【数学】2024年高考第二次模拟考试（新九省高考专用01）（解析版）

2024年高考第二次模拟考试（新九省高考专用01）数学一、选择题1.设集合，则（）A． B． C.,或 D．【答案】B【解析】由题意得，，又则，故选：B.2.已知复数（，且），且为纯虚数，则（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，又因为为纯虚数，所以，即（舍）或，所以，所以，所以.故选：D3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，，若与共线，则，所以，，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C4.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，由，可得，当时，由，得；所以“”不是“”的充分条件.因为，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278 D.336 【答案】D【解析】录用3人，有种情况；录用4人，有种情况；录用5人，有种情况.所以共有336种.6.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的标准方程为，圆心坐标为，半径为.因为，所以.所以.要使上总存在，两点使得为等边三角形，则上存在一点，使得,当与相切时，最大，此时，故，即，整理得，解得.故选:B.7.已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解析】三棱锥中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值为，的最小值是1，即A到BC的距离为1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，所以重合，则∠ACB＝90°，则△ABC的外接圆圆心M为AB的中点，又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点，外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积．故选：B．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（）A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18【答案】D【解析】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．故选：D．二、选择题9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（

）A．的最小值是6 B．若点，则的最小值是4C． D．若，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】对A，设，因为这些倾斜角不为0，则设直线的方程为，联立抛物线得，则，所以，则（当且仅当时等号成立），A正确；对B，如图抛物线准线，要使其最小，即三点共线时取得最小值，即，B正确；对C，由，C错误；对D，，解得,D正确故选：ABD.10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（）A.若的两条渐近线相互垂直，则B.若的离心率为，则的实轴长为C.若，则D.当变化时，周长的最小值为【答案】ACD【解析】【解析】依题意，，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；B选项，若的离心率为，解得，所以实轴长，故B错误；C选项，若，则，整理得，故C正确；D选项，根据双曲线的定义可知，，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以周长的最小值为，故D正确.故选：ACD11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（）A．与是异面直线B．存在点，使得，且平面C．与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为【答案】BC【解析】A选项，以作坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，则，由于，故与平行，A错误；B选项，设，因为，所以，即，解得，故，设平面的法向量为，则，令，则，则，因为，故，平面，故存在点，使得，且平面，B正确；C选项，平面的法向量为，故与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角的余弦值为，C正确；D选项，设平面的法向量为，则，令，则，故，则点到平面的距离为，D错误.故选：BC三、填空题12.若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通项，令第项的系数最大，则，解得，因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，所以填24013.若函数的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数是__________.【答案】0【解析】注意到，.若函数上存在两条切线垂直，则存在、，使得.故答案为014.若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点，则的最小值为________.【答案】【解析】如图，其中抛物线的焦点坐标为，抛物线的准线方程为：，圆的半径又抛物线的定义可得：，又，当轴时，则，所以；当不垂直于轴时，设的方程为：，代入抛物线方程得：，所以。所以，当且仅当，即时，等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.四、解答题15．已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．解：（1）对于任意的都有,当时，，两式相减得，即，进而得，当时，，故，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以（2）当为奇数时，，且，当为偶数时，，且，因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，因此当为偶数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，当时，，因此的前20项和16．灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.解：（1）设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则0.2，，X的取值范围是，，，，，，，，X的分布列为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）可知，，故.（3）由（2）可知.在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优.17．如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.(1)求证:;(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(1)证明：在平面中作于,因为平面平面,且平面平面,所以平面,从而.在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因为,所以平面,因此.(2)解：由(1)可知,两两垂直,如图,以为原点建立空间直角坐标系.则.设,则.设平面PBC的一个法向量为,因为,所以即则有令,得.而平面的一个法向量可以是,则,解得,即为棱的三等分点,.18．已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求实数a的值；（2）若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．解：（1）依题意，设切点，求导得，则，解得，又，，则，所以实数a的值为2.（2）依题意，的定义域为，求导得，则有两个不等的正根，且是的变号零点，令，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，由函数有两个零点，得，解得，此时，令，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，则，即，，因此当时，函数必有两个零点，且是变号零点，由，得，由，得，令，则，于是，解得，，因此要证，只需证，即，只证，令，，求导得，因此函数在上单调递增，，所以.19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点Q,P的距离之比是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点A,且椭圆C的离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，过右焦点F斜率为的直线与椭圆相交于,D(点B在轴上方),点S,T是椭圆上异于B,D的两点，SF平分平分①求的取值范围；②将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为,求直线的方程.解：(1)方法1特殊值法