辽宁省鞍山市2023年中考数学试题（附真题答案）

辽宁省鞍山市2023年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．的绝对值是（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：|-2023|=-（-2023）=2023.故答案为：A.2．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（）A．​​ B．C．​​ D．​​【解析】【解答】解：该小正方体搭成的几何体的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧一个小正方形，故只有D选项符合题意.故答案为：D.3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：A、(4ab)2=16a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；

B、2a2+a2=3a2，故此选项计算错误，不符合题意；

C、a6÷a4=a2，故此选项计算正确，符合题意；

D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项计算错误，不符合题意.故答案为：C.整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.4．九班名同学在一次测试中，某道题目满分分的得分情况如表：得分分人数则这道题目得分的众数和中位数分别是（）A．， B．， C．， D．，【解析】【解答】解：由统计表可得得分是3分的人数最多，有14人，故这组数据的众数是3；

将30名同学的得分按从低到高排列后排第15与16位的成绩都是3分，故这组数据的中位数为（3+3）÷2=3.故答案为：C.5．甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，

由题意得.故答案为：A.设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等”可列出方程.6．如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：如图，

∵∠3=60°-∠1=60°-15°=45°，a∥b，

∴∠4=∠3=45°，

∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-90°-45°=45°.

故答案为：C.7．如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为若，则的长为（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OB，

∵∠C=45°，

∴∠AOB=2∠C=90°，

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，

∴AB=，

∵点D、G分别是AC与BC的中点，

∴DG=AB=.

故答案为：D.8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC、BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映s与t之间函数关系的是（）

A． B．C． D．【解析】【解答】解：如图，设HE交AB于点I，GF交AB于点K，易得四边形EFKI是矩形，

在运动的第一个阶段，

∵直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，

∴IE=FK=t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

又∵AB=4，BC=，

∴tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°，

∴AI=BK=，

∴IK=4-2t，即EF=4-2t，

∴S=，

∴排除A、D选项；

再继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，

此时S=（4-2t）2，

∴可以排除C选项，

故答案为：D.

IE=FK=t，在Rt△ABC中利用∠BAC的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠BAO=90°，在Rt△AIE中，由∠BAC的正切函数定义可得AI=BK=t，则IK=4-2t，即EF=4-2t，进而根据矩形面积计算方法可求出s关于t的函数关系，根据所得函数解析式可排除A、D选项；继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，再根据正方形的面积计算公式表示出s关于t的函数解析式，据此可排除C选项，从而即可得出答案.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9．2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，年“五一”假期天，全国国内旅游出游合计约为人次将数据用科学记数法可表示为．【解析】【解答】解：274000000=2.74×108.故答案为：2.74×108.n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.10．因式分解：．【解析】【解答】解：3x2-9x=3x(x-3).故答案为：3x(x-3).11．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球次，发现有次摸到红球，则口袋中红球约有个【解析】【解答】解：口袋中红球的个数为：12×=3（个）.故答案为：3.，从而用袋子中小球的总个数乘以从袋子中随机的摸出1个球是红球的概率，即可得出答案.12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-a=0有两个不相等得实数根，

∴△=b2-4ac＞0，即32-4×1×（-a）＞0，

解得a＞.故答案为：.2+bx+c=0(a、b、c都是常数，且a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式，求解即可.13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是．【解析】【解答】解：∵四边形OACB是矩形，

∴AC=OB=10，OA=BC=8，∠AOB=∠B=∠C=90°，

∵将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，

∴AC=AE=10，CD=ED，

在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=6，

∴BE=OB-OE=4，

设DB=x，则CD=DE=8-x，

在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2=ED2，

即42+x2=(8-x)2，

解得x=3，

∴D（10，3）.故答案为：（10，3）.AC=AE=10，CD=ED，在Rt△AOE中，由勾股定理算出OE，在Rt△BDE中，由勾股定理建立方程可求出BD的长，从而即可求出点D的坐标.14．如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点若，，，则的长为．【解析】【解答】解：由作图过程可知：CM平分∠ACB，MN垂直平分BC，

∴∠ACM=∠BCM，BM=CM，

∴∠B=∠BCM，

∴∠ACM=∠B，

又∵∠CAM=∠BAC，

∴△ACM∽△ACB，∴，

∴AC2=AB×AM=9×4=36，

∴AC=6.

