两个计数原理以及排列组合的知识点和题型高二上学期数学(人教B版选择性必修第二册)

两个计数原理以及排列组合的知识点和题型高二上学期数学(人教B版选择性必修第二册)contents目录计数原理基本概念排列组合定义及公式常见题型解析典型例题分析易错点归纳与总结练习题与答案解析计数原理基本概念01定义完成一件事有$n$类不同的方法，在第$1$类方法中有$m_1$种不同的方法，在第$2$类方法中有$m_2$种不同的方法，...，在第$n$类方法中有$m_n$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_1+m_2+...+m_n$种不同的方法。关键点分类时，各类办法中的方法是相互独立的，没有交集。应用场景解决涉及分类的问题，如分组问题、涂色问题等。分类加法计数原理关键点分步时，各步骤中的方法是相互依存的，必须依次进行。定义完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法，...，做第$n$步有$m_n$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_1timesm_2times...timesm_n$种不同的方法。应用场景解决涉及分步的问题，如排列问题、组合问题等。分步乘法计数原理关系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题的基本原理，它们在不同的场景下可以相互转化。区别分类加法计数原理强调“分类”，各类办法中的方法是相互独立的；而分步乘法计数原理强调“分步”，各步骤中的方法是相互依存的。在实际应用中，需要根据问题的具体条件选择合适的计数原理。两者关系与区别排列组合定义及公式02从n个不同元素中取出m（m≤n，m和n都是自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列；所有从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号$A_n^m$表示。排列定义$A_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)=frac{n!}{(n-m)!}$，其中n!表示n的阶乘，即$n!=ntimes(n-1)times(n-2)timescdotstimes3times2times1$。排列公式排列定义及公式从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号$C_n^m$表示。$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，也可以简单理解为从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列数除以m的阶乘，因为m个元素的全排列数为m!。组合定义及公式组合公式组合定义排列与组合的区别排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。即排列是有序的，组合是无序的。排列与组合的联系$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}$，即组合数可以通过排列数除以m的阶乘得到。这是因为从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列中，包含了m个元素的全排列，所以需要除以m的阶乘以得到组合数。排列与组合关系常见题型解析03直接应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理求解的问题。题目类型解题思路示例首先判断题目是属于分类问题还是分步问题，然后应用相应的计数原理进行求解。从5个不同的红球和4个不同的白球中，任取3个球，求取出的3个球中恰有2个红球的概率。030201直接应用计数原理求解问题利用排列数公式$A_n^m$或组合数公式$C_n^m$求解的问题。题目类型首先判断题目是属于排列问题还是组合问题，然后应用相应的公式进行求解。解题思路从10个不同的数字中任取4个数字组成一个四位数，求其中偶数有多少个。示例利用排列组合公式求解问题题目类型解题思路示例复杂问题转化为简单问题求解将复杂问题通过转化思想化为简单问题求解的题型。通过转化思想，将复杂问题化为简单问题，然后应用计数原理或排列组合公式进行求解。有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，ldots，18，20．若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有一面至少被锯掉漆的有多少个?典型例题分析04例题一：涉及分类加法计数原理问题某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是_____.题目本题主要考查古典概型概率的计算，以及分类加法计数原理的应用。首先根据题意，可假设男生甲已被选中，剩下的问题就是在6人中选2人。然后按照分类加法计数原理，分别计算男生乙和女生丙同时被选中、男生乙被选中而女生丙不被选中、女生丙被选中而男生乙不被选中三种情况下的概率，最后将这三种概率相加即可得到答案。分析题目有5本不同的书，分给4个同学，每人至少1本，则不同的分法种数为_____.分析本题主要考查分步乘法计数原理的应用。根据题意，可将问题分为两个步骤：首先从5本书中选出2本作为一组，然后将这一组和剩下的3本书分给4个同学。按照分步乘法计数原理，第一步有C(5,2)种选法，第二步有A(4,4)种分法，因此总共有C(5,2)A(4,4)种不同的分法。例题二：涉及分步乘法计数原理问题VS用0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有_____.分析本题主要考查排列组合的综合应用。