振动分析基础-第一章

结构振动分析StructuralVibrationAnalysis

①惯性定律；

②加速度定律；

③作用与反作用定律。

人类对于物理系统的运动和引起运动的力之间的关系，一直都在进行着研究。从哲学家亚里士多德一直到伽利略和牛顿，才比较正确地阐明了运动的规律。

——

宏观、低速→经典力学。牛顿定律：绪论研究力和运动之间的关系，通常称为动力学。决定着运动的定律

现代工程技术当中，一个非常重要的部分就是分析和预测物理系统的动力行为。而动力性态中一种普遍存在的类型就是振动运动，简称“振动”。

什么是振动：本门课程主要研究内容：

振动是系统在某一个平衡位置附近的来回摆动。讨论系统各种类型的振动问题，并且主要是针对于机械系统的振动进行讨论。一、研究振动问题的方法和途径：

一般来说，物理系统是非常复杂的，分析起来也非常困难。通常，一个物理系统有许多部分组成，而每一部分又都可以作为一个单独的系统。分析这样的系统，通常来说，我们需要先确定组成系统的各个部分，然后确定它们的“物理属性”，而这些决定着系统动力特性的物理属性一般由实验来测定。每个组成部分的物理属性确定以后，就可以建立代表实际物理系统的理想化的数学模型(不唯一)——既能保持真实系统的重要特性，又是最简单的。确认物理系统属性——决定系统动力行为建立数学模型（不唯一）确定一个既保持实际物理系统的重要特性，又是最简单的模型。运用数学工具研究模型分析步骤激励和响应：

“激励”可以表现为初始位移、初始速度、外部作用力等。系统对外界激励所产生的运动，称为该系统的“响应”。系统对初始激励(初始位移、初始速度等)的响应，称为“自由振动”。通常是指弹性系统偏离平衡位置状态后，不再受外界激励的情况；自由振动和强迫振动：响应一般用位移来描述，而较少用速度和加速度描述。系统对外部作用力的响应，称为“强迫振动”。二、振动系统模型的分类：前面所述的系统属性，我们称为系统的“参数”。通常，真实系统都是连续的，所以，它们的参数也都是连续分布的。但在许多情况下，可以用系统的离散特征来代替系统的连续分布特征，从而使问题的分析简化。将连续分布系统进行适当的“集总”，就可以使连续分布系统转化为离散系统。离散系统：用常微分方程来描述，具有有限个自由度数；连续系统：用偏微分方程来描述，具有无限个自由度数。①离散系统和连续系统所以，振动系统可以按照其数学模型分为两种类型：振动系统还可以按照它们的行为进行分类，可以分为另外两种类型：线性系统：

微分方程中，“应变量”只出现一次幂且没有叉积；非线性系统：反之，“应变量”具有高次幂或分数幂。所以，只要观察表示系统的微分方程的形式就可以判断该系统是“线性系统”还是“非线性系统”。但是，有些系统的微分方程中，包含有“自变量”的高次幂或分数幂，这只不过是具有变系数的系统，并不一定是非线性系统。②线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统之间的区分往往是取决于运算的范围，而并不是系统本身所固有的性质。例如：单摆的恢复转矩与

是成比例的，为摆幅。对于较大的摆幅，是的非线性函数，但是对于小的摆幅，可以近似地用表示。所以，对于同一个摆，在小摆幅时，可以看作是线性系统，而在摆幅较大时，则为非线性系统。对于非线性系统，要求有不同于线性系统的数学方法。常参数系统：系统的各个特征参数（系统的质量、刚度、阻尼不随时间的变化而变化，即不是时间的显函数）。可用常系数微分方程描述；变参数系统：系统的特征参数随时间的变化而变化，可用变系数微分方程表示。④常参数系统和变参数系统③确定性系统和非确定性系统确定性系统：

