苏科版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思

苏科版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思第5章二次函数5.1二次函数【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度与价值观】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.多媒体课件.问题1如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？一、思考探究，获取新知探究1全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.探究2思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.二、典例精析，掌握新知

例1当m取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是关于x的二次函数？并求出这时二次函数的解析式.

【解】由题意，得∴m=3.∴当m=3时，该函数是二次函数，解析式为：y=（32+3）x32-2×3-1+（3-5）x+32，即y=12x2-2x+9.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x2;(3)y=-2x+1;(4)y=1-3x2.2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵是y关于x的二次函数.∴m+1≠0且m2+1=2,∴m≠-1且m2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30)即y=-3x2+252x-4860由此可知y是x的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.二次函数定义一般形式特殊形式布置作业：从教材“习题22.1”中选取.1.本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.2.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.5.2二次函数的图像和性质（1）教学目标：能归纳总结y＝ax²（a≠0）的图像性质；体会用类比方法研究数学问题，实现“探索——经验——运用”的思维过程．教学重点：归纳总结y＝ax²(a≠0)的图像性质．教学难点：获得利用图像研究函数性质的经验．教学过程：一、复习1.根据的图象和性质填表：函数图像开口对称轴顶点增减性向上（0,0）当时，随的增大而减少.当时，随的增大而.直线当时，随的增大而减少.当时，随的增大而.2.抛物线的对称轴是，顶点坐标是；取任何实数，对应的值总是数；当时，抛物线上的点都在轴的上方.3.抛物线的开口向；除了它的顶点，抛物线上的点都在轴的方，它的顶点是图象的最点；取任何实数，对应的值总是数.4.点A（-1，-4）在函数的图象上，点A在该图象上的对称点的坐标是.二、新授1、引入画一画．请在坐标系中画出函数和、和图像．想一想．这四个图像各有什么特征？2、归纳．二次函数y＝ax²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．学生画图像，并思考这四个图像各有什么特征．（1）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．（2）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点．通过画图复习回顾二次函数图像的形成过程，为下面提炼总结y＝ax²(a≠0)的图像性质打下基础．3、想一想．观察y＝ax²的图像，你还能发现什么？如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？四、课堂小结：（1）a＞0时，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y的值最小，最小值是0．（2）a＜0时，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y的值最大，最大值是0．1．学生观察y＝ax²的图像，总结：a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升．a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降．2．学生用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降：a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x＜0时，随着x增大y减小．a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x＜0时，随着x增大y增大．通过观察四个函数的图像，归纳总结出y＝ax²（a≠0）的图像性质，培养学生运用“特殊到一般”总结规律的数学思想．五、课堂练习快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．（1）y＝－3x²；（2）y＝0.6x²；（3）y＝0.75x²；（4）y＝－100x²．学生利用y＝ax²（a≠0）的图像与性质回答所给函数的相关性质．通过说函数的性质进一步加深对函数y＝ax²（a≠0）的图像性质的认识．1、练一练例1已知函数是二次函数且其图像开口向下，（1）求m的值和函数解析式．（2）x在什么范围内，y随x的增大而增大；y随x的增大而减小．解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．例2函数y＝y＝ax²（a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b)，求：（1）a与b的值．（2）求抛物线y＝ax²的解析式，并求顶点坐标和对称轴．解：（1）将A(1，b)代入y＝2x－3，得：b＝－1；将A（1，－1）代入y＝ax²（a≠0），得：a＝－1．（2）抛物线：y＝－x²；顶点（0，0）；对称轴：y轴．通过两个典型例题加强学生对函数y＝ax²（a≠0）图像性质的认识．六、课堂总结在本节课中：我学到了什么？我还有什么疑问？答：a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x＜0时，随着x增大y减小．a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x＜0时，随着x增大y增大．5.2二次函数的图像和性质（2）教学目标：1．会用描点法画函数y＝ax2＋k和函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的图像；2．能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；3．能根据图像认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质；4．体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．教学重点：从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函[数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．教学难点：从二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的异同从中体会它们之间的关系．教学过程：一、自主先学：你还记得二次函数y＝x2的图像是怎样的吗？二、合作互学：那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？