（资料）6月16日知识资料6月17日知识资料高数-线代

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页1.6线性代数1.6.1行列式1.n阶行列式有关概念(1)n阶行列式：由定义知:n阶行列式是n!项的代数和，每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积，符号由该项列标罗列P1,P2,P3…，Pn的逆序数τ(P1,P2,P3…，Pn)决定。异常地，对二阶行列式与三阶行列式，可以采用对角线法则来计算，即注重：计算4阶及以上的行列式时，不能用对角线法则。(2)转置行列式:行列式的行列互换所得的行列式称为原行列式的转置行列式，即这里AT是A的转置矩阵。(3)余子式与代数余子式。将n阶行列式中元素aij所在的第i行和第j列的元素划掉，剩余的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，即而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。2.行列式的性质性质1：|A|=|AT|，即行列式与其转置行列式的值相等。性质2：两行(列)互换位置，行列式的值变号。推论:两行(列)相同，行列式的值为零。性质3：某行(列)的公因子k可提到行列式符号外。推论:某行(列)元素全为零，行列式的值为零。性质4:两行(列)对应元素成比例，行列式的值为零。性质5:倘若某行(列)的所有元素都是两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行(列)的元素分离为对应元素的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同。性质6:某行(列)各元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。3.常用的结论(1)即上（下）三角行列式等于其对角线上元素的乘积。(2)(3)设A是n阶方阵，则｜kA|=kn|A|。(4)设A,B都是n阶方阵，则|AB|=|A||B|。由该公式可推得｜Ak｜=｜A｜k，及|AB|=|BA|。注重：|A+B|≠|A||B|。(5)设A=(aij)nxn为aij的代数余子式，则其中称为按行展开公式，按列展开公式效果同上。(6)范德蒙行列式【例1-126】设其中，则解：从D1中每行提一个公因子3可得D2，故D1=3nD2，故挑选C【例1-127】设行列式Aij表示行列式元素aij的代数余子式，则A13+4A33+A43等于。A.-2B.2C.-1D.1解：故挑选A。【例1-128】设a1,a2,a3是三维列向量，|A|=|a1,a2,a3|则与|A|相等的是()。解:将第一列的-1倍加到第二列、第三列，再将第二列的-1倍加到第三列，，故选D。【例1-129】设A是一个n阶方阵，已知｜A｜=2，则丨-2A｜=()。解:由行列式的性质：｜kA｜=kn|A|知故选B。【例1-130】设A和B都是n阶方阵，已知|A|=2,|B|=3，则|BA-1|=()。A.2/3B.3/2C.6D.5解:,故选B。【例1-131】设A为n阶方阵，且|A|=a≠0则|A*|=()。A.aB.1/aC.an-1D.an解：，故挑选C。1.6.2矩阵1.矩阵的概念(1)定义:m×n个数排成的m行n列的表格。称为是一个m×n矩阵，简记为A=(aij)m×n。数aij称为矩阵A的第i行第j列元素。当m=n时称A为n阶方阵，称-A=(-aij)m×n为A的负矩阵。(2)矩阵的相等。同型矩阵:两个矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t，倘若m=s,n=t,则称A与B是同型矩阵。矩阵相等:两个同型矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t的对应元素都相等，即aij=bij(i=l，2，…，n)，则称A与B相等,记为A=B。2.矩阵的运算(1)矩阵线性运算及运算逻辑。1)设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，则A与B的和A+B=(aij+bij)m×n。2)设A=(aij)m×n,k是一个常数，数k与A的数乘kA=(kaij)m×n。3)运算逻辑A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+0=A,A+(-A)=0，k(lA)=(kl)A,(K+l)A=kA+lA,

