量子信息论简介与展望

量子信息论

的

简介与展望中国科学技术大学近代物理系张永德1

前言量子信息论包括量子通讯和量子计算两个部分。它是量子力学在经典信息论领域中应用的结果。它发源于上个世纪70年代，到80年代开始发展，至今不过20余年的时间。目前它已经在全世界蓬勃发展，全面推进之中。它之所以如此迅速发展，是由于：其一，应用潜力巨大。它的成功将会从根本上改变现有电子通讯和计算机的面貌；其二，本身魅力非凡。它不仅极大丰富了现有的量子理论，而且有助于解决量子理论基础中久悬未决的难题。相对于以前所知道的传统量子力学，量子信息论中的量子力学，其进展在于：一，所研究的量子体系不再是孤立的，而是开放的；二，与此相应，一般地说，体系状态大多为混态，演化是非幺正的，对体系的测量是非正交的投影；三，观念上已经提升到将量子态看作是信息的载体，主动进行相关的制备、操控、存贮和传送。

2目录

（一）两体系统量子态的分类与描述两体的纯态与混态EPR对Schmidt分解量子纠缠（entanglement）与纠缠度量子纠缠的形成、测量与分离（二）量子态测量理论纲要量子测量公设——量子力学第三公设量子测量理论的“素描”VonNeumann模型量子Zeno效应3（三）量子态非克隆（non–cloning）定理non–cloning定理定理讨论（四）量子态的超空间传送（teleportation）量子态的超空间传送（quantumteleportation）量子纠缠的超空间传送（quantumswapping）（五）量子位（qubit）和量子存储器Qit–Qubit的对比Qubit的物理实现Qubit存储器、旋转操作、么正变换4

（六）量子逻辑门和量子网络单qubit量子门双qubit量子门——C-NOT门可分解定理，量子网络（七）量子算法Deutsch量子算法DFTq量子算法——快速付里叶变换的量子算法Shor量子算法——大数因子分解的量子算法Grover量子算法——“量子摇晃”即量子搜寻算法（八）量子信息论展望参考文献5

（一）两体系统量子态的分类与描述1,两体的纯态与混态i,纯态：单一波函数描述的态，或基矢的相干叠加态。

A（基矢{}正交归一）

A+B（基矢{}正交归一）

ii,两体纯态可分为两大类：

a）可分离态——，A和B均处于确定态

b)不可分离态即纠缠态——不能表达成。例，四个Bell基：纠缠必体现为粒子态测量结果关联，但关联不等于纠缠。如。6

iii，混态：系统若干个纯态（它们不一定正交归一！）的非相干的混合。各成份之间不存在固定位相关系，不存在相干叠加发生干涉的题。自然光、热平衡气体、潘宁源出来的电子束。用密度矩阵描述：

iv，混态情况下，A+B系统的态可分类为：

a）未关联态——b）可分离态——

c）不可分离态(混态纠缠态)——不能写成可分离态形式的态。例如：

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v，可分离的标准（当A、B均为双能级系统时），

a）一个给定态为可分离态的充要条件是：

关于A、B子系统的转置算符和均是正定的。以可分离态为例，操作为：注意，可分离态的密度矩阵在（）作用下，仍为一个（可分离态的）密度矩阵，所有本征值仍然是非负的；不可分离态的密度矩阵在（）作用下会出现负本征值，已不是密度矩阵。

b）多粒子可分离态的另一充要判据：PLA，275（2000）244

vi，约化密度矩阵：

82，两体双能级系统的EPR对

i，EPR佯谬Bell不等式CHSH不等式迄今实验都表明，量子力学的描述是完备的，不存在隐变数。塌缩的不确定性是本质的，并非量子力学的描述不完备的体现。此处自旋态的塌缩不是定域的，而是非定域的。物理实在论观点是不对的。它的错误不仅在于，要求微观粒子在任何状态下，它的可观测量都必须客观上是确定的;而且还在于,它对测量的影响——塌缩持定域的观念。

ii，注意，4个Bell基、中粒子A和B的空间波包可以相距遥远而完全不重叠！

iii，塌缩的关联：当一个子系统因测量而发生塌缩时，另一个子系统将发生相关联的塌缩。例：对，测A

这是一种纯量子的非定域的超空间的关联！

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3，Schmidt分解

i,总可以将A+B系统任一纯态表示为以下标准形式（Schmidt分解形式）：，这里{}和{}分别是Hilbert子空间和中某两组（一般与有关）正交归一基。也可取负根。特例：Bell基。ii，这时约化密度矩阵为

