2022年3月泰州市泰兴市九年级中考数学一模试卷附答案解析

年3月泰州市泰兴市九年级中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．32．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．4．小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（）A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中 C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件5．某汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受的牵引力F不超过1200牛时，速度v（）A．大于50米/秒 B．小于50米/秒 C．不大于50米/秒 D．不小于50米/秒6．已知点P（a，b）在一次函数的图象上，则代数式3ab﹣a2﹣6b的值为（）A．6 B．﹣4 C．4 D．﹣2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．27的立方根等于．8．因式分解：x3﹣4x＝．9．根据新闻对新型冠状病毒肺炎的疫情实时动态，截止北京时间2021年3月20日，全球累计确诊人数已超过124000000，将数据124000000用科学记数法表示为．10．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．11．某快餐店某天销售3种盒饭的有关数据如图所示，则3种盒饭的价格平均数是元．12．一个扇形的弧长为3πcm，半径为4cm，则该扇形的面积为cm2．13．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两斜边相交构成的一个角为60°，则图中角α的度数为度．14．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．15．如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为（﹣3，﹣4），若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为．16．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，，则AD+BC的值为．三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：．（2）解不等式组：．18．（8分）某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）．（1）此次共调查了名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该学校九年级共有300名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数．19．（8分）根据最新公布的江苏高考改革方案，从2021年开始我省高考将实行“3+1+2”模式．“3”指的是语文、数学、外语为必选的3个科目；“1”是指在物理、历史两科中选择1科；“2”是指在思想政治、地理、化学、生物四科中任选2科．该班某同学物理成绩特别优异，已经从物理、历史学科中选定物理，还需从余下思想政治、地理、化学、生物（分别记为A、B、C、D）4门科目中任意选择两门．（1）列表或画树状图，列出所有可能的结果；（2）求出该同学恰好选中化学、生物两科的概率．20．（10分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动．计划在规定期限植树4000棵，由于志愿者的支援，工作效率提高了20%，结果提前3天完成，并且多植树80棵，求规定期限．21．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A．（1）用直尺和圆规在AC上确定一点D，∠BDC＝2∠A，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD长．22．（10分）如图，在一座建筑物CM上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30°，测得D处的俯角为45°，其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内，B、C、D在一条直线上，，求宣传条幅AC长．请你从下面的三个条件：①BD＝50米；②D到AB的距离为25米；③AM＝20米．选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．23．（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，AD⊥BC于D，P为边AB上一动点，过点P作PE⊥AB分别交线段BC、AD于E、F．设AP＝x，△APF和△DEF的面积分别为S1、S2．（1）用含x的代数式表示DE的长；（2）若S＝S1+S2，求S与x的函数关系式，并说明S＞是否成立．24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．25．（12分）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点P（m，n）是直线y＝﹣x上一动点．（1）已知4个点：B（2，﹣3）、C（2，﹣2）、D（﹣2，2）、E（2，），则线段OA的“等距点”是，线段OA的“完美等距点”是．（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．26．（14分）如图，矩形ABCD，AB＝k，AD＝2k（k是常数且k＞0），现将它置于平面直角坐标系中，使AB边在x轴负半轴上，直线y＝﹣x过点C．已知点P的坐标为（﹣k，﹣k），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点P与y轴交于点M（0，t）．（1）若P为抛物线顶点．①当k＝2，t＝1时，求a的值；②若抛物线与边BC交于点Q，且CQ＝3BQ，当a、k各自取不同的值时，试说明：的值不变；（2）若t＝0，求ak﹣b的值；（3）在（2）下，当k为定值时，抛物线与矩形ABCD的边有公共点，且与射线OC的交点到y轴的距离最大为5，求a的范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：D．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、原式＝＝，所以C选项错误；D、原式＝＝3，所以D选项正确．故选：D．3．如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图是从图形的正面看所得到的图形可得答案．【解答】解：此几何体的主视图有两个长方形组成，两个长方形的左边对齐，故选：A．4．小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（）A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中 C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、小明明天的进球率不一定是50%，本选项说法错误，不符合题意；B、小明明天每投10次不一定有5次投中，本选项说法错误，不符合题意；C、小明明天不一定能进球，本选项说法错误，不符合题意；D、小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件，本选项说法正确，符合题意；故选：D．5．某汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受的牵引力F不超过1200牛时，速度v（）A．大于50米/秒 B．小于50米/秒 C．不大于50米/秒 D．不小于50米/秒【分析】设v与F之间的函数关系式为v＝，把（3000，20）代入即可求出这个函数的表达式，【解答】解：设v与F之间的函数关系式为v＝，把（3000，20）代入得：P＝60000，∴v与F之间的函数关系式为，把F＝1200牛代入v＝＝50（米/秒），故当它所受的牵引力F不超过1200牛时，速度v不小于50米/秒．故选：D．6．已知点P（a，b）在一次函数的图象上，则代数式3ab﹣a2﹣6b的值为（）A．6 B．﹣4 C．4 D．﹣2【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝a+，将其代入3ab﹣a2﹣6b＝3b（a﹣2）﹣a2中，即可求出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数的图象上，∴b＝a+，∴3ab﹣a2﹣6b＝3b（a﹣2）﹣a2＝3（a+）（a﹣2）﹣a2＝（a+2）（a﹣2）﹣a2＝a2﹣4﹣a2＝﹣4．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．27的立方根等于3．【分析】根据立方根的定义：一个实数a，a3＝x，则a叫做x的立方根，即可得出结果．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根为3．故答案为：3．8．因式分解：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．9．根据新闻对新型冠状病毒肺炎的疫情实时动态，截止北京时间2021年3月20日，全球累计确诊人数已超过124000000，将数据124000000用科学记数法表示为1.24×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：124000000＝1.24×108．故答案为：1.24×108．10．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为2．【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x1+x2的值．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝2．故答案为：2．11．某快餐店某天销售3种盒饭的有关数据如图所示，则3种盒饭的价格平均数是8.7元．【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：3种盒饭的价格平均数是6×25%+8×15%+10×60%＝8.7（元），故答案为：8.7．12．一个扇形的弧长为3πcm，半径为4cm，则该扇形的面积为6πcm2．【分析】根据扇形的面积公式求出即可．【解答】解：∵扇形的弧长为3πcm，半径为4cm，∴该扇形的面积为3π×4＝6π（cm2），故答案为：6π．13．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两斜边相交构成的一个角为60°，则图中角α的度数为45度．【分析】根据三角形外角性质求出求出∠GFE，再根据三角形外角性质求出∠α即可．【解答】解：∵∠C＝∠B＝45°，∠E＝30°，∠EGF＝60°，∴∠GFE＝180°﹣∠E﹣∠EGF＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵∠GFE＝∠C+∠a，∴∠a＝∠GFE﹣∠C＝90°﹣45°＝45°．14．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2.4，AE＝10米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝24米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝26（米）．故答案为：26．15．如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为（﹣3，﹣4），若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）．【分析】利用图像法解决问题即可．【解答】解：如图，观察图像可知，当A（﹣3，﹣1）或A′（﹣3，1）时⊙A上只有3个点到x轴的距离为2．故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）．16．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，，则AD+BC的值为5．【分析】作直径BE，连接DE，EC．证明AD＝EC，设EC＝2k，BC＝3k，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：作直径BE，连接DE，EC．∵BE是直径，∴∠BDE＝∠BCE＝90°，∴BD⊥DE，∵AC⊥BD，∴DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD，∴＝，∴AD＝EC，∵AD＝BC，∴EC＝BC，∴可以假设EC＝2k，BC＝3k，∵BC2+EC2＝BE2，∴（3k）2+（2k）2＝（）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BC＝3，EC＝2，∴AD＝EC＝2，∴AD+BC＝5，故答案为5．三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：．（2）解不等式组：．【分析】（1）先算二次根式，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再算加减法即可求解；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解答】解：（1）＝3﹣1﹣8+3×＝3﹣1﹣8+＝﹣6+；（2），解①得x≥﹣1，解②得x＜2．故不等式组的解集为﹣1≤x＜2．18．（8分）某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）．（1）此次共调查了50名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该学校九年级共有300名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数．【分析】（1）根据一般喜欢、非常喜欢、不喜欢的人数和及其所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果，可以计算出“喜欢”的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出其中“非常喜欢”网课的人数．【解答】解：（1）此次共调查学生（7+26+5）÷（1﹣24%）＝50（名），故答案为：50；（2）选择“喜欢”的学生有：50×24%＝12（人），补充完整的条形统计图如图所示：（3）300×＝156（人），即其中“非常喜欢”网课的有156人．19．（8分）根据最新公布的江苏高考改革方案，从2021年开始我省高考将实行“3+1+2”模式．“3”指的是语文、数学、外语为必选的3个科目；“1”是指在物理、历史两科中选择1科；“2”是指在思想政治、地理、化学、生物四科中任选2科．该班某同学物理成绩特别优异，已经从物理、历史学科中选定物理，还需从余下思想政治、地理、化学、生物（分别记为A、B、C、D）4门科目中任意选择两门．（1）列表或画树状图，列出所有可能的结果；（2）求出该同学恰好选中化学、生物两科的概率．