新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 高频精讲（解析版）

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：典型例题剖析 1高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题 1角度1：两个向量所成角为锐角 1角度2：两个向量所成角为钝角 4高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题 7方法一：定义法 7方法二：几何法 10方法三：三角不等式法 17方法四：坐标法 19方法五：转化法 24高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题 29方法一：定义法 29方法二：向量数量积几何意义法 35方法三：坐标法（自主建系法） 41方法四：积化恒等式法 47第一部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题角度1：两个向量所成角为锐角典型例题例题1．（多选）（2023春·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）设向量若与的夹角为锐角，则实数的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】BC【详解】，则.当与同向时，，由于与的夹角为锐角，则且故选：BC例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1），，解得：或，当时，，；当时，，；综上所述：或10（2）若共线，则，解得：或，当时，，，此时同向；当时，，，此时反向；若与的夹角为锐角，则，解得：且，的取值范围为.例题3．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）已知：､是同一平面内的两个向量，其中=（1，2），(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；(2)求在上投影向量.【答案】(1)；(2).【详解】（1），又与的夹角为锐角，且与不平行，，解得且，实数的取值范围是（2）由题得，，在上的投影向量为.练透核心考点1．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__．【答案】【详解】根据题意，向量与的夹角为锐角，则且、不共线，即，解可得且，则的取值范围为．故答案为：2．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知，∵，∴，∴．（2）若，则，，∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得且，∴m的取值范围是．3．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．（2）已知，若的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意可得：，向量在方向上的投影向量为：；（2）因为的夹角为锐角，所以，解得：，又当与共线时，可得：，解得：，此时，此时与同向，需排除，所以的取值范围是：.角度2：两个向量所成角为钝角典型例题例题1．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，令与共线，则，即，即，解得，此时，，即，与反向，又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，即且，解得且，故选：C例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知，则向量与向量的夹角为钝角时的取值范围是__________．【答案】且【详解】因为，向量与向量的夹角为钝角则，所以，且向量与向量不共线，即，解得且.故答案为：且.例题3．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是______．【答案】【详解】因为与的夹角为钝角，所以，当与的夹角为平角时，则有，则有，因为，所以，所以x的取值范围是，故答案为：练透核心考点1．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】夹角为钝角，且不共线，即且，解得：且，的取值范围为.故选：B.2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________.【答案】且【详解】若与的夹角为钝角,则，且与不共线，即，得且.故答案为：且.3．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．【答案】且【详解】由题意得，向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线，则，且，故，且，解得且，故答案为：且高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题方法一：定义法典型例题例题1．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形中，，点，分别为边，上的动点，，其中，点，分别为，的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，则，而，，而的对称轴为，故当时，，故选：B例题2．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）在中，，，点满足，，则的最小值为______.【答案】3【详解】∵，∴，则当时，，∴.故答案为：3例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知向量，满足：，，，则______；若为非零实数，则的最小值为______．【答案】

【详解】，，两式作差可得，所以，，所以，所以．，当，即时不等式等号成立，所以的最小值为．故答案为：；．例题4．（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．【答案】

【详解】由题意，平面向量，其中，的夹角是，可得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为.故答案为：；.练透核心考点1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设向量，的夹角为，则，易知，即所以，所以，即.故选：D.2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知平面向量，的夹角为，且，，，其中，则的最小值为______．【答案】【详解】，，当时，有最小值为，故的最小值为.故答案为：3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）设向量满足.与的夹角为60°，则的取值范围是____.【答案】【详解】由题意可得：，则，当时，等号成立，所以的取值范围是.故答案为：.方法二：几何法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在平面内一点，作，，，则，则，因为，则，故为等腰直角三角形，则，取的中点，则，所以，，所以，，因为，所以，，则，所以，.当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.例题2．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】向量,向量均为单位向量，,.如图，设.则是等边三角形.向量满足与的夹角为,.因为点在外且为定值,所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故选：D例题3．（多选）（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）若均为单位向量，且，，则的值可能为（

）A．－1 B．1 C． D．2【答案】AB【详解】由，即，而，又，即，由上图，，，则在劣弧上，易知：，当共线时等号成立，所以，即，故只有A、B符合.故选：AB例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是_____________【答案】[11，13]【详解】解：因为，所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，又，所以，所以，所以是圆的直径，所以，所以，设、的夹角为，则，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】因为，所以，可得，因为，所以，如图所示：在平面直角坐标系中，，，不妨设，，延长到使得，则，点为平面直角坐标系中的点，，则，，则满足题意时，，结合点，为定点，且，由正弦定理可得：，可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，其最大值为，故选：A.2．（多选）（2023秋·广东·高三校联考期末）向量满足，，，则的值可以是（