可由时间的确定性函数给出，用确定微分方程来描述；非确定性系统：运动方程无法用时间的确定性函数给出，用随机微分方程来描述。三、振动要解决的问题：

①

振动分析：激励条件和系统属性已知，求系统响应。

实际问题中，往往同时包含着振动分析和振动设计等。

②

系统识别：激励与响应均已知时，来确定系统特性。

③

振动设计：一定激励条件下，来设计系统特性，使响应满足制定的条件。第一章单自由度线性系统的自由振动1.1概述如前所述，振动系统可以按两种不同的数学模型分为“离散系统”和“连续系统”。离散系统具有有限个自由度数，而连续系统具有无限多个自由度数。

自由度：完全描述(确定)一个振动系统运动所需要的独立坐标的个数。在离散系统当中，单自由度的线性系统是最简单的一种，其运动的数学描述为常系数的二阶常微分方程。虽然单自由度线性系统对于一般复杂的振动系统来说好象是过于粗略的近似，但是以后会看到，当采用了“模态(振型)分析”方法以后，许多的线性多自由度离散系统和连续系统的数学方程，都可以简化为一组互不相关的二阶微分方程，而其中每一个方程都与单自由度系统的运动微分方程相类似。

所以，对于单自由度系统的深入研究是非常必要的。①

有一定的近似性；②

从本质上认识振动；③

作为研究多自由度系统的基础。单自由度系统的特点：1.2离散系统组成部分的特征1.2.1离散力学系统的组成部分离散系统离散质量弹簧联系力和位移联系力和加速度联系力和速度参数

表示参数

表示参数

表示阻尼离散系统由三个部分组成：下面，我们将对离散系统的三个组成部分，即弹簧、离散质量和阻尼分别进行介绍。图1－1.弹簧线性范围（由斜率表示）一、弹簧(联系力和位移)如图1－1所示弹簧(假定为无质量)，弹簧伸长为和之差。弹簧伸长较小时，力与伸长成正比，比例常数为直线部分的斜率。常数被称为弹簧常数或弹簧刚度，那么在线性范围内，有：，弹簧常数的单位是：。斜率＝c图1－2.阻尼器联系力和速度的部分通常称为阻尼器，它是由活塞松配合于盛有油或者水的圆筒组成，粘性流体可以在圆筒内活塞的周围流过。这种阻尼器称为“粘性阻尼”或“减振器”。如图1－2所示。二、阻尼(联系力和速度)阻尼也假定为无质量。作用于阻尼器两端的力，称为阻尼力，它阻止阻尼器两端相对速度的增大，如果引起粘性流体内的光滑剪切，那么对的关系曲线多半是线性的，也就是有：。阻尼力与两端速度差的曲线斜率的比例常数，称为“粘性阻尼系数”。以后将用粘性阻尼系数来表示这种阻尼器，单位为：(力/速度)。斜率＝cm斜率＝m图1－3.离散质量三、离散质量(联系力和加速度)根据牛顿第二定律，力与相对于惯性坐标系的加速度成比例，即：，其比例常数就是质量，如图1－3所示。质量单位为：(千克)。注意：这里的离散质量具有着刚体的性质。如果从能量角度观察离散系统的三个组成部分：弹簧：其能量为势能质量：其能量为动能阻尼：阻尼器消耗能量。二者能够储存和释放能量。上面对于离散系统三个组成部分进行了描述。以后，我们将把离散系统的物理性质分别以常数、和为参数来表达。并且除非另有说明，离散系统中的弹簧和阻尼器是没有质量的，而且离散质量具有着刚体的性质。以上可看到，我们讨论的仅仅是平动系统，而在旋转运动当中产生扭转振动的系统，与前面平动是完全相似的，这时：平动振动扭转振动弹簧扭转弹簧粘性阻尼器

扭转阻尼器质量

具有转动惯量的圆盘①

扭转弹簧：用和表示扭转弹簧两端角位移，表示弹簧的恢复扭矩，则对的曲线将类似于前面拉伸弹簧的曲线。所以同样有关系式：。②扭转阻尼器：③

具有转动惯量的圆盘：

如果以表示扭转阻尼器两端的阻尼扭矩，同样以来表示阻尼系数，那么对阻尼器两端的角速度之差的曲线将类似于前面拉伸阻尼器的曲线图。所以扭矩和角速度差的关系式为：。

如果扭转系统具有一个转动惯量为的圆盘，角位移为，那么惯性扭矩对角加速度的曲线就将类似于前面离散质量与加速度的曲线，这里，转动惯量为曲线的斜率。所以，也同样有关系式：。1.2.2

