九年级数学反比例函数教学案（全）

./反比例函数学案知识点一：反比例函数的定义一般地,形如的函数称为反比例函数例：下列等式中,哪些是反比例函数〔1〔2〔3xy＝21〔4〔5〔6〔7y＝x－4分析：根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成〔k为常数,k≠0的形式,这里〔1、〔7是整式,〔4的分母不是只单独含x,〔6改写后是,分子不是常数,只有〔2、〔3、〔5能写成定义的形式答案：〔2、〔3、〔5练习一：1、下列各式中,表示的y是x的反比例函数有：2、下列各式中,表示y是x的反比例函数有：3、下列各式中,表示y是x的反比例函数：知识点二：反比例函数的意义反比例函数的意义：①②其中x是自变量,且③其中y是函数,且④表达形式：⑤在表达形式中,x的次数是1；在表达形式,x的次数是﹣1例〔1：函数是反比例函数,求m的值解：〔1依题意得,所以,解得练习二〔1：若是反比例函数,求m的值若是反比例函数,求m的值若函数是反比例函数,求m的值例〔2：函数是反比例函数,求m的值解〔2：依题意得,由①得；由②得所以,有练习二〔2：若函数是反比例函数,求k的值若函数是反比例函数,求m的值若函数是反比例函数,求k的值若函数是反比例函数,求k的值若函数y=〔m+2x|m|-3是反比例函数,求m的值例〔3：已知反比例函数,当x=3时,对应的函数值是多少？解〔3：依题意得,由①得；由②得所以,有当时,是反比例函数,即.故当x=3时,练习二〔3：在反比例函数中,当x=20时,对应的函数值是多少在反比例函数中,当x=﹣2时,对应的函数值是多少知识点三：待定系数法求反比例函数的解析式1例：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.〔1写出y与x的函数关系式；〔2求当x=4时y的值解：〔1设,因为当x=2时y=6,所以有解得k=12因此,y与x的函数关系式是〔2把x=4代入,得所以,当x=4时,y=3练习三：1、、已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8,求〔1y和x的函数关系式；〔2当时,y的值3、已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=5,求〔1y与x的函数关系式；〔2当时,y的值4、已知y与x成反比例函数,当x=2时,y=3.〔1求y与x的函数关系式；〔2当时,求y的值5、已知y是x的反比例函数,当x=1时,y=﹣3,求〔1y与x的函数关系式；〔2当x=2时,求y的值6、已知y与x成反比例函数,当x=3时,y=4,求〔1y与x的函数关系式；〔2当y=3时,求x的值知识点四：待定系数法求反比例函数的解析式2例：已知y与x+1成反比例,当x=2时,y=6.〔1写出y与x的函数关系式；〔2求当x=4时y的值解：〔1由已知条件设有解析式为∵当x=2时,y=6.∴有,解得∴y与x的函数关系式为〔2当x=4时,有练习四：如果y与x+2成反比例,且当x=3时,y=1,求y与x之间的函数关系式．如果y与x-2成反比例,且当x=3时,y=5,求y与x之间的函数关系式．如果y与x-6成反比例,且当x=8时,y=,求y与x之间的函数关系式．如果y+3与x成反比例,且当x=6时,y=1,求y与x之间的函数关系式．已知y-2与x成反比例,当x=3时,y=1,则y与x之间的函数关系式为____________y-1=可以看作_______和_______成反比例,k=________．知识点五：待定系数法求反比例函数的解析式3例：已知y与成反比例,当x=2时,y=6.〔1写出y与x的函数关系式；〔2求当x=4时y的值解：〔1由已知条件设有解析式为∵当x=2时,y=6.∴有,解得∴y与x的函数关系式为〔2当x=4时,练习题五：已知y与成反比例,当x=2时,y=6.写出y与x的函数关系式已知y与成反比例,当x=3时,y=18.写出y与x的函数关系式已知y与成反比例,当x=-1时,y=6.写出y与x的函数关系式知识点六：待定系数法求反比例函数的解析式4例：已知函数y＝y1＋y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x＝1时,y＝4；当x＝2时,y＝5〔1求y与x的函数关系式；〔2当x＝－2时,求函数y的值分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用不同的字母表示。略解：设y1＝k1x〔k1≠0,〔k2≠0,则,代入数值求得k1＝2,k2＝2,则,当x＝－2时,y＝－5练习六：已知函数y＝y1＋y2,y1与x＋1成正比例,y2与x成反比例,且当x＝1时,y＝0；当x＝4时,y＝9,求当x＝－1时y的值已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19,求y与x的函数关系式．已知y=y1-y2,y1与x成反比例,y2与x2成正比例,且当x=-1时y=-5,当x=1时,y=1,求y与x之间的函数关系式．已知函数,且为x的反比例函数,为x正比例函数,且和x=1时,y的值都是1.〔1求y关于x的函数关系式。〔2求x=3时y的值。