）A．3 B．6 C．4 D．【答案】AC【详解】解：设，，，由向量满足，，，所以，所以.①

当时，，即,即四点共圆，由余弦定理可得：，设四边形的外接圆的半径为，由正弦定理可得，又点在优弧上（不含端点），则，则有，则；②当时，，则在以为圆心的圆上运动，其中点在优弧上（不含端点），则，综合①②可得，故选：AC.3．（多选）（2023·辽宁·高二校联考开学考试）向量满足，，，则的值可以是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】BC【详解】设，，，因为，，所以，又因为，则①，②，第①种情况，可得点，，，四点共圆，如图所示：因为，，所以圆的半径为1，那么；第②种情况，点在以为圆心，1为半径的圆上，如图所示：此时，；综上所述：.故选：BC.4．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.【答案】##【详解】因为，所以，又，，如图，向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上，又，所以的最大值为，即的最大值为.故答案为：.方法三：三角不等式法向量模的三角不等式来求解：.典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以，，由平面向量模的三角不等式可得.当且仅当与方向相反时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.例题2．（2023·全国·高三对口高考）设为单位向量，若向量满足，则的最大值是____________．【答案】【详解】试题分析：因为向量满足，所以，当所以＋≤＝，当且仅当＝，即时等号成立，所以的最大值．练透核心考点1．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考）已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.【答案】##【详解】设，则，所以，，由二次函数性质可得，，即：所以，所以的最小值为故答案为：2．（2023·辽宁大连·高一大连二十四中校考）已知向量，满足，，则的最小值是______，最大值是______．【答案】

6

【详解】解：，且，，当且仅当与反向时取等号.此时的最小值为6.，，当且仅当时取到等号，所以的最大值为2.故答案为：6；2.3．（2023·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知向量，，满足，，，，若，则的最小值为__________，最大值为____________．【答案】

##1.4

5．【详解】设，则，所以，，由二次函数性质可得，，即：所以,且，所以的最小值为，最大值为.故答案为：；方法四：坐标法典型例题例题1．（2023·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）已知边长为1的正方形位于第一象限，且顶点，分别在，的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（

）．A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【详解】解：当与重合时，，此时，；当与不重合时，设，，因为，所以，，，，，，所以当，即时，取得最大值3.综上可知的最大值为3.故选：C.例题2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.【答案】【详解】设，，，，，，则，，整理得：，所以，则，解得：，所以，故答案为：.例题3．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，点为动点，且满足，记，若的最小值为，则的最大值为________．【答案】##【详解】设点，由已知可得，则，化简可得，,，因为点在以点为圆心，半径为的圆上，由可得，即，不妨设，其中，，则，故，当且仅当时，取最小值，令，其中，则，，所以，，因为函数的最小值为，则，所以，的最大值为.故答案为：.例题4．（2023·贵州铜仁·高一校考阶段练习）已知向量，，其中，.(1)当时，求的取值范围；(2)当时，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，因为，所以，即，所以，即的取值范围为.（2）当时，，所以，因为，所以，即，即，所以的取值范围为.练透核心考点1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥东县第二中学校考阶段练习）已知平面向量，，满足，，则的取值范围是___________【答案】【详解】因，则，设，的夹角为，于是得，而，因此，，即，所以的取值范围是.故答案为：2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考）已知平面直角坐标系中，向量，.(1)若，求x；(2)当时，求的最小值【答案】(1)或(2)最小值为3(1)，，即，解得或；(2)，则当且仅当即，时取等号，故最小值为3.3．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考）已知，向量，，是坐标平面上的三点，使得，.(1)若，的坐标为，求；(2)若，，求的最大值.【答案】(1)(2)12(1)由题意，，∴，，∴由，则､，故；(2)由题意，，∴，，∴由，则､，即，∴当时，的最大值为12；4．（2023·安徽宣城·高一校考阶段练习）已知向量，．（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）因为，，所以，设与之间的夹角为，则，因为，所以与之间的夹角为.（2），因为，所以，故的取值范围是.方法五：转化法典型例题例题1．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考）已知向量满足，，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，，，以为y轴，为x轴，建立直角坐标系设，，，所以，由，可得，化简可得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，原点到的距离为，所以的取值范围是，即故选：C．例题2．（2023·陕西西安·高一陕西师大附中校考）已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设，点在轴上，设点在第一象限，，设，则，则，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为，又，当直线过点且垂直于轴时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.故选：D.例题3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中学校考）已知平面向量满足，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，，因为，所以，设，，，，，所以，即，所以点在以为圆心，半径的圆上，表示圆上的点与定点的距离，所以的最小值为，故选：D.例题4．（2023·广东·高三统考阶段练习）若向量，，，且，则的最小值为_________．【答案】【详解】由题设，，，又，∴，则，又，则，∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，∴.故答案为：练透核心考点1．（2023·浙江杭州·高一校联考）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意设，，，，，，所以，，，设，，由得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，点在直线上，所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径2，即．故选：B．2．（2023秋·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】解：不妨设，设，向量满足，，，所以，所以的终点在以为圆心，以为半径的圆上.，设，，则，．又是单位向量，所以，所以，所以或，所以，如图所示，的最小值为，最大值为，所以的最大值与最小值之和是.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，令，，则，即，因此在为圆心，4为半径的圆上，易知，故，即.故选：C.4．（2023·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（