活动一：画图与观察1．填表：画函数y＝x2和y＝x2＋1的图像。x…－3－2－10123…y＝x2……y＝x2＋1……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像；3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？（3）根据图像，你能得出函数y＝x2＋1的图像的性质吗？4．猜想：函数y＝x2－2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y＝x2－2的图像有哪些性质？总结与归纳思考：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？活动二：观察与思考1．填表：画函数y＝x2和y＝(x＋3)2的图像．x…－3－2－10123…y＝x2……x…－6－5－4－3－2－10…y＝(x＋3)2……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2与函数y＝(x＋3)2的图像；3．观察：（1）从表格的数值看：函数y＝(x＋3)2与函数y＝x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝(x＋3)2的图像与y＝x2的图像的位置有什么关系？（3）根据图像，你能得出函数y＝(x＋3)2图像的性质吗？4．猜想：函数y＝(x－1)2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y＝(x－1)2的图像有哪些性质？总结与归纳思考：（1）由上面的例子，函数y＝a(x＋m)2的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？[（2）函数y＝a(x＋m)2有什么性质？三．检测评学课本练习：课本15页练习，20页习题5.2第4、5题；补充如下：将函数y＝2x2－2的图像先向___平移___个单位，就得到函数y＝2x2的图像，再向___平移___个单位得到函数y＝2(x－3)2的图像．二次函数y＝－3(x＋4)2的图像开口_____，是由抛物线y＝－3x2向___平移___个单位得到的；对称轴是_________，当x＝_____时，y有最______值，是______．将二次函数y＝6x2的图像向右平移1个单位后得到函数___________的图像，顶点坐标是_____，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小．四、践行活学：1.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是；2.将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是；五、课堂小结：这节课你学到了什么？还有哪些困惑？请与同学分享！六、布置作业：1.《导学案》；2.（选做）《补充习题》。板书设计：二次函数的图像与性质（2）自主先学合作互学5.2二次函数的图像和性质（3）教学目标:1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。重点难点：重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－eq\f(b,2a)、(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))是教学的难点。教学过程：一、提出问题1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)的图象，进而观察得到这个函数的性质。说明：列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2三、做一做1．请你按照上面的方法，画出函数y＝eq\f(1,2)x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋eq\f(b,a)x)＋c＝a[x2＋eq\f(b,a)x＋(eq\f(b,2a))2－(eq\f(b,2a))2]＋c＝a[x2＋eq\f(b,a)x＋(eq\f(b,2a))2]＋c－eq\f(b2,4a)＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。[对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))四、课堂练习1．填空：(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；(2)抛物线y＝2x2－2x－eq\f(5,2)的开口_______，对称轴是_______；(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；(4)抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋4的对称轴是_______；(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x(3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝eq\f(1,2)x2－4x＋34．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质[五、课堂小结通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？[5.3用待定系数法确定二次函数表达式教学目标：1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．教学重点：会用待定系数法求二次函数的表达式．教学难点：会选用适当方法求二次函数的表达式．一、课前专训1．二次函数关系式有哪几种表达方式？2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？二、新知活动一：由一般式确定二次函数的表达式．例1：已知二次函数的图像经过点,求的值．例2：已知二次函数的图像经过点和,求的值．例3：已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．归纳总结．求二次函数的表达式，关键是求出待定系数的值，由已知条件列出关于的方程或方程组，并求出就可以写出二次函数的表达式．要求：通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．总结方法时，让学生明确解题方法及规范解题过程．活动二：由顶点式确定二次函数的表达式．例4已知抛物线的顶点为，与y轴交点为，求抛物线的表达式．方法一：设抛物线的表达式为，函数图像经过点，得．解得．所求的抛物线表达式为．方法二：由抛物线的顶点为，与y轴交点为，得解得．所求的抛物线表达式为．学生可能还会有不同于以上解法的其他解法，教师可给予鼓励．归纳总结．当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式，将h，k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．要求：1．使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求函数关系式．2．通过对比，让学生感受到适当选择函数表达式求解的便捷之处．3．总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．三、小结：1．已知图像上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式．2．已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．四、练习1、根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：（1）．