根据题意，可分为两类情况讨论：第一类情况是以4为首位数字时，第二类情况是以2为首位数字时。对于第一类情况，由于4已经是偶数且比40000大，因此只需考虑后四位数字的排列情况；对于第二类情况，由于2是偶数但比40000小，因此需要保证千位数字为1、3或4。按照分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分别计算两类情况下的偶数个数并相加即可得到答案。题目例题三：综合应用排列组合知识求解问题易错点归纳与总结05在解决计数问题时，学生有时会忽视对问题进行分类讨论，导致计数结果不准确。例如，在求解具有多种可能性的问题时，需要对每种可能性分别进行计数，然后将结果相加。在解决一些复杂的计数问题时，学生可能会忽视分步计数的原则，即“先选择，后排列”。这会导致他们在计算过程中出错。例如，在求解排列组合问题时，学生需要先确定元素的选择方式，然后再考虑元素的排列方式。忽视分类讨论忽视分步计数忽视分类或分步导致错误排列数公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)$表示从$n$个元素中取出$m$个元素进行排列的种数。学生有时会误用该公式，例如将$A_n^m$与$C_n^m$混淆，或者在计算过程中出错。对排列数公式理解不透彻组合数公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$表示从$n$个元素中取出$m$个元素进行组合的种数。学生有时会误用该公式，例如将$C_n^m$与$A_n^m$混淆，或者在计算过程中出错。对组合数公式理解不透彻对排列组合公式理解不透彻导致错误混淆“有序”与“无序”在排列组合问题中，“有序”与“无序”是两个重要的概念。有序指的是元素之间的顺序有关系，而无序指的是元素之间的顺序无关系。学生有时会混淆这两个概念，导致在解决问题时出错。混淆“排列”与“组合”排列与组合是计数原理中的两个基本概念。排列指的是从$n$个元素中取出$m$个元素进行排列的种数，而组合指的是从$n$个元素中取出$m$个元素进行组合的种数。学生有时会混淆这两个概念，导致在解决问题时出错。混淆不同概念导致错误练习题与答案解析061.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3人代表学校参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是_______．2.将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是_______(结果用分数表示)．3.袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则第6次取出红球的概率为_______；取球4次，设ξ为取得白球的个数，则P(ξ=1)=_______．(结果用分数表示)练习题一：分类加法计数原理应用

练习题二：分步乘法计数原理应用1.7人站成一排，其中甲、乙两人不能相邻的排法种数为_______(用数字作答)．2.5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序排列，则不同的排列方法种数是_______(用数字作答)．3.用数字$0,1,2,3,4,5$组成没有重复数字的数．010204练习题二：分步乘法计数原理应用(1)能组成多少个四位数？(2)能组成多少个四位偶数？(3)能组成多少个能被3整除的三位数？(4)能组成多少个比20134大的四位数？031.某校安排5名同学参加暑期夏令营，共有3类志愿者岗位可供选择，每个同学只能选一类，若每类岗位都有同学参加，则不同的安排方案共有_______种．(用数字作答)3.有5根木棍，其长度分别为2,3,4,5,6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有()A.10个B.8个C.7个D.6个2.5本不同的书，全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是_______．(结果用分数表示)练习题三：综合应用排列组合知识求解问题1.【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型$、$排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．先求出基本事件总数$n=C_{7}^{3}=70$，在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数$m=C_{1}^{1}C_{6}^{2}-C_{4}^{2}=28$，由此能求出在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．答案解析【解答】解：某校高三年级要从$5$名男生和$2$名女生中任选$3$人代表学校参加数学竞赛(每人被选中的机会均等$)$，基本事件总数$n=C_{7}^{3}=70$，答案解析0102答案解析$therefore$在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是$p=frac{m}{n}=frac{28}{70}=frac{2}{5}$．在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数$m=C_{1}^{1}C_{6}^{2}-C_{4}^{2}=28$，01故答案为$frac{2}{5}$．022.【分析】03本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．答案解析先求出将$5$本不同的书全发给$4$名同学的基本事件总数$n=4^{5}$，再求出每名同学至少有一本书包含的基本事件个数$m=C{5}^{2}A{4}^{4}$，由此能求出将$5$本不同