故答案为：6.15．如图，在中，，顶点，分别在轴的正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点，，，则的值为．【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H，

，

∵点E为AC的中点，

∴AC=2CE，

∵EF⊥x轴，AH⊥x轴，

∴AH∥EF，

∴，

∴AH=2EF，CF=HF，

∵BF-CF=3，

∴BF-HF=BH=3，

∵AH⊥x轴，

∴AH∥OD，

∴，

∴BO=2OH，

∴BH=OB+OH=3OH=3，

∴OH=1，OB=2，

设CF=HF=x，EF=y，

则AH=2EF=2y，CH=2x，

∴点A（1，2y），E（1+x，y），

∵点A、E都在反比例函数的图象上，

∴k=1×2y=（1+x）y，

解得x=1，

∴CH=2x=2，

∴BA=BC=BH+CH=3+2=5，

在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，

∴A（1，4），

∴k=1×4=4.故答案为：4.

从而可得点A（1，2y），E（1+x，y），根据反比例函数图象上点的坐标特点得k=1×2y=（1+x）y，解得x=1，从而可求出BA的长，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，从而求出点A的坐标，此题得解了.16．如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点若，，则的长为．【解析】【解答】解：连接DE、BF，过点G作PG∥BC，交AB于点P，∵将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，

∴AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，

∵AE=AF=BC，FN=AN-AF，EM=AM-AE，

∴FN=EM，

在△BFN与△DEM中，

∵BN=DM，∠FNB=∠EMD，FN=EM，

∴△BFN≌△DEM（SAS），

∴BF=DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，AE=AF=BC，

∴AF=AB，AE=AD，

∴△ABF与△AED都是等腰三角形，

∴∠ABF=∠AFB=（180°-∠BAF），∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE），

∵∠DAE=∠BAF，

∴∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED，

∵AF=AE，∠MAN=90°，

∴△AFE是等腰直角三角形，

∴∠AEG=∠AFG=45°，

∵∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°，∠GFB=∠AFB-∠AFG=∠AEB-45°，

∴∠GFB=∠GDE，

在△GFB与△GDE中，

∵∠BGF=∠EGD，∠GFB=∠GDE，BF=DE，

∴△GFB≌△GDE（AAS），

∴FG=DG，BG=EG，

在△AFG与△ADG中，

∵AF=AD，FG=DG，AG=AG，

∴△AFG≌△ADG（SSS），

∴∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，

∵AD∥BC，

∴∠DAH=∠AHN，

∴∠AHN=∠NAH，

∴AN=NH=AM=，

设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，

在Rt△ABN中，AN2=BN2+AB2，即（）2=（-x）2+（x+2）2，

解得x1=6，x2=，

∴BH=6或；

∵PG∥BC，

∴△APG∽△ABH，

∴，

∵PG∥BC，

∴∠GPB=180°-∠PBH=180°-90°=90°，

∵∠PBG=45°，

∴∠PGB=90°-∠PBG=45°=∠PBG，

∴PG=PB，

①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，

∴，

∴设AP=4a，PG=3a=PB，

∵AB=AP+PB=8，

∴4a+3a=8，

解得a=，

在Rt△APG中，；

②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，

在Rt△ADM，，

∵DM=8＞CD=，

∴点M在CD的延长线上，与题意不符，

综上AG的长为.

故答案为：.，设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，在Rt△ABN中，由勾股定理建立方程可求出x的值；由平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△APG∽△ABH，由相似三角形对应边成比例得；推出△BPG是等腰直角三角形，得PG=PB，①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，代入比利式可得AP与PG的关系，设AP=4a，PG=3a=PB，进而结合AB=AP+PB建立方程可求出a得值，在在Rt△APG中，由勾股定理可求出AG得长；②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，在Rt△ADM，由勾股定理建立方程可求出DM得长，再根据题目条件判断点M在CD的延长线上，与题意不符，综上即可得出答案.三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：，其中．【解析】18．如图，在▱中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，，连接，，求证：四边形是菱形．【解析】19．在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时，某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；，最美设计：无限潜力参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项，活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生．（2）请补全条形统计图．（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数．【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20％=100（人）；