已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．（2）．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的表达式．拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式5.4二次函数与一元二次方程一、学习目标：1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。2、理解二次函数的图象与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。3、进一步体验数形结合的数学方法。二、教学重点：二次函数与一元二次方程关系三、教学难点：理解二次函数与一元二次方程关系，关键能数形结合。四、教学过程：（一）思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？3、结论：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。反过来也成立。4、观察与思考：观察下列图象：（1）观察函数y=x2-6x+9与y=x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；（2）判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（二）归纳提高：一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：1、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=,x2=.2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=x2=.3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0实数根.反过来，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。当Δ=>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；当Δ==0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；当Δ=<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点.(三)巩固拓展：1、不画图象，你能说出函数y=-x2+x+6与x轴的交点坐标吗？2、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，说明理由.（1）y=x2-x；(2)y=-x2+6x-9；(3)y=3x2+6x+11.3、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.（四）随堂练习：1、方程的根是；则函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．2、方程的根是；则函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（）（五）应用：1、打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：y=-5x2+20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？2、当一枚火箭竖直向上发射时。它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h=-5t2+150t+10表示，经过多长时间，火箭到达发射的最高点？最高点的高度是多少？5.5用二次函数解决问题（1）教学目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：x35911y[181462（1）在所给的直角坐标系甲中：①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结：本节课我们学习了什么？5.5用二次函数解决问题（2）教学目标：会运用二次函数的有关知识求面积问题中的最大值或最小值；在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．教学重点：列出关系式，运用二次函数求面积问题中的最大值或最小值．教学难点：分析题意，将现实生活中的相关问题转化为二次函数问题，列出关系式．教学过程：一、课前专训二、情境创设用16m长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？要求、进入状态，兴致盎然．在老师的引导下思考并完成．给学生展现一个感兴趣的情境，激发学生学习数学的欲望．三、问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田才能使总收益最大？分析：如果今年多承租x亩稻田，那么新承租的稻田共收益（440－2x）x元．1．独立思考后尝试解答，并各组派代表展示．2．用二次函数求实际问题的最值一般要经历哪些步骤？让学生独立经历如何把应用题转化为数学上的函数关系式，让他们在解答过程中体会解决过程．问题二：某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000kg．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg.应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？分析：若向鱼塘里再投放鱼苗x千尾，则鱼塘里共有鱼苗(10＋x)千尾，每千尾鱼的产量为(1000－50x)kg．1．独立解答后分组交流．2．全班交流．3．解题过程中有什么困难，解决得如何？让学生独立经历如何把应用题转化为数学上的函数关系式，让他们在解答过程中体会解决过程．练一练四、同步练习1．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？2．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图像．在老师的引导下思考：1．总利润＝单利*数量2．单利＝售价－进价通过学生独立解答，相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．五、课堂小结本节课主要学习如何用二次函数来解决现实问题中出现的一些最优化的问题，如求最好、最近、最多等．解决此类问题的关键在于把现实问题转化为数学中的二次函数，也就是根据题意写出正确的函数关系式，然后运用配方法或者公式法来解出函数的最大值或最小值．说说这节课主要的学习思路．总结用二次函数解决实际问题的一般思路，为以后解决类似问题打下伏笔．5.5用二次函数解决问题（3）教学目标：建立适当的将生活中呈抛物线建筑的有关问题数学化平面直角坐标系；体验由函数图像确定函数关系，进而解决有关实际问题的过程和方法．教学重点：理解题意，建立适当的将生活中呈抛物线形建筑的有关问题数学化平面直角坐标系；教学难点：体验由函数图像确定函数关系，进而解决有关实际问题的过程和方法．教学过程：问题一：（1）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？桥孔分析：解决这个实际问题，先要数学化——建立平面直角坐标系，将抛物线的桥孔看作一个二次函数的图像．（2）一艘装满防汛器材的船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m．当水位上升1m时，这艘船能从桥下通过吗？在老师的引导下思考：1．新建立的平面直角坐标系怎么用简练的语言表达？2．建立的方法有几种？哪种最简单？给学生一个现实的问题，激发学生学习数学的欲望．跟踪训练闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径36m，拱高约8m．试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数解析式．积极思考，独立解答后互相讨论，由几位代表回答．建立模型．让学生解决相近的问题，容易让学生独立完成，树立学习信心．通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．练一练1．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．2．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