并联弹簧和串联弹簧有时候，若干弹簧进行各种组合。特别常见的情况是如下图1－4(a)和1－4(b)所示的“并联弹簧”和“串联弹簧”。注意，我们这里所讨论的都是“线性弹簧”。图1－1.并联弹簧和串连弹簧(b)(a)

图1－4(a)的并联弹簧中，两端力分解成为相应于弹簧和的力和，因为弹簧均为线性，所以有关系式：

因为和之和一定等于，即：，由此可以得出：引入记号：，则有：一、并联弹簧：其中：表示弹簧和弹簧并联连接后的等效弹簧。这样，如果有个刚度为的弹簧并联，那么这个弹簧并联后的等效弹簧刚度为：对于前面图1－4(b)中的串连弹簧和，可分别写出：二、串联弹簧：从两式中消去，得到：则弹簧串联后的等效弹簧刚度的通式为：

说明：许多弹性构件，如轴向振动的细杆，扭转振动的轴和弯曲振动的杆等，常常可看作是弹簧。这时，弹簧常数可由力(或力矩)除以产生的位移(或转角)来求得。例1.2.1如图1－5(a)所示的扭转轴由不同长度，不同扭转刚度的两段组成，左端固定，右端有一圆盘。图1－5.扭转轴(a)(b)：剪变模量：横截面对圆心点的极惯性矩：圆轴抗扭刚度根据材料力学圆轴扭转变形公式，有：这时，把两段轴看作是扭转弹簧，则两段轴等效的弹簧常数分别为：两段轴可以看作是两个串联的扭转弹簧，则根据前面串联弹簧的等效弹簧刚度通式，得到两轴的等效刚度为：1.3二阶线性系统的运动微分方程机械系统中，一个最简单的情况就是如下图1－6(a)中的弹簧—阻尼器—质量系统。图1－6.弹簧－阻尼器－质量mm(a)(b)图中，为作用在该系统上的外力，表示质量以平衡位置算起的位移。这时的平衡位置为弹簧未伸长位置。根据牛顿第二定律可写出系统运动方程：(1.1)由于系统左端固定，所以有：(1.2)将式(1.2)代入(1.1)，并整理得到：(1.3)这是一个具有常系数的二阶线性微分方程。由这种二阶线性微分方程所表示的机械系统，我们称为“二阶系统”。所以，单自由系统通常也称为二阶系统。式(1.3)中的系数、和称为系统的参数，是不随时间变化的常数。◆关于弹簧的平衡位置和未伸长位置刚才的弹簧－阻尼器－质量系统中，弹簧的平衡位置和未伸长位置是一致的，但并不是所有的系统都是一致的，那么在列运动方程时，取哪个位置作为参考位置，观察如下系统：图1－7.弹簧－阻尼器－质量(a)m弹簧变形后平衡位置弹簧未变形位置(b)m(1.4)由前面图1－6(b)可以看出：，将此式代入上式(1.4)，得：(1.5)

注意这里的，它是由重力引起得弹簧的变形，也就是有：。那么很显然，(1.5)式就成为前面单自由度系统的运动微分方程(1.3)式，即：首先以弹簧未变形位置作为初始位置，位移为，写出运动微分方程：所以，从静平衡位置来度量线性系统的位移，我们就可以不记重力

。因为，在任何时刻，重力都会被系统中弹簧的附加力

所平衡掉。因此，在写出系统运动微分方程时，取弹簧的静平衡位置作为位移的参考位置比用弹簧末变形时的位置方便。运动方程(1.3)：代表了弹簧－阻尼器－质量这一类二阶系统的一般运动微分方程。此类系统的运动方程结构均相同，所不同的只是系统参数