k(A+B)=kA+kB,1A=A,0A=0,(-1)A=-A.(2)矩阵乘法及运算逻辑。1)定义:设A=(aij)m×k，B=(bij)k×n，A与B的乘积AB=(cij)m×n，其中2)乘法运算逻辑：3)方阵的幂及运算逻辑:A为n阶方阵，称为A的n次幂，且有(3)转置矩阵及性质。1)设A=(aij)m×n,A的转置矩阵AT=(aji)n×m。2)性质(4)方阵的行列式。1)由n阶方阵A=(aij)m×n,的元素构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。2)性质:设A，B都是n阶方阵，则(5)矩阵运算要重点注重的两点。1)矩阵乘法不满意交换律，即AB≠BA，由此造成以下式子不成立2)矩阵运算不满意消去律，即由AB=AC,且A≠0不能推出B=C。惟独当方阵A可逆时，该结论才干成立，由此造成以下结论不成立。①由AB=0，且A≠0不能推出B=0。②由A2=A，不能推出A=E或A=0，当且仅当方阵A可逆时有A=E;当且仅当方阵A-E可逆时有A=0。③由A2=0不能推出A=0，当A为对称阵(AT=A)时,命题才成立。3.几类异常矩阵(1)零矩阵:元素都是0的矩阵称为零矩阵，记为0。(2)行(列)矩阵:A=(a11，a12…a1n)称为行矩阵，常称为行向量;称为列矩阵，常称为列向量。(3)单位矩阵：(4)对角矩阵：数量矩阵(5)上（下）三角矩阵:设A=(aij)n×n，倘若A满意aij=0(i>j)，即则称A为上三角矩阵。倘若A满意aij=0(i<j)，则称A为下三角矩阵。(6)对称矩形：，倘若A满意AT=A，即aij=aji(I,j=1,2,…n),则称A为对称矩阵。(7)反驳称矩阵：，倘若A满意AT=A，即aij=-aji(I,j=1,2,…n),则称A为反驳称矩阵。(8)非神奇矩阵:设A为n阶方阵，倘若|A|≠0，则称A为非神奇矩阵;倘若|A|=0则称A为神奇矩阵。(9)正交矩阵:设A为n阶方阵，倘若ATA=AAT=E,则称A为正交矩阵。4.矩阵的初等变换(1)初等变换。对矩阵举行的以下三种变换:①交换两行（列）；②以数k(≠0)乘某一行(列）的所有元素;③某一行(列）的所有元素加上另一行(列）对应元素的k倍，称为矩阵的初等行(列）变换。初等行(列）变换统称为初等变换。(2)初等矩阵。由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，共3类：1) E(i，j)——交换E的i,j行(列）所得的初等矩阵;用E(i,J)左（右）乘A，相当于将A的第i行(列)和第j行（列）交换。2) E[i(k)]——E的第i行（列）乘数k(≠0)所得的初等矩阵;用E[i(k)]左（右）乘A相当于将A的第i行(列）乘以数k。3)E[i,j(k)]——将E的i行(j列)加上j行(i列)的k倍所得的初等矩阵;用E[i,j(k)]左(右)乘A相当于在A的i行(j列)上加上j行(i列)的k倍。注重：初等矩阵是可逆的，且逆矩阵是同类型的初等矩阵。 (3)等价矩阵。倘若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为A~B。1) A~B⇔A与B同型且有相同的秩。2)A~B⇔存在可逆矩阵P，Q，使PAQ=B。3)可逆阵与单位阵等价。5.可逆矩阵与逆矩阵(1)陪同矩阵及性质。1)定义:设A=(aij)n×n，由A的行列式｜A｜的代数余子式构成的矩阵称为A的陪同矩阵，记为A*。注重：2阶方阵的陪同矩阵具有“主对角线互换，副对角线变号”的逻辑。 2)陪同矩阵的性质①(kA)*=kn-1A*,(AB)*=B*A*,(Ak)*=(A*)k,(A-1)*=(A*)-1。②|A*|=|A|n-1，（A*)*=|A|n-2A。③AA*=A*A=|A|E(无论A是否可逆，该式总成立）。④A*=|A|A-1(当A可逆时，常用该式推证A*的有关结果）。⑤(该式用于求陪同矩阵的逆矩阵），(A*)-1=(A*)*。⑥(2)可逆矩阵与逆矩阵。1)定义:设A是n阶方阵，倘若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。A的逆矩阵唯一，记为A-1。2)逆矩阵的性质：①②③注重：(A+B)-1≠A-1+B-1。3)矩阵可逆的充足须要条件:定理:n阶方阵A可逆的充足须要条件为｜A｜≠0,且。其中A*是A的陪同矩阵。4)求逆矩阵的主意:主意一:利用公式，主要用于低阶矩阵。主意二:利用初等变换(A:E)——→(E:A-1),初等行变换。【例1-132】设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，则以下选项中成立的是。