知识资料数学线性代数(三)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页需课件7（五）矩阵的秩定义在矩阵A中任取k行k列，这些行列交错处的元素按它们在A中的罗列所构成的行列式，称为矩阵A的k阶子式。m×n矩阵共有CkmCkn个k阶子式。定义倘若在矩阵A中有一个r阶非零子式Dr，而所有r+1阶子式全等于0，那么Dr称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为A的秩，记作R(A）。零矩阵没有非零子式，规定零矩阵的秩为0。定理若A~B，则R(A)=R(B）。这一定理说明初等变换不改变矩阵的秩，因此，当把矩阵变为行阶梯形，即可看出矩阵的秩，因为行阶梯形的秩就等于非零行的行数。由此还可知，若R(A)=r，则A的标准形左上角为r阶单位阵，矩阵的标准形由其行数m、列数n及秩r所彻低决定。（六）例题【例1-8-5】设A、B为n阶方阵，AB＝O，则(A)A=O或B=O(B）BA＝O(c)（BA）2=O(D)(A+B)2=A2＋B2【解】由两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，知（A）不成立；由矩阵乘法不满意交换律，预计（B）、（D）不成立；而（BA)2＝BABA＝BOA＝O知（C）成立，故选(C）。因此三、n维向量（一）n维向量n个有序数al,a2，…，an所组成的数组α=（α1，α2…αn）称为n维向量。为了交流向量与矩阵的联系，，维向量亦记作并把α称为行向量，a称为列向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵，规定向量与矩阵一样举行运算，αT=a,aT="α；行向量与列向量不能相加。m个n维列向量所组成的向量组可对应一个n×m矩阵反之，一个m×n矩阵A有m个n维行向量，这些行向量所组成的向量组称为矩阵A。的行向量组；同时，A又有n个m维列向量，这些列向量所组成的向量组称为A的列向量组。（二）向量组的线性相关与线性无关定义设有向量组A:α1,α2，…，αm与向量β，倘若有一组数kl,k2，…，km使则称向量β是向量组α1,α2，…，αm的线性组合，或称β可由α1,α2，…，αm，线性表出定义设有向量组A:α1,α2，…，αm，倘若有一组不全为0的数kl,k2，…，km使则说向量组A是线性相关的，否则说向量组A是线性无关的。这时，向量组A线性相关，也就是线性方程组。有非零解，而向量组A线性无关也就是上列线性方程组没有非零解。这时，向量组A是否线性相关，也就是线性方程组是否有非零解。定理设向量组α1,α2，…，αm线性无关，而向量组α1,α2，…，αm，β线性相关，则β可由α1,α2，…，αm线性表示，且表示式是唯一的。（三）向量组的秩定义设有向量组A(A可以含有限个向量，也可以含无限多个向量），倘若在A中能选出r个向量α1,α2，…，αr，满意(i)α1,α2，…，αr线性无关；(ii)A中随意r十1个向量都线性相关。则向量组α1,α2，…，αr称为向量组A的最大线性无关向量组（简称最大无关组），数r称为向量组A的秩。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。按此定义可知：向量组A线性相关的充足须要条件是A的秩小于A所含向量的个数；线性无关的充足须要条件是A的秩等于A所含向量的个数。定义设有两个向量组A与B，倘若A中每个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。倘若向量组A与B能互相线性表示，则称向量组A与B等价。显然，一个向量组与它自己的最大无关组等价。定理若向量组A能由向量组B线性表示，则向量组A的秩不大于向量组B的秩。若向量组A与B等价，则它们的秩相等。注重向量组等价与矩阵等价是两个不同的概念，不要混淆。定理若矩阵A经行变换变为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价；若矩阵A经列变换变为B，则A与B的列向量组等价；矩阵A的行向量组的秩以及列向量组的秩都等于矩阵A的秩。由上述两定理可推知(i）设n个n维向量构成方阵A，则此n个向量线性相关的充足须要条件是|A|=0。(ii）设Dr是矩阵A的最高阶非零子式，则Dr所对应的r个行向量即是A的行向量组的最大无关组，Dr所对应的r个列向量即是A的列向量组的最大无关组。(iii）设C＝AB，则R（C）≤R(A),R(C)≤（B）。当B可逆时，R(C)=R(A)，当A可逆时，R(C)=R(B）。（五）例题[例1-8-9］设A为n阶方阵，且|A|=0，则必有(A)A中某一行元素全为0(B)A的第n行是其余，n-1行的线性组合(C)A