、

和的取值不同。因此，方程(1.3)的解也就代表了这一类系统的解，而对每个具体系统的解，只需输入相应的系统参数即可。说明：1.4谐振子(1.6)在对弹簧－阻尼－质量系统的一般运动微分方程(1.3)进行求解之前，首先考虑系统的自由振动情况，即外加力的情况。同时，由于系统的阻尼一般都很小，所以再考虑系统无阻尼情况，即系统的阻尼系数。这时，二阶系统的运动微分方程(1.3)即简化为：用系统质量

除等式两端，得到：显然，方程(1.7)为一个二阶常系数线性齐次微分方程，所以，根据微分方程理论，方程的解应具有如下形式：(1.7)(1.8)将解(1.8)式代入方程(1.7)，得到：

(1.9)式两端除，即可得到所谓的特征方程：求解特征方程(1.10)，得到：(1.9)(1.10)(1.11)通解(1.12)为复数形式，所以为了使运动微分方程的解具有物理意义，利用欧拉公式：首先将通解(1.12)化为：其中，和分别为积分常数，其值取决于系统的初始条件，即初始位移和初始速度。这时，引入如下记号：(1.12)将解写为：最后，利用三角公式，即可将运动微分方程的解化为：式中和为积分常数。从解(1.13)式我们即可清楚的观察出单自由度无阻尼系统的运动状态及特征。(1.13)

对于前面引入的符号，这时可明确看出，它实际上反映了系统运动随时间的变化速度。所以，我们称为系统的“固有频率”(或称“自然频率”)。由于固有频率

，而对于任一给定的系统，系统参数和是不随系统的运动而改变的常量，所以有结论：

方程(1.13)描述的运动是最简单的一种振动：系统以固有频率，在平衡位置附近进行简谐运动。其中，系数的值决定了谐波运动的幅值，所以称之为“振幅”；角度决定了谐波运动的初始位置，所以称之为“相位(或相角)”。二者的值均取决于系统的初始条件和。

如方程(1.13)所描述的，以其固有频率在平衡位置附近进行简单的谐波运动系统，称为“谐振子”。显然，谐振子与其说代表了一种真实的物理现象，不如说代表了一种数学概念。系统的固有频率(自然频率)是系统本身所固有的。图1－8(a).

谐波振动的矢量表示利用上图1－8(a)所示的矢量图，我们可以进一步了解谐波振动的特征。图中，如果用来代表长度为的矢量，并且它与

轴的夹角为。那么该矢量随着时间的，在

轴上的投影就恰好表示了谐波振动

。当角度随着时间线性增加，意味着矢量以角速度逆时针转动。矢量在旋转过程中，它在轴上的投影将呈现谐波形式的变化。所以每当矢量扫过的角度，它在轴上的投影就将出现重复，即运动出现重复。图1－8(b).

谐波振动的矢量表示由于运动具有重复性，所以我们就可以把完成运动的一个循环所需要的时间定义为周期，并记为

。则有：如果周期单位记为“秒(s)”，那么固有频率的单位为“弧度/秒(rad/s)”。习惯上，固有频率是以单位“周/秒(cps)”来记。这时，固有频率用来表示。因为一周等于弧度，所以有：可见，以“周/秒”为单位的固有频率和周期是互为倒数的关系。通常，把频率单位“周/秒”称为“赫兹(Hz)”。来分别表示零时刻时，系统的初始位移和初始速度。引入记号：利用运动方程的解(1.13)式，即：

，得：解上式联立方程组，即可得到由初始条件和表示的谐波振动的振幅和相位

为：最后，我们来确定运动方程的解(1.13)式中的常数，即振幅和相角

。二者的值取决于系统的初始条件。(1.14)或者，利用前面运动微分方程的解的另一种形式，即：将幅值和相角代入解(1.13)式中，即得到：而将方程解写为：本节所讨论的单自由度无阻尼系统的自由振动，是一种理想化的系统，也是一种最简单的振动。总结：从另一方面来说，对于所研究的系统，如果其阻尼非常小，并且，考虑系统振动的时间间隔也非常短，以至于察觉不到阻尼对系统响应的影响，那么谐振子的运动就将与真实的系统运动情况相符合。如果没有外界的干扰，那么这种理想系统在受到某种初始激励后将永久的振动下去。现实世界中，这种系统并不存在，研究它是为了抛开一些不必要的因素而观察振动系统的本质。例1.4.1

