中考数学总复习《最值问题》专项提升训练带答案

第页参考答案：1．C【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．B【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值．【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，根据对称性的性质，可知：，在中，，，根据对称性的性质，可知：，，即，，，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．3．D【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．4．A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．5．C【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点，连接交和于点和点，，连接、；再和上分别取一动点和（不同于点和，连接，，和，如图1所示：，，，，又，，，，时周长最小；连接，过点作于的延长线于点，如图示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故选：C．【点睛】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．6．B【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．答案详解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．7．C【分析】根据垂直平分线的性质可得EB=EC，然后根据两点之间线段最短可得点E即为直线上到、距离和最小的点，且最小值即为AB的长，然后根据三角形的周长和AC的长即可求出直线上任意一点到、距离和最小值．【详解】解：∵DE垂直平分BC∴EB=EC，∴CE＋AE=BE＋AE=AB，根据两点之间线段最短，点E即为直线上到、距离和最小的点，且最小值即为AB的长∵的周长是，即CE＋AE＋AC=AB＋4=14解得：AB=10即直线上任意一点到、距离和最小为10．故选C．【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质和两线段之和最值问题，掌握垂直平分线的性质和两点之间线段最短是解决此题的关键．8．B【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．

∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•4π=2π．

故选B．

点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．9．/【分析】过点C作，设，利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，即欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，利用待定系数法求直线的解析式，从而求得，即可求解．【详解】解：过点C作，设，如图所示，

∵，，∴，又∵，∴，∴，欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，如图，作点F关于x轴的对称点，当E、P、共线时，的值最小，此时，设直线的解析式为：，得，，解得：，∴直线的解析式为，当时，，即，∴的值最小，的值为：，

故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的与性质、两点间的距离公式、用待定系数法求一次函数解析式、线段和的最值及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．10．10【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，确定最小值为的长度，再由勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示，∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线为对称轴的对称点，∴连接，，则直线即为的垂直平分线，

∴，∴，连接交于点P，∵点N为上的动点，∴由三角形两边之和大于第三边，知当点N运动到点P时，，的最小值为的长度．∵四边形为正方形，∴，，，，即的最小值为10.故答案为：10【点睛】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．11．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．12．【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．13．【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等边三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．14．【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，，，，，，，，，当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，当，，三点共线时，有最小值，此时，的最小值为，故答案为．【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．15．【详解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴ACAB＝2，∴点Q的运动路径长为π16．18【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．【详解】解：连接，，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，，又，，，故答案是：18．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．17．见解析【分析】作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，P点即为所求.【详解】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时的值最小，因此泵站修在P点可使所用的输气管线最短.【点睛】本题是一个将军饮马模型，主要考查了轴对称最短路径问题，解答此题的关键是熟知轴对称的性质和“两点之间，线段最短”这一性质.18．(1)见详解(2)，见详解【分析】（1）根据轴对称的性质，作出图形即可求解；（2）可求，作关于轴对称点，连接，当、、三点共线时，最小，从而可求解．【详解】（1）解：如图（2）解：如图作关于轴对称点，连接，，，的周长：，如图，当、、三点共线时，最小，此时，的周长：，，的周长的最小值：；，如图．【点睛】本题考查了利用轴对称的性质作图，线段和最小的典型问题，勾股定理，掌握“将军饮马”模型的解法是解题的关键．19．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，∴当时，的值最大．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．20．(1)4(2)存在，(3)；【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等