公司理财 课件翻译 21 期权定价

第21章期权定价本章概述21.1二项式期权定价模型21.2

布莱克－斯科尔斯期权定价模型21.3风险中性概率21.4期权的风险和回报率21.5风险债务的贝塔学习目标阐明如何利用二项式期权定价模型对期权定价。为二项式期权定价模型定义复制组合。利用一价定律解释二项式期权定价模型如何在它给定的假设下正确估值。学习目标

利用布莱克－斯科尔斯期权定价公式计算不支付股利股票的看涨期权的价值。利用布莱克－斯科尔斯期权定价公式计算不支付股利股票欧式看跌期权的价格。计算支付股利股票的欧式期权的价值。学习目标

为不支付股利股票的看涨期权或欧式看跌期权定义布莱克－斯科尔斯复制组合。讨论风险中性概率的含义并说明这些概率如何被用来为每一状态下支付已知的其他任何资产定价。学习目标

定义并计算二叉树中股价上升的风险中性概率。计算并解释期权的贝塔。利用布莱克－斯科尔斯公式卸载公司股权的贝塔、计算债务的贝塔。

21.1二项式期权定价模型

二项式期权定价模型基于每一期股票回报率只有两个可能取值的假设下的一种期权定价技术。二叉树具有两个分支的时间线，每个时期代表着该时期内可能发生的事件单期的两状态模型复制组合复制组合包含1期后与期权具有完全相同价值和支付的基础股票和无风险债券。根据一价定律，这意味着看涨期权与复制组合的当前价值必定相等。单期的两状态模型

假定欧式看涨期权1期后到期，执行价格为50美元。当前股价为50美元，股票不支付股利。经过1期后，股价将上涨10美元或下跌10美元。1年期无风险利率为6%。单期的两状态模型

支付信息可以汇总在二叉树中。单期的两状态模型

D表示买入的股票数量，B表示对债券的初始投资。为了利用股票和债券构造看涨期权，要求由股票和债券构成的投资组合的价值，在每一可能的状态下，必须与期权的价值完全一致。单期的两状态模型

在上升状态，组合的价值必为10美元。在下降状态，组合的价值必定为零。单期的两状态模型

利用联立方程，可以解得D和B。

D=0.5B=–18.8679单期的两状态模型

由0.5股股票多头和卖空大约价值18.87美元的债券所构成的投资组合，在经过1期后，将与看涨期权的价值完全相符。60×0.5–1.06×18.87=1040×0.5–1.06×18.87=0单期的两状态模型

根据一价定律，看涨期权的价格必定等于复制组合的当前市场价值。复制组合的当前价值等于，当前股价为50美元的0.5股股票的价值减去借款额单期的两状态模型

注意到根据一价定律，我们能够在不知道二叉树状态概率的情形下，求解期权的价格。图21.1在二项式模型中复制期权二项式期权定价公式假定：当前的股价为S，在下一期，股价或者上涨至Su

，或者下跌为Sd

。无风险利率为rf

。如果股价上涨，期权的价值为Cu

；股价下跌，期权的价值为

Cd。二项式期权定价公式

给定以上假设，二叉树可描述为：复制组合的支付为：二项式期权定价公式

通过两个等式求解未知量D和B，可得到二项式模型中复制组合的一般公式。二项式模型中的复制组合期权定价二项式模型中的期权价格例21.1例21.1多期模型考察股价变动的两期二叉树：多期模型

为了在多期二叉树中计算期权的价值，我们从二叉树的末端开始，向后倒着进行。在时点2，期权到期，它的价值就等于内在价值。在本例中，如果股价上升至60美元，看涨期权的价值为10美元，否则期权的价值为零。多期模型

多期模型

下面来确定在时点1每种可能状态下的期权价值。

如果在时点1，股价上升至50美元，二叉树表示如下：期权的价值为6.13美元。（正如单期模型中示例一样）多期模型

下面来确定在时点1每种可能状态下的期权价值。

如果在时点1，股价下跌至30美元，二叉树表示如下：期权的价值为0美元，因为在两种状态下，期权都是没有价值的。多期模型

最后一步是确定在时点0每种可能状态下的期权价值。

解得D

和B:

