备战2024年高考模拟数学试卷04(新高考Ⅰ数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷04（新高考Ⅰ卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知是实数集，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以或，因为，所以，故.故选：A.2．已知，若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．2〖答案〗D〖祥解〗先利用复数的乘法化简复数，再根据纯虚数的定义求解.〖解析〗解：，因为，且为纯虚数，所以，解得，故选：D3．已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（

）A．4 B．2 C．8 D．6〖答案〗C〖祥解〗用坐标表示向量的垂直和平行，列式即可求解.〖解析〗由得，（对于非零向量的充要条件为）又为等比数列，所以，又，得．由得，即，所以.故选：C．4．已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（

）A． B．0 C． D．〖答案〗C〖解析〗因为不等式的解集为且，所以，且为的二重根，所以，则，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，即.故选：C5．已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖祥解〗根据题意，设，表示出，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.〖解析〗设，则，，则，，所以，且，所以，即，代入椭圆方程可得，化简可得，则离心率为.故选：B6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗将化为标准方程为：，所以圆的圆心为，半径为2，由题意，四边形面积为，又因为，所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C7．在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个〖答案〗B〖解析〗设插入的这个数分别记为、、、，由等差数列的性质可得，这个数列的公差为，这个数列所有项的和为，这个数列的前项的和为，因为这个数列的前项的和与后项的和之比为，则，即，解得，所有，插入数的个数是个.故选：B.8．已知，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，.，，，，，又因为，所以，则，所以..故选：A二、多项选择题9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（

）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2C．极差可能是4 D．众数可能是2〖答案〗BD〖解析〗设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设为，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10．已知函数，点在函数图象上，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，则有最小值〖答案〗ACD〖解析〗依题意，，由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，则有最小值，选项A正确；，当且仅当时，等号成立，则有最小值4，选项B错误；，当且仅当时，等号成立，则有最小值为，选项C正确；因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，则有最小值，选项D正确．故选：ACD．11．下列判断正确的是（

）A．若是一次函数，满足，则B．命题“”的否定是“”C．函数的定义域为，值域，则满足条件的有3个D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为〖答案〗BC〖解析〗对于A：因为是一次函数，设，则，可得，解得或所以或，故选项A错误；对于B：存在量词命题的否定为全称量词命题，选项B正确；对于C：，可得，所以函数的定义域可以是：或或，满足条件的有3个，故选项C正确；对于D：关于的不等式的解集为，则方程的解是或，且，由韦达定理可得，解得，则不等式转化为，因为，所以，解得，则不等式的解集为，故选项D不正确．故选：BC．12．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（

）A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0〖答案〗BC〖解析〗对于A：由题意得在正方形的内部（包括边界），在正方体中，平面，若平面，则在直线上，不符合题意，A错误．对于B：如图，当与重合时，连接．是正方形，平面平面，平面平面平面．是正方形，平面平面，平面平面平面．平面平面B正确．对于CD：如图，当时，得，则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，设则有，得，得，，由，得，则，C正确，D错误．故选:BC.第II卷（非选择题）三、填空题13．如图，某景区共有五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有种不同的检测顺序.〖答案〗〖解析〗如图将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，从或处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从或处出发才能不重复走完条路线，由于对称性，只列出从处出发的路线情形即可.①走路线：，，，，，，共种；②走路线：，，，，，，共种；③走路线：，，，，共种；综上，共有种检测顺序.故〖答案〗为：14．在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是.〖答案〗〖解析〗法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系.如图所示，

设，而，则，设平面的一个法向量为，则，令，则所以平面的一个法向量为，点到平面的距离因为设中的边上的高为，则，所以（），所以三棱锥的体积的取值范围是，故〖答案〗为：法二：设，延长到，使得，则，，则，于是，

而长方体的对角面是矩形，则有，又平面，平面，于是平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，由等体积法可知，又，故，所以，故〖答案〗为：15．已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为.〖答案〗〖解析〗由可知，，得，所以，又函数在上是增函数，所以，即，所以，所以，的可能取值为.当时，由解得，经检验，时不满足题意；当时，由解得，经检验，时满足题意.所以，的可能取值为.故〖答案〗为：16．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为.〖答案〗〖解析〗若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，联立方程组，整理得，可得，则，又由在直线上，可得，所以，所以，即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，如图所示，取的中点，因为的重心在中线上，的重心在中线上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因为，且的外心为点，则为线段的中点，可得，因为，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.

四、解答题17．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．

(1)若，求的边长；(2)求的边长最小值．解：(1)设的边长为千米，由得，中，为等边三角形，，故，即的边长为.(2)设的边长为千米，所以，中，，由正弦定理得，，故，其中，当时，取得最小值，即的边长最小值为.18．边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.

(1)证明：平面平面；(2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.(1)证明：在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以为直径的半圆上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，(2)解：∵，∴又∵为二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：

则，设，，则，设平面的法向量为则，令，则，设直线和平面所成角为，则，设，则，令，当时，，当时，，令，任意，，因为，所以，，，所以，所以在上为减函数，故，所以，所以，所以，所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围..19．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.解：(1)当时，，定义域为.，令，可得，当变化时，和的变化情况如下：0--0+单调递减单调递减单调递增故函数的单调递减区间为，；单调递增区间为.(2)因为对恒成立，所以对恒成立，显然不恒成立，不合题意，则，解得.令，可得或，当时，，因为，（当且仅当时，）所以函数在上单调递增，无极值，不满足题意；当时，，和的变化情况如下：0+0-0+单调递增单调递减单调递增函数在处取得极小值，满足题意；当时，，和的变化情况如下：0+0-0+单调递增单调递减单调递增函数在处取得极大值，不满足题意.综上，实数的取值范围为.20．已知数列的前n项和为，且．(1)求；(2)若，记数列的前n项和为，求证：．(1)解：当时，，解得；当时，，，则，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即；(2)证明：由(1)知，依题意，因为，，则，即；因为，所以，而，故，即．综上所述，．21．某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.(1)求，；(2)求的表达式；(3)设，证明：.(1)解：，，；(2)解：由已知，∴，即，∴是以为公比的等比数列，∴，∴.(3)证明：.设，，∴，∴在上单调递增，显然，则，∴，则，即，∴.22．已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方