1．独立解答后分组交流．2．全班交流．（1）解题过程中有什么困难，解决得如何？（2）通过解决这3个问题你有什么经验体会？三个问题有一定的难度，在独立解答结束后，为缓解学生紧张，调节学生心理，设计交流和谈心得的环节，让他们深度思考后在较轻松的氛围中归纳总结，畅所欲言，以提高课堂效率，保持对学习的热情．师生小结：说说这节课主要的学习思路．总结用二次函数解决实际问题的一般思路，为以后解决类似问题打下伏笔．作业：1.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?2.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为O.9米，身高为1.4米的小丽离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t自由取值范围。3．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。板书设计：问题一河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？6.1图上距离与实际距离教学目标1．结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；2．理解并掌握比例的性质；3．通过对实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，增强用数学的意识．教学重点了解线段的比和成比例的线段．教学难点比例的性质、运算及应用．教学过程（教师）学生活动设计思路·备注活动引入活动一：1．请量出课桌的长与宽的长度，精确到1cm．2．请写出长与宽的比．3．请写出长与宽的比值．4．思考：“比”与“比值”的异同．1．同桌合作，一人量数据，一人记录．2．思考：“比”与“比值”的异同．根据小学学过的知识，再通过活动中的观察与思考激发学生的好奇心和求知欲望．活动二：1．请量出书本的长与宽的长度，精确到1cm．2．请写出长与宽的比．3．请写出长与宽的比值．4．观察：课桌长与宽的比值与书本的长与宽的比值相等吗？同桌合作，一人量数据，一人记录．用学生熟悉或亲身体验过的事例吸引他们的注意力，并用问题的形式引导他们思考，为下面教学内容做好衔接．活动三：阅读课本P40的尝试与交流，回答问题：1.什么叫“成比例线段”？2.两幅江苏省地图中南京与徐州，南京与连云港的4条线段成比例吗？为什么？1.活动一、活动二中4条线段成比例吗？为什么？阅读、思考，总结“成比例线段”的定义．有了前两个活动的实践基础，产生疑问，上升到理论思考，理论阅读，寻求答案，符合学生的学习探索规律．思考与探索1．书P40-41的1，2．回答问题：你是怎么判断的？2．思考：（1）如果a＝1cm，b＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？（2）如果a＝1cm，b＝2cm，c＝2cm，d＝4cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？（3）如果a＝1cm，b＝6cm，c＝2cm，d＝3cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？3．（1）a、b、c、d成比例与a、b、d、c成比例一样吗？（2）b是a、c的比例中项，则满足什么条件？教师给出变式例题，并通过问题串的方式鼓励学生发现并解决问题．设计了3个练习主要体现在：1．巩固成比例概念；2．引出比例中项；3．注意线段成比例是有顺序的．例题点评P41例1．问题：（1）请解读“比例尺”的意思．（2）做此类题目的依据是什么？（3）解答此类题目需要注意哪些事项？P41例2．问题：（1）此类方法还可以用在什么类型的题目中？BCBCEAD补充例3．如图：，AD＝15，AB＝40，AC＝28．求AE的长．解决问题的同时思考总结方法．1．在平时的教学中渗透学习不仅仅局限在会做题，也要会方法总结并给予知识迁移．2．补充比例线段在图形中的应用，增强学生识图能力．课堂小结1．成比例线段、比例中项定义．2．怎么看待地图中的比例尺？3．你还想了解什么？请学生对以上问题先思考，再交流，师生共同小结．通过教师引导，学生反思、归纳、总结所学内容．收获的学习方法是数学的应用思想与动手操作的方法．师生互动，总结学习成果，体验成功．6.2黄金分割学习目标：1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活的各个领域有价值的运用；2、会找一条线段的黄金分割点；3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系；4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识；教学重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义；教学难点：怎样作一条线段的黄金分割点。课前预复习：阅读教材P44～P45内容。一、复习：前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？ABABCCCBA1、P44欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；3、2134观察P45“你最喜欢的矩形”2134三、让我们一起来探究并解决问题吧：1、探索活动：ACB活动一、计算（或）的值，引入黄金分割的概念。ACB把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）解：设AC＝x，AB＝1，则由AC2＝BC·AB得：x2＝（1—x）·1，∴x2+x—1＝0，∴x2+x+＝，∴（x＋）2＝，∴……，∴，又∵＜1，∴x＝≈0.618BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？AABCDABCDEF活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）ACBD1、作顶角为36°的等腰ACBD2、分别量出底边BC与腰AB的长度；3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？大约是0.618所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：（1）；（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；ABHFGNMEDC（3）如再作∠ABHFGNMEDC活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，（1）找出图中的黄金三角形；（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……………例题讲解：例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______oC(精确到1oC)。