如图，可绕点转动的细长杆，下端附有一质量(细杆本身质量不计)。杆长为，质量为，求系统运动微分方程及系统的振动周期。解：取角为坐标，逆时针为正，则质量的切向加速度为：，系统运动微分方程：由于角很小，有：，所以：所以，系统固有频率为：周期为：例1.4.2

如图，悬臂梁长，弯曲刚度为，质量不计，梁自由端有一质量，写出其振动微分方程，并求系统的固有频率。解：由材料力学，重力作用下，梁自由端有静挠度：自由端产生单位形变需要的力就是梁的刚度(把梁看作弹簧)：所以，可写出梁端质量的振动微分方程为：则，系统固有频率为：1.5

阻尼系统的自由振动实际系统都是存在各种各样的阻力，如摩擦力、空气阻力、材料的内部阻力等。这些阻力都在消耗着能量，使得系统的振动不断的衰减直至停止。本节将讨论系统具有粘性阻尼情况下的自由振动，弹簧－阻尼－质量系统如下图1－9所示。图1－9.

弹簧－阻尼器－质量系统m由前面1.3节的讨论可知，单自由度阻尼系统的自由振动的可用如下齐次微分方程表示：(1.15)对上式进行变化，两端除以质量，得到：引入记号：，称为“粘性阻尼因子”。这样，得到单自由度阻尼系统自由振动的运动微分方程为：该式为齐次微分方程，其解具有如下的形式：(1.16)将解(1.16)代入方程(1.15)，可得到代数方程：(1.17)方程(1.17)又称为系统的特征方程，方程两个根为：显然，特征方程的根和所具有的形式，将取决于“粘性阻尼因子”的值。根据粘性阻尼因子的取值不同，特征方程的解将具有如下三种取值情况：

①

时，特征方程具有两个不等的实根：

③

时，特征方程具有一对共轭复根：

②

时，特征方程具有两个相等实根：下面，将分别对以上三种情况进行讨论：㈠当时(过阻尼情况)：

时，系统特征方程具有两个不等实根。根据微分方程理论，阻尼系统运动微分方程(1.15)的通解形式为：(1.18)

时，典型的响应曲线如图1－10(a)～1－10(c)。可见，时，单自由度阻尼系统的运动为非周期性的，并且，系统运动将随着时间按指数衰减(

)。衰减曲线的精确形状取决于常数和(即取决于初始条件)。图1－10a.时，不同初始速度时的响应曲线图1－10b.时，不同固有频率时的响应曲线图1－10c.时，不同阻尼因子时的响应曲线(1.19)很显然，时，系统的响应同样也随着时间的延续按指数衰减(

)。常数和取决于初始条件。下页图1－11(a)和图1－11(b)给出了在某些初始条件下，当时，系统的响应曲线。

时，特征方程具有两个相等实根。同样，根据微分方程的知识，这时，阻尼系统运动微分方程的通解为：㈡当时：我们把时的情况又称为“临界阻尼”情况。图1－11a.时，不同初始速度时的响应曲线图1－11b.时，不同固有频率时的响应曲线比较有趣的是，在一给定的激励下，具有临界阻尼的系统能最快的趋近平衡位置(参见前面图1－10c)。由“粘性阻尼因子”的表达式：可以看出，当时，粘性阻尼系数为：这一概念的重要性不必过分强调，因为临界阻尼实际上只不过表示和这两种情况的一个分界线而已。㈢当时(小阻尼或欠阻尼情况)：

