广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设可得，所以.故选：D．3.下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，定义域为，与不恒等，故A错误；对于B，定义域为，与不恒等，故B错误；对于C，定义域为，与不恒等，故C错误；对于D，，解得或，定义域关于原点对称，，是偶函数，故D正确.故选：D.4.若，则的最小值为（）A. B.0 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，当且仅当时，即，等号成立，所以的最小值为.故选：.5.下列命题正确的是（）A.在是减函数B.正切函数在定义域内是增函数C.是偶函数也是周期函数D.已知，，则y的最小值为〖答案〗C〖解析〗对于A，的单调减区间为，单调增区间为，所以在单调递增，在单调递减，故A错误；对于B，的定义域为，单调增区间为，在定义域内不是增函数，故B错误；对于C，的定义域为，且，是偶函数，，即是函数的一个周期，是周期函数，故C正确；对于D，当时，的最小值为，当时，的最小值为，故D错误.故选：C.6.人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数〖解析〗式是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量，经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量，经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量，，经过天后，剩留的质量，.故选：A.7.已知，，则p是q的（）．A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，则，可得，即，可知由p可以推出q，则p是q的充分条件；例如，可知，满足，但不满足，可知p不是q的必要条件；综上所述：p是q的充分不必要条件.故选：B.8.已知函数，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由已知，.故选：.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（）A.浮萍蔓延的面积逐月翻一番B.第5个月时，浮萍面积会超过30C.第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值D.浮萍每月增加的面积都相等〖答案〗AB〖解析〗由图可知点在函数图象上，所以，即，所以，所以，故正确；当时，即，所以正确；设，，时浮萍面积分别为，，，所以，，，所以，所以错误；第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且，实际上面积增长的速度越来越快，故错误.故选：.10.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，故A正确；对于B，，根据不等式的性质得，，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，幂函数在单调递增，，，故D正确.故选：ABD.11.下列求解结果正确的是（）A.不等式的解集为B.C.D.若，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，由可得或，解得或，选项A不正确；对于B，，选项B错误；对于C，，选项C正确；对于D，若，则，即，所以，选项D正确．故选：CD．12.已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（）A.的图象关于点成中心对称图形B.的图象关于成轴对称图形C.的图象关于点成中心对称图形D.的图象关于点成中心对称图形〖答案〗AB〖解析〗对于A，，设，为奇函数，的对称中心为，故A正确；对于B，，设，为偶函数，关于对称，故B正确；对于C，，设，，不是奇函数，故C错误；对于D，，设，，不是奇函数，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题：“，”则命题的否定为：________________________．〖答案〗，〖解析〗因为命题：，，所以命题的否定为：，.故〖答案〗为：，.14.已知函数的值域是，记的定义域为：____________．〖答案〗〖解析〗因为函数的值域是，所以，又因为，所以，所以定义域为.故〖答案〗为：.15.记，那么______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.16.已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为：______．〖答案〗4〖解析〗对任意的，，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，对任意的正数，满足，则，所以，，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4.故〖答案〗为：4.四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．（1）若，求及的值；（2）若，求点P坐标．解：（1）角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，当时，，则，所以．（2）依题意，，由，得，代入，于是，解得，即，所以点P的坐标为．18.已知函数，.（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（2）求不等式的解集.解：（1）函数在区间上增函数，证明如下：设，且，则，所以，故函数在区间上是增函数.（2）由，由，即；可得；所以且，解得或，因此不等式的解集为：.19.潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．（1）求k的值；（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，）解：（1）依题意，，，则，化简得，，，即：．（写也正确）（2）由（1）得，令，即，得，；得，所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感．20.已知函数是偶函数．（1）求实数a的值；（2）当时，函数有零点，求实数t的取值范围．解：（1）因为是上的偶函数，所以，即，解得，经检验：当时，，在上满足，满足题意，故函数是偶函数时，.（2）由（1）可知，所以，，因为时，存在零点，其中，即关于的方程有解，令，因为，令，设，，，其中，得，，，所以，则成立，则由函数单调性定义：在单调递增，所以，所以实数的取值范围是.21.已知二次函数满足，恒成立，且，．（1）求的〖解析〗式；（2）对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．解：（1）设，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以函数关于直线对称，所以，即，由得，所以.（2）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，法一：令，由题意得，而，当时，两边平方，即，解得，当时，两边平方，即，解得，即，设，则，当时，，当时，，，故对任意，只需要，不等式成立.法二：若，显然成立，若，，即或，可得或，总存，只需要或，而，所以，解得，综上可得，不等式成立.22.定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”．（1）判