多期模型

最后一步是确定在时点0每种可能状态下的期权价值。

因此，期权的初始价值等于：多期模型

动态交易策略通过由基础股票和无风险债券构成的投资组合的动态交易来复制期权的支付，这种复制策略称作动态交易策略。多期模型

动态交易策略在上面两期的例子中，复制组合需要在每一期的期末进行调整。开始时，买入0.3065股股票，并且借入8.67美元的债务如果股价下跌至30美元，股票价值为9.20美元，债务增加到9.20美元。30×0.3065=9.20美元

，

8.67×1.06=9.20美元复制组合的净值为零，可以清算这一组合。多期模型

动态交易策略如果股价上涨至50美元，则组合的净值将增加到6.13美元。复制组合中新的股票数量D为0.5。因此，必须再买进0.1935股股票。0.50−0.3065=0.1935额外借款以支付购买股票的价款。0.1935×50=9.67美元最终债务总额为18.87美元。8.67×1.06+9.67=18.87美元这与早先计算的价值相等。例21.2例21.2例21.2模型的现实化尽管向上或向下的二元变动并非股价的年度甚至日变动方式，通过缩短每一时期的时间长度，进而增加股价二叉树的时期数，就可构造出更现实的股价变动模型。图21.2股价的二项式变动路径21.2布莱克－斯科尔斯期权定价模型布莱克－斯科尔斯期权定价模型当股票可以持续交易时欧式期权的定价技术。将每一期的时间长度缩短至零，将时期数扩展为无穷大，可以基于二项式期权定价模型推导出布莱克－斯科尔斯期权定价模型。布莱克－斯科尔斯公式不支付股利股票的看涨期权的布莱克－斯科尔斯价格在上式中，S表示股票的当前价格，

K表示期权的执行价格，

N(d)

表示累积正态分布累积正态分布即正态分布变量不超过特定值的概率布莱克－斯科尔斯公式

在上式中，s表示年波动率，T表示期权距到期日的年数图21.3正态分布布莱克－斯科尔斯公式

注:布莱克－斯科尔斯公式仅要求5个输入变量股票价格执行价格行权日期无风险利率股票的波动率例21.3表21.1捷蓝股票期权的报价例21.3替代示例21.3问题假定：CLW公司不支付股利。CLW股票每年的标准差为45%。

无风险年利率为5%。CLW股票当前价格为24美元。根据布莱克－斯科尔斯公式，执行价格为30美元、½年期的CLW股票的美式看涨期权的价格是多少？替代示例21.3(cont’d)图21.42009年12月到期、执行价格为6美元的捷蓝航空股票看涨期权在2009年7月24日的布莱克－斯科尔斯价值布莱克－斯科尔斯公式

欧式看跌期权由卖权－买权平价公式，欧式看跌期权的价值为：不支付股利股票的欧式看跌期权的布莱克－斯科尔斯价格例21.4例21.4替代示例21.4问题假定：CLW公司不支付股利。CLW股票每年的标准差为45%。

无风险年利率为5%。CLW股票当前价格为24美元。根据布莱克－斯科尔斯公式，执行价格为30美元、½年期的CLW股票的美式看跌期权的价格是多少？替代示例21.4(cont’d)图21.52010年1月到期、执行价格为5美元的捷蓝航空股票看跌期权在2009年7月24日的布莱克－斯科尔斯价值布莱克－斯科尔斯公式

支付股利的股票如果PV(Div)

表示在期权到期日前发放的股利的现值，那么：Sx表示排除支付的股利之后的股票价格。布莱克－斯科尔斯公式

支付股利的股票欧式看涨期权表示购买不支付股利股票的权利，根据布莱克－斯科尔斯公式，用Sx代替S，可对这种期权进行定价。布莱克－斯科尔斯公式

支付股利的股票一个特殊情形是，所支付的股利与股利支付当时的股价成比例。如果用q表示直到期权到期日之前的（复利）股利收益率，则有：例21.5例21.5例21.5替代示例21.5问题FPA公司当前股价为每股42.40美元，公司将为它的股票支付6%的年度股利。假设FPA股票的标准差为25%，无风险利率为4%，那么执行价格为40美元、1年期看涨期权的价值是多少？替代示例21.5解答用股利对股价进行调整，就可以用布莱克－斯科尔斯公式得出看涨期权的价格：那么，隐含波动率布莱克－斯科尔斯公式所要求的5个输入变量中，只有一个参数s是不可直接观测的。在实践中通常使用两种方法来估计参数s的数值。使用历史数据“倒推”出隐含波动率隐含波动率与基础资产的期权报价相一致的资产回报率的波动率例21.6例21.6复制组合假定：二项式模型中的期权价格那么：看涨期权的布莱克－斯科尔斯复制组合复制组合