A. B的第1行的-2倍加到第2行得AB. B的第1行的-2倍加到第2列得AC. B的第2行的-2倍加到第1行得AD.B的第2列的-2倍加到第1列得A解：因为矩阵B是将矩阵A的第1行的2倍加到第2行而得到，即矩阵B是由矩阵A经过一次初等行变换而得到，要由矩阵B得到矩阵A，只要对矩阵B作上述变换的逆变换则可，即将B的第1行的-2倍加到第2行可得A，故应选A。【例1-133】，则解：故选B.【例1-134】设A,B均为n阶矩阵,下列结论中准确的是(）。A.若A，B均可逆，则A+B可逆 B.若A，B均可逆，则AB可逆C.若A+B可逆，则A-B可逆 D.若A+B可逆，则均可逆解:若A,B均可逆，|AB|=|A||B|≠0，故AB可逆，应选B。【例1-135】设A，B，C均为n阶方阵，且ABC=E,则()。A.ACB=E B.CBA=E C.BAC=E D.BCA二E解：由ABC=E知，A，B，C均可逆，两边左乘A-1,得BC=A-1，再两边右乘A，可得BCA=E。事实上，只要将A，B，C三矩阵轮换，结论都成立，A、B、C中浮上了交换，结论不一定成立，故选D。6.矩阵的秩(1)有关概念。1)矩阵的子式:从m×n矩阵A种任取k行k列（k≤min{m,n}),由位于这些行列交错处的k2个元素按原顺序构成的k阶行列式称为A的k阶子式。2)矩阵的秩:矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r(A)或R(A)或rank(A)。零矩阵的秩规定为0。3)满秩矩阵:设A是m×n矩阵，若r(A)=m，称A为行满秩矩阵;若r(A)=n，称A为列满秩矩阵;若A是n阶方阵，且r(A)=n称A为满秩矩阵(或非退化矩阵）；若r(A)<n，称A为降秩矩阵(或退化矩阵）。(2)求矩阵秩的主意:用初等行(列）变换把矩阵A变成行阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行(列）的个数就是原矩阵A的秩。(3)与矩阵的秩有关的重要结论。证实（3）：设r(A)=r,r(B)=s,且矩阵A和B的列向量分离为，分离对应一个极大无关组，二者分离可以线性表示，从而可以由线性表示，证毕。证实（8）：因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,因为A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)≤n；

又由R(A)+R(B)≥R(A+B)；可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.【例1-136】已知矩阵,则A的秩r(A)=。A.0 B.1 C.2D.3解:｜A｜=0，但A中有二阶子式不为零，r(A)=2，应选C。【例1-137】设,其中ai≠0,bi≠0(1，2，…，n)，则矩阵A的秩等于。A. n B.0 C.1D.2解：显然，矩阵A的所有行都与第一行成比例，故秩等于1，应选C。【例1-138】设，则秩A.1B.0C.1D.与a在取值有关解：是满秩矩阵，显然A的秩为2，故r(AB-A)=2，应选B。【例1-139】设A，B均为n阶非零矩阵，且AB=0,则R(A),R(B)满意。A.必有一个等于0 B.都小于nC.一个小于n，一个等于n D.都等于n解:由AB=0，有R(A)+R(B)≤n;又A，B均为非零矩阵，R(A)>0,R(B)>0，故R(A),R(B)都小于n，应选B。【例1-140】设3阶矩阵，已知，则a=()A.-2 B.-1 C.1D.2解：由A的陪同矩阵的秩为1知A的行列式为零，由得a=l，a=-2。当a=l时，A的二阶子式全为零,其陪同矩阵的秩不可能为1，故a=-2，应选A。1.6.3n维向量的线性相关性1.基本概念(1)n维向量定义:数域F上的n个数a1，a2，…，an构成的有序数组（a1,,a2，…,an)T,称为数域F上的一个n维向量，其中ai称为第i个分量，记作（a1,,a2，…,an)T。(2)向量组的线性组合由s个n维向量a1，a2，…，as及s个数k1，k2，…，ks构成的向量k1a1，…，ksas称为向量组a1，a2，…，as的一个线性组合，数k1，k2，…，ks称为组合系数。(3)—个向量由一个向量组线性表出倘若n维向量β能表示成向量组合,数a1，a2，…，as的线性组合，即β=k1a1+…+ksas则称β可以由a1，a2，…，as线性表示，或称β是k1，k2，…，ks的线性组合。注重：（1)零向量是任一组向量的线性组合。 (2)向量组a1，a2，…，as中的任一向量aj(1≤j≤s)都是此向量组的线性组合。