例3、如图，点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则AC2＝________；（结果保留根号）例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽等于_________；（结果保留根号）课后练习：一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A．12．36cmB．13．6cmC．32．36cmD．7．64cm2．一条线段的黄金分割点有()A．1个B．2个C．3个D．无数个3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC．如果，那么下列说法错误的是()A．线段AB被点C黄金分割B．点C叫做线段AB的黄金分割点C．AB与AC的比叫做黄金比D．BC与AC的比叫做黄金比4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0．618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高的比值是0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm5．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01m，参考数据：，，)是()A．0．62mB．0．76mC．1．24mD．1．62m二、填空题6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．7．如图，若点C是AB的黄金分割点．AB=1，则AC≈_______，BC≈______．8．在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10cm．则AD≈_________cm．9．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(ParthenomTemple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6m，则这个黄金矩形的宽约为________m(精确到0．1m)．三、解答题10．若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少?11．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台AB的长为20m，那么主持人应走到离点A多少米处时才是比较得体的位置(精确到0．1m)?12．如果在一个矩形ABCD(AB＜BC)中，，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFF(如图所示)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明理由．6.3相似图形教学目标：1．了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中找出相似图形；2．理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；3．通过已有的生活经验进行数学活动，让学生在活动中经历探索图形相似的基本概念、基本性质的过程，体验相似图形与现实世界的密切联系，体会相似与全等之间的内在联系．教学重点：理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念．教学难点：理解“对应边成比例”，能够通过概念判断相似三角形．教学过程：一．复习：1．什么是全等图形？2．全等图形的性质有哪些？二．引入新课：请同学们欣赏几幅图片．这几幅图片有什么共同特征？这些图片和老师计算机上的图片有什么关系？在生活中我们还在哪里见过有类似关系的图形或图片？1．欣赏图片，同桌交流；2．思考：生活中哪里还有类似关系的图形或图片．通过平时课堂中学生熟悉的相似图形引入课题，再对课本中几组图形观察、思考，找出相似图形的特征：“形状相同的图形是相似图形”．三．探索活动：活动一：下图（1）中的两个正三角形“形状相同”，它们的边和角有怎样的数量关系？图（2）中的两个“形状相同”的三角形呢？CCBAA′A′AB′BB′CC′C′（1）（2）小组合作，分别量数据，一人记录，共同比较数据，初步发现两“形状相同”的三角形的关系．活动二：下图（1）中的两个正方形“形状相同”，它们的边和角有怎样的数量关系？图（2）中的两个“形状相同”的四边形呢？CCBAA′A′AB′BB′CC′C′（1）（2）DD′DD′小组合作，分别量数据，一人记录，共同比较数据，再次感受发现两“形状相同”的四边形的关系．活动三：下图（1）中的两个矩形“形状相同”吗？图（2）中的两个菱形呢？CCBAA′A′AB′BB′CC′C′（1）（2）DD′DD′60°30°思考：“形状相同”的两个图形具有怎样的特征呢？独立完成测量，进行比较，在充分的活动经验的基础上进行数学的思考．在这两组图形的比较过程中再次感受“边、角”两个元素的重要性，只考虑边的关系不能说明“形状相同”，只考虑角的关系也不能说明“形状相同”，可利用反例加深认识．新知：1．形状相同的图形叫做相似形。2．各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形。3．相似多边形的对应角相等，对应边成比例。4．相似多边形的对应边的比叫做相似比。五．例题：例1若下图中△ABC∽△A′B′C′．你能求出∠α的大小和A′C′的长吗？例2小明说，若已有△ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，所形成的△ADE必与△ABC相似．（1）你认同他的说法吗？为什么？（2）取BC的中点F，连接DF、EF，△DEF与△ABC相似吗？为什么？解决问题的同时思考总结方法．1．在平时的教学中渗透学习不仅仅局限在会做题，也要会方法总结并给予知识迁移．2．补充比例线段在图形中的应用，增强学生识图能力．六．同步练习：1．下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形C．两个长方形D．两个正方形2．若△ABC∽△A′B′C′，且，则△ABC与△A′B′C′相似比是，△A′B′C′与△ABC的相似比是．3．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠α、∠β的大小和A′D′的长．学习小组自查．检测学生对本节课知识的掌握程度，考查学生解决问题的实际应用能力，又让学生在实践中体验“学以致用”的道理．七．课堂小结：1．什么是相似图形？2．两相似图形之间有怎样的关系？（数量关系？位置关系？）3．对于相似三角形，你还想了解什么？请学生对以上问题先思考，再交流，师生共同小结． 6.4探索三角形相似的条件（1）教学目标： 1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论．教学难点：成比例的线段中对应线段的确定．教学过程：活动一：如图，画三条互相平行的直线l1、l2、l3，再任意画2条直线a、b，使a、b分别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和点D、E、F．baba 探索新知：活动一：提出问题（1）度量所画图中AB、BC、DE、EF的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？（2）如果任意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的长度．这些比值还相等吗？abababab活动二：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系？问题1：的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答． 得出结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．尝试交流：1．如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？ 2．