时，系统的特征方程具有一对共轭复根。这时，阻尼系统运动微分方程(1.15)的通解有如下形式：引进记号：这时，令：

称为“阻尼自由振动的频率”。这样：得到：应用三角公式，最后得到：(1.20)幅值引入了阻尼因素频率引入了阻尼因素

所以，时，单自由度阻尼系统的响应可以理解为具有不变的频率和相角，但是具有按指数规律衰减的振幅的振动。常数和的值取决于初始条件。时，典型的响应曲线见下页图1-12a～图1-12c。图1－12a.时，不同初始速度时的响应曲线曲线为振动响应的包络线图1－12b.时，不同阻尼因子时的响应曲线图1－12c.时，不同固有频率时的响应曲线由图1－12a到12c可以看出，粘性阻尼将导致系统的振动随时间按指数规律衰减。当时，，响应最终消失。说明了图中表示的响应曲线真实的反映了物理系统的性态。例1.5.1

考虑图示系统，分别计算当粘性阻尼因子、和时，对初始条件，的响应。解：①

时，利用公式(1.18)，可得出：所以，这时系统的响应为：(a)将上式(a)两端对时间微分，得到：(b)代入初始条件，求得：所以，当粘性阻尼因子时，系统的响应为：

③

时，通过公式(1.20)及其对时间的导数，可确定：所以，时，得到系统的响应为：

②

时，利用公式(1.19)及其对时间的导数，可得：所以，时，系统的响应为：总

结：下面，将特征方程的解：以粘性阻尼因子为参量在复平面上作下图1－13，以说明它和特征方程解

和

的关系，以及对系统响应的影响。当粘性阻尼因子具有不同的取值时，特征方程的根

和将会具有不同的形式，从而系统就会呈现不同的振动特性。对粘性阻尼系统自由振动讨论可知，系统的振动特性取决于粘性阻尼因子的值。图1－13.

阻尼因子与特征方程根、的关系①

当时，系统特征方程具有两个虚根，这对应于前一节讨论的“谐波解”，即“无阻尼系统自由振动的解”；②

当时，系统特征方程具有一对共轭复根，位于半径为的圆上，且对称于实轴。当时，两根和趋近于实轴上这一点。③

当时，系统特征方程具有两个不等实根，对应于大阻尼状态。且随着值的增大，当时，，而。1.6

对数衰减率通过上一节我们知道，粘性阻尼引起的振动按指数规律衰减，其指数为粘性阻尼因子的线性函数。当一个给定的系统的阻尼值未知时，就必须用实验的方法来测定。本节我们将通过观察系统振动的衰减情况，来寻求确定粘性阻尼因子的方法。这里，将讨论具有粘性小阻尼的系统。

对单自由度系统来说，一个整周的振动过程中，振幅所下降的程度就提供了一种测量阻尼值的简便方法。如果用和表示相距一周的两个相邻位移和所对应的时间，则根据前面方程(1.20)，可写出：(1.21)图1－14.

阻尼因子的测量，对数衰减率(1.21)所以方程(1.21)可简化为：因为，其中为阻尼系统振动的周期，因此很容易得出：式中的被称为“对数衰减率”。(1.22)上式两边取对数，并引入记号，有：对于微小的阻尼，是一微小量，因而方程(1.23)又可近似的表示为：(1.23)如果测量两个相邻的位移指比较困难，那么也可以测量相隔任意多个完整周期的两个位移值来确定粘性阻尼因子

。由表达式可见，为了确定系统中的阻尼值，需要度量两个相邻的位移值和，并取的自然对数得出对数衰减率，最后便可从下式可得到：(1.24)令和为相应于时刻和

的振幅，其中利用方程(1.22)，即：将上式代入(1.23)或(1.24)，即可求得粘性阻尼因子。为一整数，因为相隔一个周期的任意的两个相邻位移之比前面已经得出，为：，于是可写出：(1.25)可写出：1.7

能量守恒系统前面已经得出，单自由度无阻尼系统的自由振动，其振动形式是谐波的。其运动微分方程为：(1.26)本节将讨论单自由度无阻尼系统的能量特性。首先，用乘方程(1.26)两端，有：(1.27)然后，对上式(1.27)两端积分，积分区间从初始时刻到任意时刻。下面对式中各项积分分别进行讨论：单自由度无阻尼系统的运动微分方程为：

①左端第一项：(1.28)显然，式中：为该系统在