）A． B．1C． D．

【答案】D【详解】由题意知，，则，由可得，即，设，则，所以，所以表示以，半径为1的圆，表示圆C上的点到定点B(-2，0)的距离，而的最小值即为圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，如图所示，又，所以.故选：D高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题方法一：定义法典型例题例题1．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设与的夹角为，则，，因为，所以，故选：C例题2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.【答案】【详解】，且.即设与的夹角为，则.因为，所以.故答案为：例题3．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）如图，在四边形中，，且，若，则的最大值为_____________．【答案】【详解】设，则，作，交的延长线于点，由余弦定理得：，，即，，，，即，，，，，，则当，即时，，.故答案为：.练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）在中，已知，，则的最小值为（

）A．-1 B． C． D．【答案】D【详解】设三角形外接圆半径为，则，所以的外接圆半径为1，为钝角时，取到负值；如图，为的中点，在上的投影向量为；由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；，当时，，所以的最小值为.故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）四边形ABCD中，，，，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．－3【答案】D【详解】延长交于，因为，，∴，为等边三角形，设，则，∴，所以当时，的最小值为.故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．【答案】【详解】如图所示，连接、和，因为且为的中点，可得为平行四边形，所以，设，其中，因为，可得，，在中，可得，在中，可得，又因为且，所以，所以，设，根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为，且在在上单调递减，在在上单调增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由，即函数的最大值为，所以的取值范围.故答案为：.4．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________.【答案】【详解】依题意，过点作交的延长线于点，因为，，所以，，，所以，又因为点是的中点，所以是的中位线，则，，所以，因为点是边上的一点（包括端点），过点作于，则，结合图形可知：当点在点位置时，最小，最小为0，此时；当点在点位置时，最大，最大值与相等，此时；综上，的取值范围是.故答案为：.5．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的平面图形中，，，求：(1)设，求的值；(2)若且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，所以，即（2）解：因为，所以记因为，所以，设，则所以，，所以所以，当时，取得最小值，最小值为，又因为，所以，所以，即的最小值为方法二：向量数量积几何意义法典型例题例题1．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，且，则，所以，，故的最大值为.故选：C.例题2．（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）如图，为外接圆上一个动点，若，，，则的最大值______.【答案】【详解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得外接圆半径，解法1：设d是在上的投影，即，则，过点O作交圆于点P，且作于，于，如图所示，此时在上的投影最大，即最大易得四边形是矩形，所以则，所以的最大值为；解法2：连接，，所以，，因为，所以所以的最大值为，故答案为：例题3．（2023·湖南衡阳·高一统考）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________．【答案】##【详解】可以是与在上投影向量的数量积．如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，连接，，连接，交于点，易得，在上，．过作，垂足为点，过作，垂足为点．由题意得，，所以，，所以，所以．易证四边形为矩形，所以．易得，所以．所以当与重合时，．故答案为：练透核心考点1．（2023·海南·高一统考）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．【答案】【详解】解：由，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则，，．则当点P与D重合时，在上的投影向量的模最小，此时；当点P与E重合时，在方向上的投影向量的模最大，此时．所以的取值范围是．故答案为：2．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考）已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是___．【答案】[－6,6]【详解】若，由题意知：在以为圆心，1为半径的圆上；在以为圆心，2为半径的圆上.又，，则：最大时，同向，此时，最小时，反向，此时，综上，的范围为[－6,6].故答案为：[－6,6]3．（2023·广东深圳·高一福田外国语高中校考）如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合.将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当滚动到时，顶点B运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，的取值范围为___________.【答案】

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【详解】由题设，到过程中，B运动轨迹为两段半径为2，圆心角为的圆弧，所以B运动轨迹的长度为，轨迹如下图示：所以当在轴上时最小，当与对应圆弧的圆心连线垂直于轴时最大，故的范围为.故答案为：，.方法三：坐标法（自主建系法）典型例题例题1．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，梯形为直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以，由且可得，令，则由对勾函数单调性知，当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故，故选：D例题2．（2023·河南新乡·统考二模）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，易知，以为半径的左半圆的方程为，以为半径的右半圆的方程为，所以点的横坐标的取值范围是，又因为，，所以，.故选：B.例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．【答案】【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，则，，，设点坐标为，则，，，∴，∴当时，，故答案为：．例题4．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形中，