iii，由Schmidt分解可知，可以为A+B系统的任一纯态指定一个正整数：Schmidt数。它是（或）中非零的个数，也就是Schmidt分解式中的项数。10

4，量子纠缠（Entanglement）与量子纠缠度

i,两体量子纠缠纯态的定义：A+B系统的纠缠纯态是系统中那些不能被表示为两体直积形式；或说成,A+B系统一个纯态是纠缠态的充要条件为：Schmidt数>1。例如，四个Bell基。

ii,多体量子态才会有量子纠缠，单体量子态不存在量子纠缠。

iii,纠缠的结果和标志是：

a)它们各自都不处于确定的态;富翁和他的两个儿子。b)对其中的一体测量产生塌缩时，另一体会发生关联塌缩。所以量子纠缠是物理的，并非仅是某种表象下的数学结果。iv,这里是纯态间的纠缠，不同于可分离态纠缠，那是混态间的纠缠。11v,量子纠缠的重要性量子纠缠是量子系统的一个显著特征，在量子非定域性以及量子通信领域中占据着中心位置。具体地说：塌缩中它表现出非定域的关联——一种没有经典对应的超空间关联。量子纠缠既是量子通信的核心手段，又是量子通信中量子信息丧失的主要方式——量子系统与环境的量子纠缠正是量子退相干的基本原因。

vi,两体量子纯态量子纠缠度定义。量子纠缠度用其中任一粒子态的VonNeumann熵S来定义，

,这里，，。求迹的对数以2为底。于是，对任何可分离态。而对有最大纠缠度的Bell基，比如，由于，其。多粒子纯态的纠缠度定义有待最后的定论；对于两体混态和多体混态，相应纠缠度的定义仍处在研讨之中（参见，例如，[3-11]）。12

5，量子纠缠的形成、测量与分离

i,纠缠不能被局部地制造出来：、和纠缠态。例：不是纠缠态。只有让A和B（直接或间接）相互作用，才能使A和B纠缠起来：纠缠态

ii,Stern-Gerlach装置说明

测量——相互作用：

这时，A和B各自都不处于确定的状态，用测量作非相干alternative。13

iii,纠缠态的部分测量

AB量子纠缠+对A测量→B的混态

例如：测A，导致A和B的混态：，iv,纠缠态的分离

A与B的纠缠态：。分离A与B：留下A，让B出去：谐振腔中，原子A留下，光场光子B出去；Stern-Gerlach装置，磁场装置留下，入射粒子出去；中子干涉仪，晶体留下，两路中子出去。留下的A的情况决定出去的B的状态：

a)如果和之间位相差无规，或对A做了测量，发生了A的alternative→B为混态b)如果和相同或位相差固定（如：中子干涉仪，B是两路中子；磁场在Z轴、入射极化在X-Y面内的Stern-Gerlach装置，B是由磁场出来的粒子。）→B为纯态14二、量子态测量理论纲要

1、量子测量公设——量子力学第三公设对任一(归一)量子态观测力学量A，相应于将被测态按对应厄米算符的本征态族展开；单次测量中所得A的数值可能不确定，但必为算符本征值中的一个；多次测量所得A的平均值为其中，A取值的几率为。▲附加分析：

a)若是的一个本征态，展开式只有一项，相应测量结果是确定的；b)测得所有值和值均是实的；c)、可同时测量的条件为。

d)的完备性的可观测性：算符的本征矢是完备的——→

力学量A的可观测性

(物理实验上)(数学上)e)量子测量的过程与特征，见下。15

2、量子测量理论“素描”量子测量的三个阶段

量子态坍缩的四大特征量子因果的两种形式

i,测量的三个阶段：

纠缠分解波包塌缩初态制备

ii,塌缩的四大特征：

a，坍缩结果的随机性。

b，坍缩方向的不可逆性。

c，坍缩总是斩断相干性的。

d，坍缩总是非定域的：iii,态的两种变化→两种形式因果关系的交织→量子力学因果观：

a,第一类变化——量子态演化：“初条件+哈密顿量”决定论，可预测、可逆，保持相干性。决定论性因果关系。

b,第二类变化——量子态坍缩：随机性,不可逆性,斩断相干性。统计性因果关系。

163,VonNeumann正交测量模型

为了测量子系统可观测量A，要建立“测量哈密顿量”。办法是连通子系统的可观测量A和（作为测量仪器的）指示器X。在A和X之间的这种耦合，在可观测量的本征态和指示器的可区分态之间建立起量子交缠，正是这种量子交缠，使我们能够通过观测指示器变数x去制备可观测量的本态。设初始时刻子系统处于A的一个叠加态，而指示器波包有关变量的状态为。合成的大系统处于尚未交缠的可分离态，由于中A和X的耦合项存在，在t时刻后，这个量子态将从可分离态演化成为交缠态，造成的量子交缠使X和A的测量值x（和a）关联起来。如果位置变量x的观测精度足以分辨的全部本征值a，就实现了通过测量x造成关联塌缩给出a的相应本征态得到a的数值。17一个典型例子是Stern-Gerlach装置。为测自旋粒子的，使它通过一个z轴方向非均匀磁场：。粒子磁矩，它和磁场之间的耦合项（“测量哈密顿量”）为。这里是可观测量和位置相耦合。由于中含，不同值处附加能数值不同，这产生一个力

