j點已知時：停止返回當k點已知時：停止返回2、距離的誤差方程jk設j、k的座標為未知參數：jk的距離為：停止返回為非線性函數，要進行線性化。對上式在初始近似值處進行Taylor級數展開，略去二次以及二次以上項：停止返回停止返回停止返回停止返回當j點已知時：停止返回當k點已知時：第三節精度評定二、協因數陣一、計算單位權中誤差停止返回測角網間接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1設有一測角三角網，A、B、C、D為已知點，P1、P2為待定點，同精度觀測了18個角度，按間接平差求平差後P1、P2點的座標及精度。已知數據見下表。第四節平差示例停止返回點名座標（m）邊長方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.60274°39’38.4"C19063.6637818.8610232.1634°40’56.3"D17814.6349923.1912168.6095°53’29.1"A10156.11216°49’06.5"角度編號觀測值角度編號觀測值角度編號觀測值1126°14’24.1"722°02’43.0"1346°38’56.4"223°39’46.9"8130°03’14.2"1466°34’54.7"330°05’46.7"927°53’59.3"1566°46’08.2"4117°22’46.2"1065°55’00.8"1629°58’35.5"531°26’50.0"1167°02’49.4"17120°08’31.1"631°10’22.6"1247°02’11.4"1829°52’55.4"停止返回解：n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14設P1、P2點的座標作為未知參數X1、Y1、X2、Y2，根據前方交會可以求出P1、P2的近似座標：根據角度的誤差方程：停止返回VBxl停止返回定權，P為單位陣，形成法方程為：停止返回精度評定：停止返回例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數據與觀測數據列於下表。按間接平差求各點的高程平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列誤差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4設P1、P2點的高程為未知參數求相應的近似值列誤差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B寫成矩陣的形式：定權，取C=1例：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8

5-0.5774.2

6-0.7862.5

B

oooAC165423P1P2P3如圖所示的水準網，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表

試用間接平差法求P1、P3、P3點高程的平差值估算精度。解：1、列誤差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3設P1、P2、P3點的高程為未知參數求相應的近似值列誤差方程：

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oooAC165423P1P2P3定權，取C=1第一節基礎方程和它的解第二節精度評定第六章附有參數的條件平差停止返回

一、測量平差方法回顧（1）條件平差法觀測數為n，必要觀測數為t，多餘觀測數r=n-t，條件方程個數c。停止返回在最小二乘原則下有：（2）間接平差法觀測數為n，必要觀測數為t，多餘觀測數r=n-t，設t個相互獨立的未知參數，則條件個數c=n+t-t=n,即n個誤差方程：在最小二乘原則下有：（3）附有參數的條件平差法

設在平差問題中，觀測值個數為n，t為必要觀測數，則可列出r=n-t個條件方程，現有增設了u個獨立量作為參數，而0<u<t，每增設一個參數應增加一個條件方程。以含有參數的條件方程作為平差的函數模型，稱為附有參數的條件平差法。

上式為附有參數的條件平差法的函數模型。

此平差問題，由於選擇了u個獨立參數，方程總數由r個增加到c=r+u個，故平差的自由度為r=c-u。停止返回設定未知參數的目的：（2）為了在條件平差過程中，直接估計一些量以及其精度。如：（1）為了方便列立條件。ABDC123456789121110131415161718P2P1如圖：條件平差：123456其中：其他條件如何列？設未知參數X1123456X1將觀測值的估值寫成觀測值與改正數之和，對非線性條件進行線性化，可形成基礎方程。123456X1X2特點：方程中即有觀測量又有未知參數。採用改正數表示。二、基礎方程和它的解按求函數極值的拉格朗日乘數法，構造新的函數：基礎方程：停止返回求其一階偏導數，並令其為0：聯立即為法方程式停止返回將法方程寫成矩陣的形式：也可分別求解：第二節精度評定一、計算單位權中誤差二、協因數陣三、平差值函數的協因數線性化：四、附有參數的條件平差的計算步驟根據平差問題的具體情況，設定參數（相互獨立，個數小於t，列出條件方程式，條件方程的個數等於多餘觀測數r與設定未知參數之和。根據條件式的係數，閉合差及觀測值的權組成法方程式。解演算法方程，求出聯繫數K與x值。將K與x值代入改正數方程式，求出V值，並求出平差值與參數平差值。精度評定。為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。第一節基礎方程和它的解第二節精度評定第七章附有限制條件的間接平差停止返回間接平差：觀測數為n，必要觀測數為t，多餘觀測數r=n-t，設t個相互獨立的未知參數，則條件個數c=n+t-t=n，即n個誤差方程：從而可以唯一求出一、基礎方程和它的解由於未知參數u>t，則u個未知參數間肯定存在u-t個函數關係，稱為約束條件。聯合基礎方程基礎方程線性化形式：按求函數極值的拉格朗日乘數法，構造新的函數：停止返回求其一階偏導數，並令其為0：法方程式停止返回寫成矩陣形式：顯式表示：第二節精度評定一、計算單位權中誤差二、協因數陣停止返回三、平差值函數的協因數四、附有限制條件平差的間接平差計算步驟根據平差問題的具體情況，設定參數，列出誤差方程式與限制條件。根據觀測值的權組成法方程式。解演算法方程，求出聯繫數X與K值。將K與x值代入改正數方程式，求出V值，並求出平差值與參數平差值。精度評定。例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數據與觀測數據列於下表。按間接平差求各點的高程平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.000