期权德尔塔(D)它是在股价变化1美元时引起的期权价格的变化量。期权复制组合中股票的数量。注:因为D总是小于1，所以看涨期权价格的变化总是小于股价的变化。例21.7例21.7图21.6例21.7中的看涨期权的复制组合复制组合

注:看涨期权的复制组合总是由股票的多头和债券的空头构成的。复制组合就是股票的杠杆头寸。股票的杠杆头寸比股票本身的风险要高，这就意味着贝塔为正的股票的看涨期权的风险，要比基础股票本身的风险更高，因而看涨期权具有较高的回报率和较高的贝塔。复制组合

看跌期权的复制组合计算如下：看跌期权的布莱克－斯科尔斯复制组合注:看跌期权的复制组合总是由债券的多头和股票的空头构成，这意味着贝塔为正的股票的看跌期权的贝塔为负。21.3风险中性概率如果所有市场参与者都是风险中性的，那么所有的金融资产（包括期权）都将具有相同的资本成本——无风险利率。风险中性的两状态模型设想一个只有风险中性投资者的世界，考虑最初的的两状态例子。股票的现价为50美元。经过1期后，股价或者将上涨10美元，或者将下跌10美元。1期的无风险利率为6%。风险中性的两状态模型

如果r

表示股价将要上涨的概率，那么(1–r)就表示股价将要下跌的概率。股票在今天的价值一定等于，下一期的期望价格以无风险利率折现后的现值。求解，得到r=0.65风险中性的两状态模型

看涨期权的执行价格为50美元，在到期日，期权的价值要么为10美元，要么为零。期权的期望支付的现值为：风险中性的两状态模型

这恰好等于通过二项式期权定价模型计算出的结果，不过在那里我们并没有假设投资者是风险中性的。在应用二项式模型或布莱克－斯科尔斯公式计算期权价格时，不需要对投资者的风险偏好做出假设，对于任何偏好集合，包括风险中性投资者，模型都一定是奏效的。风险中性世界的含义无论实际的投资者风险偏好和期望股票回报率如何，二项式模型和布莱克－斯科尔斯模型都将给出相同的期权价格。在现实世界中，投资者是风险厌恶的，要求正的风险溢价以补偿承担的风险，然而在假想的风险中性世界中，投资者不要求风险补偿。风险中性世界的含义

换句话说，

r并非股价上涨的实际概率。而是代表着该如何调整实际概率，以使股价与风险中性世界中的股价保持一致。风险中性世界的含义

风险中性概率假定所有投资者都是风险厌恶的，与当前证券价格相一致的未来状态的概率。

r

和(1−

r)称作风险中性概率。也被称作状态依存价格、状态价格或者鞅价格风险中性世界的含义

假设上述例子中股票的现价为50美元，股价上涨到60美元的真实概率为75%，下跌到40美元的真实概率为25%。风险中性世界的含义

股票的真实期望回报率为：给定无风险利率为6%，股票的风险溢价为4%。但是，正如先前所计算的那样，股价将上涨的风险中性概率为65%，这小于真实概率。因此在风险中性世界中，股票的期望回报率为6%。(60×

0.65+40×

0.35)∕50−1=6%风险中性世界的含义

要确保风险中性世界中的所有资产都具有相当于无风险利率的期望回报率，那么相对于真实概率，风险中性概率必然要加大差的状态的概率，减低好的状态的概率。风险中性概率与期权定价再次考虑一般的股价二叉树。计算风险中性概率，使得股票的期望回报率等于无风险利率：风险中性概率与期权定价

求解上式，得到风险中性概率r为：根据风险中性概率，计算期权的期望支付，再以无风险利率对期权的期望支付折现，从而计算期权的价值。例21.8例21.8例21.8风险中性概率与期权定价

衍生证券现金流仅取决于其他可交易资产的价格的证券风险中性世界中的概率可用来对任何衍生证券定价。风险中性概率与期权定价

蒙特卡罗模拟一种对衍生资产定价的常用技术。首先模拟基础股票价格变动的随机路径，然后计算衍生证券的平均支付，再据以估计出衍生证券的期望支付。在股价随机运动的模拟中，使用了风险中性概率，所以可以用无风险利率对平均支付折现，据以估计出衍生证券的价值。21.4期权的风险和回报率要计量期权的风险，就必须计算期权的贝塔。这个可以通