它沿轴，正负视值而定。于是在测量时间内给粒子一个冲量这就是说，耦合传递一个冲量给指示器。可以通过观察粒子向轴正向、反向的偏转投影出粒子自旋态或。这里，这里。大系统进行正交测量时，在子系统上实现的测量称为广义测量。184、量子Zeno效应—纯量子测量效应

ⅰ，什么是QuantumZenoEffect(QZE)[2-4]

频繁的测量能够阻止不稳定系统的衰变。

定义1：由出发，按演化，中间不测量，直到t时刻才测量，在中找到的几率（等于到t时刻止，初态的存活几率）：

定义2：由出发，按演化，中间均匀间隔作（N-1）次测量，直到t时刻又进行测量。在t时刻，在中找到初态的存活几率：

量子Zeno效应说：

当>

；连续情况：。制备→测量→测量→测量→测量→·

·

·

·

·t>19QZE的“表演”20三、量子态不可克隆（non-cloning）定理（1982)[3-7]

1，由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任一未知量子态不可能在不遭受破坏的前提下被克隆到另一量子体系上。 证明：量子态的理想克隆应当是：对某个两能级系统的任意态，有但是，对任意态的这克隆过程可以有两种理解：第一种，按量子力学态叠加原理，任意态可表述为两个基矢的叠加，克隆是对基矢进行的：

另一种，如果任意态也可以直接克隆，则有

方程(1)和(2)是相互矛盾的。但方程(1)体现的过程是可实现的（态叠加原理成立，基矢可克隆），而方程(2)体现的过程是不可实现的。所以，任意量子态不可被克隆。212，量子态不可克隆和生物大分子可以克隆的对比：生物克隆

——生物大分子的克隆——是原子（分子）排列顺序

的克隆，是硬件克隆，经典克隆；量子克隆

——软硬件的全部信息的克隆。量子克隆的不可能意味着：试图复制出不仅外貌、体征相同，而且连知识、记忆、思想、性格等都完完全全相同的人，量子力学原理是不容许的。22四，量子态的超空间传送（quantumteleportation）.

▼状况：甲有粒子1和2，乙有粒子3，甲与乙分开一段距离。甲的粒子1—处于信息态：为任意的未知归一系数—要传送的信息；甲的粒子2与乙的粒子3组成一个Bell基——纠缠态——量子通道：于是，三个粒子体系的总状态为采用粒子1和2的4个Bell基：，，将展开作为：

▼任务：甲将粒子1的量子态（实质是、两个系数）传给乙手中的粒子3，使之成为。

▼步骤：甲对手上掌握的粒子1和2作Bell基测量；甲用经典办法广播测量结果；乙根据甲的广播，选择对粒子3的幺正变换，最终实现量子态的转移。23

▼

QuantumTeleportation的几点注记：

a)过程不违背非克隆定理。甲手上的粒子1在测量后已不处于原来状态。过程只是原来信息态的转移（1#→3#），不是信息态的复制。b)不存在信息的瞬时传递。乙必须等候收听甲测量的结果。收听之前，乙甚至不知道甲做了测量与否。所以不违背狭义相对论原理。这一过程中信息分为两部分：量子信息（瞬时的超空间的传递）和经典信息（≤光速）。最终信息传递速度≤光速。注意，乙在收听之前，甚至不知道甲做了测量与否，更谈不上知道测量结果如何。c)正因为甲不知道手中粒子1所荷载的量子信息（α、β），Telepotation才能成功。

d)借助关联态传送量子信息，这是量子交缠的实际应用。

e)实现贝尔基测量：Hadamard门，C-NOT操作。目前只能实验证认四个BeLL基中的两个。量子超空间传送已为实验证实[3-2]。进一步，超空间传送量子交缠（Swapping）也已实验成功。