如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来． 拓展延伸如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC．（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____． 课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？ 6.4探索三角形相似的条件（2）教学目标：1．探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法；2．运用三角形相似解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．教学难点：1．“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法的探究证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程：回顾思考：1．判定两个三角形全等有哪些方法？2．如果要判定两个三角形是不是相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3．我们学过哪种判定三角形相似的方法？ 探索新知：如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？提出问题：（1）如图，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，那么第一个三角形与第二个三角形全等吗？为什么？如图，如果∠A＝∠E，∠B＝∠F，2AB＝EF，那么第一个三角形与第三个三角形相似吗？如果把2AB＝EF改为3AB＝EF呢？ 创设情境，引导学生积极思考，小组合作，带领学生画图探究．关于三角形相似的判定“两角对应相等的两个三角形相似”的证明尽量通过两种方法，培养学生合情推理和说理的能力． 通过操作使学生感悟到只要满足∠A＝∠E，∠B＝∠F的条件，两个三角形就能相似．两种方法的证明培养学生合情推理和说理的能力．得出结论:两角分别相等的两个三角形相似．尝试交流:例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高．找出图中所有的相似三角形．练习1、判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）所有的等腰三角形都相似．()（2）所有的等腰直角三角形都相似．()（3）所有的等边三角形都相似．()（4）所有的直角三角形都相似．()（5）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似．()（6）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似．()练习2、如图，在△ABC中BD⊥AC，AE⊥BC，图中一定和△BDC相似的三角形有几个?它们分别是哪些三角形？拓展延伸:过△ABC（∠C＞∠B）的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来． 课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？ 6.4探索三角形相似的条件（3）教学目标: 1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点:掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．教学难点:1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明；2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程:回顾思考:我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，．能判断△ABC与△A'B'C'相似吗？提出问题：如果把换成其他数值，再试一试．已知：，∠A＝∠A'．求证：△ABC∽△A'B'C'．关于三角形相似的判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到判断三角形相似的条件． 得出结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 尝试交流1．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，要使△ABC∽△DEF，需要添加什么条件？ 2．如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？有哪些判断方法？3．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm．（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD∽△ABC；（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝时，△AEB∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？拓展延伸有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A、B间的距离，你能利用本节所学的知识解决这个问题吗？ 课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问 6.4探索三角形相似的条件（4）教学目标:1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题；2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程．教学重点:掌握“三边成比例的两个三角形相似”．教学难点:1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程:（1）判定两个三角形全等有哪些方法？（2）如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？（3）我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:由三角形全等的SSS判定方法，我们想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？提出问题：如何证明这个命题是真命题？关于三角形相似的判定方法“三边成比例的两个三角形相似”，得出结论:三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似． ，试说明∠BAD，试说明∠BAD＝∠CAE.如图已知AEACDEBCADAB1． 2．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？3．根据下列条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．题2也可以用判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．拓展延伸:要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？ 课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？ 6.4探索三角形相似的条件（5）教学目标:1．理解黄金三角形、三角形重心的概念；2．运用黄金三角形、三角形重心的结论解决实际问题．教学重点:对黄金三角形、三角形重心的理解．教学难点:三角形三条中线相交于一点的证明．教学过程:回顾思考:1．如何判定两个三角形是否相似？2．什么叫黄金分割？ 