〔3当x为何值时,y的值是-1知识点七:反比例函数的图象分布反比例函数的图象是一条双曲线,有两个分支,两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限反比例函数的图象分布是由k值决定的：①当时函数图象的两个分支分别在第一、第三象限内②当时函数图象的两个分支分别在第二、第四象限内例1：〔1已知反比例函数,当x>0时,函数图象在第_________象限〔2已知反比例函数,其图象一个分支在第一象限,另一个分支在第____象限答案：〔1一；〔2三例2：〔1反比例函数其图象在第一、三象限内,则k的取值范围。〔2反比例函数其图象在第一、三象限内,则m的取值。解：〔1∵反比例函数其图象在第一、三象限内∴,即〔2∵反比例函数其图象在第一、三象限内∴,即,解得练习七：双曲线y=〔k≠0,当k>0时,它的两个分支分别在第______象限,当k<0,它的两个分支在第______象限。如果反比例函数的图象在第二、四象限内,那么k的取值范围是。如果反比例函数的图象在第一、三象限内,那么k的取值范围是。如果反比例函数的图象在第一、三象限内,那么k的取值范围是。已知反比例函数其图象一支在第一象限,另一支在第_____象限,m的取值已知反比例函数其图象一支在第二象限,另一支在第_____象限,m的取值已知反比例函数其图象一支在第三象限,另一支在第_____象限,m的取值知识点八：反比例函数图象上的点例：〔1判断点〔2,-3是否在反比例函数图象上〔2反比例函数,经过点〔4,-2m则m的值为多少解：〔1当x=2时,在反比例函数中,不是﹣3,所以点〔2,-3不在反比例函数图象上〔2将点〔4,-2m代入,得,解得练习八：下列四个点,在反比例函数图象上的是〔A．<1,>B．〔2,4C．〔3,D．〔,>下列各点中,在反比例函数图象上的是〔A． B． C． D．已知反比例函数的图象经过点P〔a+1,4,则a=_____．如果点A〔―2,a,B〔b,1是反比例函数y=图象上的两点,那么a=,b=。某反比例函数的图象经过点,则此函数图象也经过点〔A． B． C． D．已知反比例函数的图象经过点A〔a,b,则它的图象一定也经过〔A、〔-a,-bB、〔a,-bC、〔-a,bD、〔0,0反比例函数,经过点〔m,2m则m的值为多少？知识点九：已知点求反比例函数解析式例：已知反比例函数的图象经过点<2,4>,则k的值为多少？解：将点<2,4>代入解析式,得,解得练习九：已知反比例函数的图象经过点<1,2>,求反比例函数的解析式已知反比例函数的图象经过点<-1,3>,则k的值为已知反比例函数的图象经过点〔3,2和〔m,－2,则m的值是。已知反比例函数的图象经过点〔2,8和〔-5,n,则n的值是。知识点十：反比例函数性质反比例函数的图象和性质图象性质双曲线的两个分支分别位于一、三象限双曲线的两个分支分别位于二、四象限在每个象限内,y随x的增大而减小在每个象限内,y随x的增大而增大x的取值范围是y的取值范围是两个分支都无限接近于坐标轴,但是永远不能到达x轴和y轴中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称轴对称图形：既关于直线y=x对称,也关于直线y=-x对称〔1y随x的变化问题例：若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的取值范围是解：∵y随x的增大而减小∴,解得练习十〔1：如果双曲线y=,当x>0时,y随x的增大而增大,那么m的取值范围是〔A．m<0B．m<C．m>D．m>如果双曲线y=,当x<0时,y随x的增大而增大,那么m的取值范围是〔A．m<0B．m<C．m>D．m≥如果双曲线y=,当x>0时,y随x的增大而减小,那么m的取值范围是〔A．m<0B．m<C．m>D．m≥若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是〔A.-1 B.3 C.0 D.-3反比例函数y=的图象每一象限内,y随x的增大而增大,则n=_______．〔2值比较大小问题例：若点<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y3>都是反比例函数y＝－eq\f<1,x>的图象上的点,并且x1＜0＜x2＜x3,则下列各式中正确的是<>A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D.y1＜y3＜y2方法一：用图象解法,作出函数y＝－eq\f<1,x>的草图,即得三点的大致位置,观察图象,直接得到y2＜y3＜y1,故选B方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中,得y1＝－eq\f<1,x1>,y2＝－eq\f<1,x2>,y3＝－eq\f<1,x3>,由于x1＜0＜x2＜x3,所以y2＜y3＜y1,故选B练习十〔2：已知反比例函数y＝eq\f<k,x><k＜0>的图象上有两点A<x1,y1>,B<x2,y2>,且0<x1＜x2,则y1－y2值是<>A.正数B.负数C.非正数D．不能确定已知反比例函数y＝eq\f<k,x><k>0>的图象上有两点A<x1,y1>,B<x2,y2>,且0>x1>x2,则y1－y2值是<>A.