【数学】河南省焦作市2024届高三一模试题（解析版）

河南省焦作市2024届高三一模数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，，所以，.故选：A2.已知复数满足，则的虚部为（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，所以的虚部为．故选：B3.若圆与轴相切，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】的圆心为，半径为，因为圆与轴相切，所以且，解得故选：D4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，显然，则，解得或．所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍【答案】A【解析】设的中点为，因为，所以，所以，所以点是线段的五等分点，所以,所以的面积是的面积的5倍．故选：A.6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C7.已知函数有两个极值点p，q，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，则，因为，所以，显然，，两式相除得，则，代入中，解得，则．故选：D8.已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的渐近线方程为，不妨设直线，，联立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的渐近线方程为，故选：C.二、多项选择题9.已知函数，则（）A.为的一个周期 B.的图象关于直线对称C.为偶函数 D.在上单调递增【答案】AB【解析】因为的最小正周期，所以为的一个周期，故A正确；因为，故B正确；因为，不具有奇偶性，故C错误；因为，则，且在内单调递减，所以在上单调递减，故D错误．故选：AB.10.已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（）A.该三棱台的侧面积为 B.该三棱台的高为C.平面 D.二面角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A，根据条件可得，，分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，因为，，，所以，，则，因为，，，则四边形为矩形，所以，，所以，，则，即等腰梯形的高为，其面积为，所以该三棱台的侧面积为，故A错误；对于B，设的中心为，的中心为，可知是直角梯形，过点在平面内作，垂足为点，因为，，，则四边形为矩形，因为，解得，同理可得，所以，，，所以，，则，所以，，故B正确；对于C，分别延长棱、、交于点，因为，，则，可得，则，同理可得，所以，四面体为正四面体，延长交于点，则，所以，，且，即，则为的中点，又因为，则为正的中心，故平面，故C正确；对于D，二面角即正四面体相邻侧面的夹角，因为为的中点，为等边三角形，则，且，因为是边长为的等边三角形，则，且，故二面角的平面角为，因为平面，平面，则，则，故二面角的余弦值为，故D正确．故选：BCD.11.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（）A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为【答案】ACD【解析】记甲负责工序事件，甲负责工序为事件，甲负责工序为事件，该项目达标为事件．对于选项A，该项目达标的概率为，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，所选项C正确；对于选项D，，所以选项D正确，故选：ACD.12.已知抛物线的准线，直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（）A.若，则以为直径的圆与相交B.若，则为坐标原点C.过点分别作抛物线的切线，，若，交于点A，则D.若，则点到直线的距离大于等于【答案】BCD【解析】由题可得抛物线，设，，对于选项A，当时，直线过的焦点，此时，又的中点到准线的距离为，则以为直径的圆与相切，故选项A错误；对于选项B，当时，直线，将代入，得，则，又易知，所以，故选项B正确；对于选项C，由题可设抛物线在点处的切线方程为，由，消得到，由，得到，又，所以，得到，所以在点处的切线方程为，整理得到，同理可得抛物线在点处的切线方程为，联立，解得，故，故选项C正确；对于选项D，由抛物线的对称性，可知当轴时，点到直线的距离最小，由，不妨取，代入，得到，所以，点到直线的距离为，故选项正确．故选：BCD.三、填空题13.已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．【答案】【解析】设圆锥（如图所示）的高为．因为，所以，母线．将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长，根据弧长公式，所以圆心角.故答案为：.14.已知数列中，，且，则的前12项和为_________．【答案】【解析】依题意，故，,所以，，，…，故的前12项和为．故答案为：15.已知正实数m，n满足，则的最大值为_________．【答案】2【解析】依题意得，则，即，则，解得，则的最大值为2．当且仅当时取得最大值.故答案为：2.16.若函数在上没有零点，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】因为，则，令，显然，则，令，，则，令，得，，列表如下：增极大值减减极小值增所以，函数的增区间为、，减区间为、，且极大值为，极小值为．当时，，当时（从左边趋于），；当时（从右边趋于），，当时（从右边趋于），.由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，即在上没有零点．因此，实数的取值范围是，故答案为：.四、解答题17.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：；（2）若，求的值．（1）证明：由正弦定理及条件可得，由余弦定理可得，化简得．（2）解：由得，化简得，又，故，所以，故．18.如图所示，在三棱锥中，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为，所以，同理可得，故，因为，平面，所以平面因为平面，故平面平面．（2）解：以C为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为则，，，，，所以，，．设为平面的法向量，则即令，得．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.已知数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）由，可得，又，故数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．20.为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．（1）若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）解：（1）依题意，，则，，，，故的分布列为：X01234P故．（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，则，“次试验中，成功了0次或1次”，“次试验中，成功了0次”的概率；“次试验中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，故，所以，令，则，两式相减得：，则．即21.（1）求函数的极值；（2）若，证明：当时，．（1）解：依题意，，令，解得，所以当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，而，故的极小值为0，无极大值．（2）证明：由（1）可知，当时，，则．令，则，易知在上单调递增．因为，所以，，故，使得，即①．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故②．由①可得，代入②，得，而，故，故，即原命题得证．22.已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．（1）求的方程．（2）过上一