故答案为：100；

（2）根据四个项的人数之和等于本次调查的总人数可求出B项的人数，据此可补全条形统计图；

（3）用该校参赛学生的总人数乘以样本中A项目人数所占的百分比即可估算出该学校在评比中获得“A非凡创意”奖的学生人数.20．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“夏至”的概率．【解析】【解答】解：（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”的概率是：；

故答案为：；

四张完全相同的不透明卡片，其中卡片正面泻“A惊蛰”的只有一张，从而根据概率公式计算可得答案；

（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有6种，从而根据概率公式计算可得答案.21．某商店窗前计划安装如图所示的遮阳棚，其截面图如图所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度结果精确到，参考数据：【解析】22．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接，，若的面积是．（1）求反比例函数的解析式．（2）点为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．【解析】△AOC=4，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|，据此并结合反比例函数图象所在的象限可求出k的值，从而得到反比例函数的解析式；

（2）将A（-2，m）、B（n，2）分别代入（1）所求的反比例函数解析式可算出m、n的值，从而得到点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质求出点C的坐标，然后利用三角形面积计算公式算出△ABC的面积；根据直线上的点的坐标特点设P（m，m+6），再根据三角形面积计算公式及△PAC的面积等于△BAC面积的2倍建立方程可求出m的值，从而得到点P的坐标.23．如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．（1）求证：为的切线．（2）若，，求的半径．【解析】

（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而易得AC∥EF，由平行线性质及同弧所对的圆周角相等得∠E=∠BAC=∠BDC，设圆的半径为r，则OE=10-r，在Rt△EOD中，由∠E得正弦函数及等角得同名三角函数值相等可建立出关于字母r的方程，求解可得答案.24．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为元，销售价格不高于元，且每售卖需向网络平台支付元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格元之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求与的函数解析式．（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？【解析】

（2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，根据总利润=每千克荔枝的利润×销售数量建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.25．如图，在中，，，点是射线上的动点不与点，重合，连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．（1）如图，点在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是，．（2）如图，点在线段上，当，时，求证：．（3）当，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．【解析】【解答】解：（1）如图，连接BF并延长交AC于点R，连接DR，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，

同理得∠AED=45°，

∴∠AED=∠ABD=45°，

∴A、B、E、D四点共圆，

∴∠ABE+∠ADE=180°，

∵∠ADE=90°，

∴∠ABE=90°，

∴AB与BE垂直；

∵F是AE的中点，

∴BE=DF=AE，

∵G是BD的中点，

∴FG⊥BC，

∵∠ABE+∠BAC=180°，

∴BE∥AC，

∴∠EAR=∠FEB，

又∵∠AFR=∠BFE，AF=EF，

∴△BEF≌△RAF（ASA），

∴BF=RF，

∴RD∥FG，FG=RD，

∵FG⊥BC，

∴RD⊥BC，

∵∠C=45°，

∴CD=RD，

∴FG=CD，

∴；

故答案为：垂直，；

AE，由等腰三角形的三线合一得FG⊥BC，由同旁内角互补，两中线平行得BE∥AC，进而由二直线平行，内错角相等得∠EAR=∠FEB，由ASA判断出△BEF≌△RAF，得BF=RF，由三角形得中位线定理得RD∥FG，FG=RD，根据平行线的性质推出RD⊥BC，由等腰直角三角形性质得CD=RD，此题得解；

（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，得∠ABC=60°，在Rt△ADE中，由∠AED得正切函数及特殊锐角三角函数值可得∠AED=60°，则∠AED=∠ABC，从而根据确定圆的条件可得A、B、E、D四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠ABE=∠ADE=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=DF=AE；由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EH∥FG∥AQ，由平行线分线段成比例定理得HG=QG，则FG是梯形AEHQ的中位线，则EH+AQ=2FG，即，进而根据含30°角直角三角形性质得，，从而可得，据此就可求出结论了；

（3）分类讨论：当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，由等边三角形性质得BQ=CQ=BC=3，∠C=60°，根据含30°角直角三角形性质得AQ的长，由同角的余角相等