正数B.负数C.非正数D．不能确定已知点A〔-3,y1,B〔-2,y2,C〔3,y3都在反比例函数y=的图象上,则〔．A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y1<y3已知点〔－1,y1、〔2,y2、〔π,y3在双曲线上,则下列关系式正确的是〔A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3D.y3＞y1＞y2若点A〔－2,a、B〔－1,b、C〔3,c在反比例函数〔k＜0图象上,则a、b、c的大小关系怎样〔3反比例函数中系数k的几何意义如图,过反比例函数图象上任意一点P,作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形PMON的面积∵∴xy=k∴即过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形面积为①若由反比例函数图象上任意一点引两坐标轴的垂线,两垂线及两坐标轴所构成的四边形的面积为,则此反比例函数的解析式为②过反比例函数图象上任意一点作一条坐标轴的垂线,则垂足、已知点及原点这三点所构成的三角形面积例：〔1如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.〔2如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.解：〔1S△POD=OD·PD=〔2设反比例函数解析式为,P点坐标为则由已知得P点坐标满足,即由图中阴影部分的面积为,即有所以又∵由图象得,反比例函数图象的一支在第二象限,所以所以,这个反比例函数的关系式是练习十〔3：在y=的图象中,阴影部分面积为1的有〔．xyCOAxyCOAB〔第2题如图,正方形的边长为2,反比例函数过点,则的值是〔A． B． C． D．面积为2的ΔABC,一边长为,这边上的高为,则与的变化规律用图象表示大致是〔第4题图第4题图一个反比例函数在第三象限的图象如图,若A是图象上AM⊥x轴于M,O是原点,如果△AOM的面积是3,求反比例函数的解析式已知点A〔0,2和点B〔0,-2,点P在函数的图象上,如果△PAB的面积是6,求点P点的坐标知识点十一：反比例函数与一次函数〔1反比例函数与一次函数的比较函数正比例函数反比例函数解析式图象形状直线双曲线K>0位置第一、三象限第一、三象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小K<0位置第二、四象限第二、四象限增减性y随x的增大而减小y随x的增大而增大练习十一〔1：函数y=-x与y=在同一直角坐标系中的图象是〔xyCOxyxyCOxyDOxyBOxyAO已知关于x的函数y=k〔x+1和y=-〔k≠0它们在同一坐标系中的大致图象是〔．函数y＝－ax＋a与〔a≠0在同一坐标系中的图象可能是〔已知函数中,时,随的增大而增大,则的大致图象为〔〔2反比例函数与一次函数交点反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个交点,或者没有交点练习十一〔2：在函数y=与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是〔．A．1个B．2个C．3个D．0个已知正比例函数和反比例函授的图像都经过点〔2,1,则、的值分别为〔A=,=B=2,=C=2,=2D=,=2反比例函数与正比例函数图像的一个交点的横坐标为1,则反比例函数的图像大致为〔2424-4-242-2-424-4-242-2-424-4-242-2-424-4-242-2-4ABCD已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点〔2,m,则一次函数的解析式是________．已知一次函数y=2x－5的图象与反比例函数y=<k≠0>的图象交于第四象限的一点P〔a,－3a,则这个反比例函数的关系式为。若函数与的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是若一次函数y=x+b与反比例函数y=图象,在第二象限内有两个交点,则k______0,b_______0,〔用">"、"<"、"＝"填空〔3求一次函数和反比例函数的关系式.例：如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点。〔1求反比例函数和一次函数的解析式。〔2根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。解：〔1将点N〔﹣1,﹣4代入,得k=4∴反比例函数的解析式为又∵M边在上∴m=2由M、N都在直线,由两点式可知：,解得∴一次函数的解析式为〔2由图象可知当,反比例函数的值大于一次函数的值练习十一〔3：如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点。求反比例函数与一次函数的表达式〔2根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x的取值范围。