新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何2.2空间向量及其运算学生用书湘教版选择性必修第二册

2．2空间向量及其运算新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一空间向量1．空间向量的概念定义把空间中既有________又有________的量称为空间向量❶．长度向量的________叫作向量的长度或________．表示法①几何表示法：空间向量用________表示．②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|.批注❶空间向量在空间中是可以任意平移的．2.几类特殊向量❷相等向量方向________且长度________的向量．相反向量方向________、长度________的向量．零向量长度为零的向量．单位向量长度为________的向量．共线向量(平行向量)对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________．批注❷类比平面向量记忆．要点二空间向量的加减与数乘运算运算法则(或几何意义)运算律加法a＋b❸(1)交换律：a＋b＝________；(2)结合律：(a＋b)＋c＝________减法a－ba－b＝a＋(－b)数乘λa❹(1)|λa|＝________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb.(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.批注❸当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即A0A1+A1A2+A批注❹注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0．要点三空间向量的数量积1.空间向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角❺，记作________，其取值范围为[0，π].批注❺关键是起点相同！2．空间向量的数量积定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉❻为a与b的数量积．批注❻(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(2)零向量与任意向量的数量积等于零．3．性质a·b＝0⇔________，a·a＝________，|a|＝________，cos〈a，b〉＝________．4．运算律❼λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．批注❼特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．5．投影向量如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得OA＝a，OB＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模________＝|OB||cosα|称为投影长，称________为OB在OA方向上的投影，其正负表示OB1与OA基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．()(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()2．下列说法正确的是()A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()．A．AB与A'C'B．C．AB与A'D'D．4．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性空间向量的线性运算例1(1)(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是((2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c①AP；②A1方法归纳空间向量线性运算的3个技巧巩固训练1如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1(1)化简：A1O－(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝23DD1，若EO＝xAB+yAD+z共线向量的应用例2如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝23FC，方法归纳证明空间三点共线的三种思路巩固训练2如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF＝23CB，CG＝2空间向量数量积的运算例3如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)AB·CD.方法归纳计算空间向量数量积的2种方法巩固训练3如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的边长为1，求：(1)AB2AB3AC空间向量数量积的应用例4已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′的各棱长均为1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝π3(1)求证：AA′⊥BD；(2)求对角线AC′的长．方法归纳利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略巩固训练4如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.2．2空间向量及其运算新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．大小方向大小模有向线段2．相同相等相反相等1b∥a要点二b＋aa＋(b＋c)|λ||a|相同相反要点三1．〈a，b〉3．a⊥b|a|2a·a4．(λa)·bb·aa·b＋a·c5．OB1|OB1||CB[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；对B，终点构成一个球面，故B错；对C，向量不能比较大小，故C错；对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．答案：D3．解析：对于A，因为AB＝A'B'，所以AB与A'C对于B，因为AB＝A'B'，所以AB与C'A对于C，因为AB＝A'B'，所以AB与A'D对于D，因为AB＝A'B'，所以AB与B'A答案：A4．解析：CD＝CB+BA+AD＝CB-AB+答案：－a＋b＋c题型探究·课堂解透例1解析：(1)A中，A1D1－A1A－AB＝B中，BC+BB1C中，AD-AB-DD1D中，B1D1-(2)①∵点P是C1D1的中点，∴AP＝AA1+A1D1＋D1P＝AA②∵点N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB+BN＝-AA1＋答案：(1)AB(2)见解析巩固训练1解析：(1)A1O－12(AB+AD)＝A1O(2)EO＝AO-AE＝12∴x＝12、y＝－12、z＝－例2证明：设AB＝a，AD＝b，AA∵A1E＝2ED1∴A1E＝23A1∴A1E＝23AD＝23b，A1F＝25(AC-AA1∴EF＝A1F－A1E＝25a－415b－25c＝25(又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－23b－c＋a＝a－2∴EF＝25EB，所以E，F，巩固训练2证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴AE＝12AB，则EH＝AH-AE＝12AD-1∵FG＝CG-CF＝23CD-2∴EH∥FG且|EH|＝34|FG|≠|FG又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．例3解析：(1)EF·BA＝12BD·BA＝12|BD||BA|·cos〈BD，BA〉＝12(2)EF·BD＝12BD·BD＝12|BD|2(3)EF·DC＝12BD·DC＝12|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉＝(4)AB·CD＝AB·(AD-AC)＝AB·AD-AB·AC＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB巩固训练3解析：1∵AB2AB·DC13AC·D＝2×2例4解析：(1)证明：由题意，平行六面体ABCD­A′B′C′D′的各棱长均为1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝π3因为BD＝AD-所以AA'·BD＝AA'·(AD-AB)＝AA'·AD-AA'·AB＝|AA'|·|AD|cos∠A′AD－|AA'|·|AB|cos∠A′AB＝1×1×所以AA′⊥BD.(2)因为AC'＝AC+CC'＝