探索新知:1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．（1）△ABC与△BDC相似吗？为什么？（2）判断点D是否是AC的黄金分割点，并说明理由．2．如何证明三角形的三条中线相交于一点？ 题2也可以用面积法证．假设中线CF与BE相交于点G，延长AG与BC相交于点D，可证△AFG、△BFG、△AGE、△CGE面积都相等，再证△BDG与△DCG面积相等（同底等高三角形），推出BD＝DC，即D是BC的中点．得出结论：1．我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形．黄金△ABC它具有如下的性质：（1）；（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形．2．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍． ABABHFGNMEDC1．如图，正五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等．（1）找找看，图中是否有黄金三角形？（2）点F分别是哪些线段的黄金分割点？2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AD与中线BE相交于点G，AD＝18，GE＝5，求BC的长．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.5相似三角形的性质（1）教学目标1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题．2．发展学生合情推理和有条理的表达能力．教学重点理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．教学难点能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理．教学过程（教师）学生活动设计思路旧知回顾如图，△ABC∽△A′B′C′，你能得到什么？BBBBCAA′B′C′积极思考，回答问题——大多数学生会运用所学知识发表自己的观点：∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，．即对应角相等、对应边成比例．引导学生回忆相似三角形的相关内容，为学习新知识铺垫．CACABFDE如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？（2）这两个三角形的相似比是多少？（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？观察、思考，运用三角形相似的判定方法得出△DEF与△ABC相似，并运用对应边的关系得出△DEF与△ABC相似比为，△DEF的周长与△ABC的面积比为．用类似的方法可以解决变式后的问题．通过特殊问题的研究，发现两个相似三角形的周长比与面积比的规律，得出猜想．继续取△DEF的各边中点M、N、P，得到下图．（1）△MNP与△ABC相似吗？为什么？（2）这两个三角形的相似比是多少？（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？通过建模，培养学生的归纳能力．推理猜测根据刚才的探究，你有什么猜想？1．相似三角形周长的比等于相似比．2．相似三角形面积的比等于相似比的平方．CACABEDFMNP观察、思考、感悟得出相似三角形的周长比与面积比的规律．经历探究——感悟——猜想的过程．A′A′AC′C′B′CB′CB如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么，于是，，，所以，如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．学生运用所学知识对刚才的猜想进行说理证明．小组合作、师生合作相结合，培养学生有条理的思考、说理的能力．AA′AA′BCC′BCC′B′DD’DD’∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠B′，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝k，学习小结1．相似三角形周长的比等于相似比．2．相似三角形面积的比等于相似比的平方．类似的，我们还能得到：1．相似多边形周长的比等于相似比．2．相似多边形面积的比等于相似比的平方．根据之前的猜想、证明，得出结论．师生互动，培养学生归纳、总结和有条理的表达能力．6.5相似三角形的性质（2）教学目标1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2．会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比．教学难点利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题．教学过程（教师）学生活动设计思路回顾旧知如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是2:3，则△ABC与△A’B’C’的面积比是多少？你的依据是什么？AAA′B′BCC′C′回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？运用上节课的知识解决问题．引导学生回忆上节课所学的相似三角形的性质相关内容，为学习新知识铺垫．发现新知相似三角形对应高的比等于相似比．三角形中的特殊线段还有哪些？它们是否也具有类似的性质呢？你有何猜想？总结结论，并猜想三角形中其他的特殊线段所具有的性质．通过已有知识的学习，进行大胆的猜想．提出问题问题一：A′D′B′ABD△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′BA′D′B′ABDC′C′C独立思考后小组交流．问题二：A′ABD△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为kA′ABDB′D′B′D′C′C你能用所学知识有条理地表达理由吗？按照要求，进行观察、对比和思考，尝试说出其中的推理过程．解决问题问题一：C′A′D′B′△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′BC′A′D′B′CCABD∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABD∽△A′B′D′，．运用所学知识进行有条理的说理．小组合作、师生合作相结合，培养学生有条理的思考、说理的能力．问题二：C′A′D′B′CABD△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△C′A′D′B′CABD∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′．∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，，∴∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D，∴．归纳结论相似三角形对应中线的比等于相似比．相似三角形对应角平分线的比等于相似比．一般地，如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，点D、D′分别在BC、B′C′上，且，那么．C′AC′A′D′B′CABD你能类比刚才的方法说理吗？总结：相似三角形对应线段的比等于相似比．根据之前的探究总结出相应的结论并将结论推广到一般情况．师生互动，培养学生归纳、总结和有条理的表达能力．例题精讲如图，D、E分别在AC、AB上，∠ADE＝∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分别是F、G，若AD＝3，AB＝5，求：的值．△ADE与△ABC的周长的比，面积的比．积极思考，