第1题图第1题图如图所示,已知一次函数y=kx+b<k≠0>的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=<m≠0>的图象在第一象限交于C点,CD⊥x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.求<1>点A,B,D坐标；〔2一次函数与反比例函数的解析式。如图,反比例函数的图象与直线的交点为,,过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点。求〔1点A、B的坐标；〔2的面积。AAOBC第3题图如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；〔2求的面积．OOyxBA第4题图已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2,求〔1一次函数的解析式；〔2△AOB的面积第5题图第5题图反比例函数综合测试姓名：日期：得分：xOy第2题图一、选择题〔每小题3xOy第2题图1、下列函数是反比例函数的是<>A、y=B、y=C、y=x2+2xD、y=4x+82、如图,这是函数〔的大致图像。A、y=-5xB、y=2x+8C、y=D、y=3、如图,函数与在同一坐标系中,图象只能是下图中的〔4、已知反比例函数的图象上有两点A〔、B〔,且,则的值是〔A、正数B、负数C、非负数D、不能确定5、在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成〔A、正比例B、反比例C、一次函数D、无法确定6、函数与〔的图象的交点个数是〔A.、2B、1C、0D、不确定二、填空题〔每小题4分,计32分7、一般地,函数是反比例函数,其图象是,当时,图象两支在象限内。8、反比例函数y=,当y=6时,_________。9、若正比例函数y=mx<m≠0>和反比例函数y=<n≠0>的图象有一个交点为点<2,3>,则m=______,n=_________.10、若反比例函数y=<2m-1>的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________.11、反比例函数的图像过点〔－3,5,则它的解析式为_________。12、在函数〔为常数的图象上有三个点〔-2,,<-1,>,〔,,函数值,,的大小为；13、函数y=的图象,在同一直角坐标系内,如果将直线y=－x+1沿y轴向上平移2个单位后,那么所得直线与函数y=的图象的交点共有个14、老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质,甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：随的增大而减小；丁：当时,。已知这四人叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数__________〔第19题图三、解答题〔共50分〔第19题图15、〔6分反比例函数的图象经过点.〔1求这个函数的解析式；〔2请判断点是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由.16、〔9分作出函数的图象,并根据图象回答下列问题：〔1当时,求y的值.〔2当时,求x的取值范围.〔3当时,求y的取值范围.17、〔8分若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的横坐标是1.求：〔1两个函数的解析式.〔2它们两个交点的坐标.18、〔8分已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数图象都经过点<1,－2>,求这个一次函数与反比例函数的解析式〔第20题图19、〔9分如图,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴的垂线于B,连接BC,求△ABC的面积〔第20题图20、〔10分在压力不变的情况下,某物承受的压强P〔Pa是它的受力面积S〔m2的反比例函数,其图象如右图所示.〔1求P与S之间的函数关系式；〔2求当S=0.5m2时物体所受的压强P.反比例函数综合测试姓名：日期：得分：一、选择题〔每小题4分,计26分1、若函数的图象过点〔3,-7,那么它一定还经过点〔A、〔3,7B、〔-3,-7C、〔-3,7D、〔2,-72、反比例函数〔m为常数当时,随的增大而增大,则的取值范围是〔A、B、C、D、3、若点<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y3>都是反比例函数y=-的图象上的点,并且x1<0<x2<x3,则下列各式中正确的是<>A、y1<y2<y3B、y2<y3<y1C、y3<y2<y1D、y1<y3<y2OyxAOyxCOxByOxOyxAOyxCOxByOxD5、已知力F所做的功是15焦,则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是如图中的<>6、下面