2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第五章一元函数的导数及其应用5-1-2导数的概念及其几何意义

5.1.2导数的概念及其几何意义必备知识基础练1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5xy+1=0,则()A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在2.函数f(x)=x2sinx在[0,π]上的平均变化率为()A.1 B.2 C.π D.π23.已知f(x)=23x2,若f'(a)=13,则a的值等于(A.14 B.1C.49 D.4.设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为xy+2=0,则f(1)+f'(1)=()A.4 B.3 C.2 D.15.(多选题)曲线y=9x在点P处的切线的倾斜角为3π4,则点P的坐标可能为A.(3,3) B.(3,3)C.(9,1) D.(1,9)6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=.

7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)f'(b).(填“<”或“>”)

8.曲线y=x22x+3在点A(1,6)处的切线方程是.

9.利用导数的定义求函数f(x)=x+2在x=2处的导数10.已知函数y=f(x)=x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).(1)若割线AB的斜率不大于1,求Δx的取值范围;(2)求函数y=f(x)=x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率.关键能力提升练11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则limΔx→0A.f'(1) B.3f'(1)C.13f'(1) D.12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0Δx,x0]上的平均变化率为k2,Δx>0,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不能确定13.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率14.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是()15.曲线f(x)=2x在x=2处的导数为,在点(2,1)处的切线方程为.16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=2x+5,则f(2)+f'(2)=.

17.若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为.

18.已知直线y=4x+a和曲线y=x32x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.学科素养创新练19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.参考答案5.1.2导数的概念及其几何意义1.A由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.2.C平均变化率为f(π)-f(03.A由导数的定义得f'(x)=lim=lim=limΔx→0因此f'(a)=43a=13,则a=4.A∵点P(1,f(1))在切线xy+2=0上,∴1f(1)+2=0,解得f(1)=3.又f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.5.AB由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→09x(x+Δx)=9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得9x6.af'(x0)=limΔx→0f(x7.>f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).8.4x+y2=0因为y=x22x+3,切点为A(1,6),所以斜率k=y'x=1=lim=limΔx→0(Δ所以切线方程为y6=4(x+1),即4x+y2=0.9.解∵Δy=(2+Δy∴f'(2)=limΔ10.解(1)由题意得,割线AB的斜率为ΔyΔx=f由3Δx≤1,得Δx≥2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).(2)由(1)知函数y=f(x)=x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=limΔx→0ΔyΔx11.C根据导数的定义limΔx→所以limΔx→0f12.A因为函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的变化量为Δy1=f(x0+Δx)f(x0)=(x0+Δx)2x02=Δx(2x0+Δx),所以k1=Δy1Δx=2函数y=f(x)=x2在区间[x0Δx,x0]上的变化量Δy2=f(x0)f(x0Δx)=x02(x0Δx)2=Δx(2x0Δx),所以k2=Δy2Δx=2x0Δx,所以k1k2=2Δx,又Δx>0,所以k113.AD∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a,又f(b)=g易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.14.ACD单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.15.12x+2y+4=0f'(2)=limΔx∴切线方程为y+1=12(x+2),即x+2y+4=016.1∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=2x+5,∴f'(2)=2,又P(2,f(2))为切点,∴f(2)=4+5=1,∴f(2)+f'(2)=2+1=1.17.4y'=limΔx→0ΔyΔx=2x1,抛物线在点P处切线的斜率为因为点P的横坐标是2,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为6+c2,根据题意有6+c2=5,解得c=18.解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=limΔx→0(x+Δ由导数的几何意义,得f'(x0)=3x024x0解得x0=23或x0=∴切点坐标为23,4927或当切点为23,4927时,有4927=4×23∴a=12127当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=5,因此切点坐标为23,4927或(2,3),a的值为1212719.解(1)设切点为(x0,y0),∵y'

x=limΔx→0x02+2x0·Δx∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y1=2(x1),即2xy1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'

x=x0=2x0,∴切线方程为yy0=2x0(x由P(3,5)在所求直线上,得5y0=2x0(3x0),①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得