24五、量子位(qubit)和量子存储器

1、bit──qubit（quantumbit）对比若处于叠加态，受测量（读出）影响不受测量（读出）影响

测量影响

可取的状态光子极化状态、电子（或原子核）自旋状态

双稳态电子线路

构成

Qubit

Bit

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2，qubit物理实现举例

▼例：qubit=恒定磁场下原子核磁矩状态。

▼调控手段：x-y

平面内射频交变磁场脉冲。

▼定义：核磁矩顺磁场取向状态为逆磁场取向状态为

▼图象：原子核磁矩在磁场中进动。平均自旋矢量——极化矢量各状态下的：26

▼对单个qubit的转动操作：操作的物理基础：（例如）自旋（磁矩）在外磁场中的进动。转动操作举例：若转动前自旋状态为，经受转动，

成为叠加态。当测量时，将随机地等几率地塌缩到或。273，qubit存储器，旋转操作，幺正变换

▼L个qubit，组成一个量子存储器。一个数的二进制表示:该数的十进制表示:

▼置零态：

▼对存储器(L个qubit)旋转操作：

（）——运算初态。28六、量子逻辑门和量子网络 引言

量子逻辑门可用多种物理系统实现。比如，核磁共振方法、离子阱方法、半导体硅基方法、Josephson结等等。下面用核磁共振方法为例作一说明。

1、单qubit量子门──

门

输出输入门29工作qubit控制qubit工作qubit控制qubit输出输入CNOT▼物理实现：在(x-y)面内有一脉冲式磁场(时间间隔存在)：

招致自旋绕方向进动一定角度。▼特例1：非门▼特例2：Hadamard门为执行以下转动的单个qubit门，2、双qubit量子门──CNOT可控非门30

▼物理实现：NMR.三氯甲烷..控制qubit(A)为下的原子核自旋；工作qubit(B)为下的原子核自旋；哈密顿量为在──进动──操作下：i)

ii)iii)iv)313、可分解定理，量子网络

i,[Deutsch定理(1985)]

任意d维么正变换U总可以被分解为个二维么正变换的乘积(它们均是分别作用于各自一对基矢所张成的两维子空间，即它们中每个的各自余空间均不变)。任何作用在一组qubit上的么正变换均可以用一系列单qubit量子门和双qubit量子门CNOT依序作用来实现。ii,量子网络量子网络是经典网络的自然推广。其中布尔门用量子门代替。Vedraletal.(1995)。32七、量子算法

引言

i,定义：一种算法Ω如果执行它所花费的时间随着运算规模L=logN增加，以不快于Poly（L）的速度增加，称Ω为快算法或有效算法：某些算法是快的（如乘法127×229=？），有些是慢的（因子分解？？=29083、随机搜寻）。

ii,经典NP完全问题iii,量子算法的基本过程

崭新的算法。利用：相干叠加性、并行性、纠缠性、测量坍缩等，极大提高了计算效率。经典计算复杂性理论需要重大修改。具体些说，有两个存储器A和B，先将A的各个qubit转，得

ABAB这时，量子算法f中多次量子门操作乘积为一个幺正算符，作用于存储器A和B。利用量子算法的并行性，同时对A中所有数一次算得对应的全部值，再利用中耦合作用造成的量子纠缠，同时存入B中各对应的量子态内，即接着，测量A（或B）存储器，造成A（或B）的坍缩，带动B（或A）作相应坍缩。331、Deutsch量子算法▼Deutsch问题

对单个qubit变换共有四种方式(输入为x=0,1)：

如何用一次计算即可判断一个未知的属于哪一类型？Deutsch问题答案：经典算法必须两次；量子算法只需一次。▼量子算法步骤:

i,计算初态ii, 对第一个qubit两个态执行并行计算，结果加入第二个qubit，

iii,结果：第一个qubit的态为342、量子算法──分离富里叶变换的量子算法

定义：分离富里叶变换是如下维么正变换(modq)：或者更一般地为算法的实施依赖如下两种变换：这里，。353、 Shor算法──大数因子分解的量子算法

i)任务：大奇数N为两个互质数的乘积。已知N，求和。

背景：按经典的计算复杂性理论，这是一个NP完全问题，是加密编码理论的基础。

ii)Shor量子算法步骤概括：

a)随机取y(<N并与N互质)，用Shor量子算法求函数的周期r:，即：b)若r为奇数，返回i,重新取y;若r为偶数，取，得

c)由孙子定理，求解下面方程的x：

即

d)求得(x-1)和(x+1)后，由欧几里得算法，求即得 。

iii)上面步骤中最关键的是求周期r。Shor

算法对此有明确的规划。36对给定的大数N随机取y(<N;gcd(N,y)=1)尤拉定理若r为偶数若r为奇数

Shor算法流程图37

孙子定理，得x1或x2辗转相除法gcd(x-1,N)=n1,gcd(x+1,N)=n2

N=n1n238112NI=1