【分析】（1）画树状图，即可得出结果；（2）共有12个等可能的结果，该同学恰好选中化学、生物两科的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：共有12个等可能的结果；（2）共有12个等可能的结果，该同学恰好选中化学、生物两科的结果有2个，∴该同学恰好选中化学、生物两科的概率为＝．20．（10分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动．计划在规定期限植树4000棵，由于志愿者的支援，工作效率提高了20%，结果提前3天完成，并且多植树80棵，求规定期限．【分析】设规定期限为x天，则实际（x﹣3）天完成植树任务，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，结合实际比原计划工作效率提高了20%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设规定期限为x天，则实际（x﹣3）天完成植树任务，依题意得：＝（1+20%）×，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．答：规定期限为20天．21．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A．（1）用直尺和圆规在AC上确定一点D，∠BDC＝2∠A，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD长．【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，则DA＝DB，所以∠A＝∠DBA，然后利用三角形外角性质可得到∠BDC＝2∠A；（2）先利用勾股定理计算出AC＝8，设CD＝x，则DB＝DA＝8﹣x，再利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：（1）如图，点D为所作；（2）在Rt△BCD中，AC＝＝＝8，由作法得DA＝DB，设CD＝x，则DB＝DA＝8﹣x，在Rt△BCD中，x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，即CD的长为．22．（10分）如图，在一座建筑物CM上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30°，测得D处的俯角为45°，其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内，B、C、D在一条直线上，选①，求宣传条幅AC长．请你从下面的三个条件：①BD＝50米；②D到AB的距离为25米；③AM＝20米．选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．【分析】在Rt△ABC中和在Rt△ACD中，利用直角三角形的边的关系解答即可．【解答】解：选择条件①BD＝50米，由题意知，∠EAB＝30°，∠EAD＝45°，∵AE∥BC，∴∠CAD＝∠CDA＝45°，∠B＝∠EAD＝30°，在Rt△ABC中，AC＝AB，∴BC＝AC，在Rt△ACD中，CA＝CD，设CA＝x，则BC＝CA+BD＝x+50，∴x+50＝x，解得：x＝25（+1），∴AC＝25（+1）米，答：宣传条幅AC长为25（+1）米，故答案为：（1）选①．23．（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，AD⊥BC于D，P为边AB上一动点，过点P作PE⊥AB分别交线段BC、AD于E、F．设AP＝x，△APF和△DEF的面积分别为S1、S2．（1）用含x的代数式表示DE的长；（2）若S＝S1+S2，求S与x的函数关系式，并说明S＞是否成立．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线可得AD＝CD＝BD＝2，再推出△APF、△EFD为等腰直角三角形，可得出DE＝DF＝2﹣x；（2）根据三角形的面积公式求出S＝S1+S2，可得到S与x的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，∴BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC于D，∴AD＝CD＝BD＝BC＝2，∴∠DAB＝45°，∵PE⊥AB，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF＝x，∴DF＝2﹣x，∠AFP＝∠EFD＝45°，∴△EFD为等腰直角三角形，∴DE＝2﹣x；（2）∵S1＝AP•PF＝AP2＝x2，S1＝DE•DF＝DE2＝（2﹣x）2＝x2﹣4x+4，∴S＝S1+S2＝x2﹣4x+4，∵S＝x2﹣4x+4＝（x﹣）2+，∵a＝＞0，∴x＝时，S有最小值，∵＞，∴S＞成立．24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，∠ABC+∠COD＝180°，再根据等角的补角线段得到∠AOD＝∠ABC，然后根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；（2）先利用勾股定理计算出在AB＝10，再利用切线长定理得到BD＝BC＝6，所以AD＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，利用勾股定理得到r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，连接OB交CD于H，如图，则OB垂直平分CD，然后利用面积法可计算出CH，从而得到CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠ABC，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝∠ABC；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，∵OC⊥CB，∴BC为切线，∴BD＝BC＝6，∴AD＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OC＝3，连接OB交CD于H，如图，∵OC＝OD，BC＝BD，∴OB垂直平分CD，在Rt△OCB中，OB＝＝3，∵OB•CH＝OC•BC，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝．25．（12分）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点P（m，n）是直线y＝﹣x上一动点．（1）已知4个点：B（2，﹣3）、C（2，﹣2）、D（﹣2，2）、E（2，），则线段OA的“等距点”是B，C，E，线段OA的“完美等距点”是C．（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．【解答】解：（1）∵OB＝，AB＝，∴OB＝AB．∴B为等距点．∵OC＝，AC＝，∴OC＝AC．∴C为等距点．∵OD＝，AD＝，∴OD≠AD．∴D不为等距点．∵OE＝，AE＝，∴OE＝AE．∴E为等距点．∵OA＝4，∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，∴C为完美等距点．故答案B，C，E．C为完美等距点．（2）∵P（m，n）在y＝﹣x上，∴n＝﹣m．∴．∴m＝±2．∴n＝±1．∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．设H的坐标为（0，t），∴PH＝或．∵AH＝，AH＝HP，∴＝或＝．解得：t＝或t＝﹣．∴H的坐标为（0，）或（0，﹣）．（3）存在．理由：设N点的坐标为（2，