(3)任一n维向量a=(a1，a2，…，as)T都是n维基本单位向量组的线性组合，且(4)向量组的线性相关、线性无关对于n维向量组a1，a2，…，as，倘若存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使得k1a1+…+ksas=0，则称a1，a2，…，as,线性相关;倘若仅当k1=k2=…ks=0时，才有k1a1+…+ksas=0，或者说，只要k1，k2，…，ks不全为零，必有k1a1+…+ksas≠0，则称a1，a2，…，as线性无关。注重：(1)单个非零向量线性无关。(2)两个向量线性相关⇔对应分量成比例。(3)含零向量的向量组一定线性相关。(4)基本单位向量组线性无关。(5)向量组的极大无关组设有向量组A，倘若A中存在r个向量αl，α2，…，αr，满意(I)αl，α2，…，αr线性无关；(II)A中任一个向量都可由αl，α2，…，αr线性表示，则称叫αl，α2，…，αr乂是向量组A的极大无关组。普通一个向量组的极大无关组不是唯一的，但极大无关组所含向量的个数r是固定的，并且向量组A中随意r个线性无关的向量都可构成一个极大无关组。(6)向量组的秩向量组A的极大无关组所含向量的个数r就是该向量组的秩。一个矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。2.重要结论(1)向量组αl，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充足须要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。(2)倘若向量组αl，α2，…，αm线性无关，而向量组αl，α2，…，αm，β线性相关，则β可由αl，α2，…，αm线性表示，且表示式唯一。(3)倘若向量组αl，α2，…，αs可由向量组，βl，β2，…，βt线性表出，而且s>t则αl，α2，…，αs线性相关。(4)部分相关，整体相关;整体无关，部分无关。(5)线性无关的向量组将分量延伸后仍线性无关。(6)向量组所含向量的个数大于维数则一定线性相关。(7)倘若向量组αl，α2，…，αs线性无关，且它可由βl，β2，…，βt线性表示，则s≤t。3.线性相关与线性无关的判别主意1:设αl，α2，…，αm是一个n维列向量组，构造n×m矩阵A=(αl，α2，…，αm),向量组αl，α2，…，αm线性相关等价于R(A)<m,向量组αl，α2，…，αm线性无关等价于R(A)=m。异常地，当m=n时，向量组αl，α2，…，αm线性相关等价于|A|=0；主意2:假设有数kl，k2，…，ks，使得klal+k2a2+…+ksas=0按照已知条件判断，若kl，k2，…，ks至少有一个不为零，则αl，α2，…，αs线性相关；若kl，k2，…，ks全为零,则αl，α2，…，αs线性无关。【例1-141】设A为三阶方阵且|A|=0，则在A的行向量组中。A.必有一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C.任一个行向量都是其他两个行向量的线性组合D.至少有一个行向量是其他两个行向量的线性组合解：由|A|=0知A的行向量组线性相关,至少有一个行向量是其他两个行向量的线性组合,故选D。【例1-142】n维向量组叫αl，α2，…，αm线性无关的充足条件()。A.αl，α2，…，αm都不是零向量B.αl，α2，…，αm中随意两个向量都不成比例C.αl，α2，…，αm中任一个向量都不能由其余向量线性表示D.m<n解:若向量组αl，α2，…，αm线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示;反之，αl，α2，…，αm中任一个向量都不能由其余向量线性表示，则该向量组线性无关。故选C。【例1143】设α，β，γ，δ是n维向量，已知α，β线性无关，γ可以由α，β线性表示，δ不能由α，β线性表示，则以下选项准确的是。A.α，β，γ，δ线性无关 B.α，β，γ线性无关C. α，β，δ线性相关 D.α，β，δ线性无关解:γ可以由α，β线性表示，α，β，γ和α，β，γ，δ都是线性相关，因为α，β线性无关，若α，β，δ线性相关，则δ一定能由α，β线性表示,矛盾，故应选D。【例1-144】已知向量组，则该向量组在一个极大无关组是。A.α2，α4 B.α3，α4 C.α1，α2D.α2，α3解：显然α1，α2对应坐标不成比例，故线性无关。又，所以α1，α2是一个极大无关组，应选C。1.6.4线性方程组1.线性方程组的概念(1)含有n个未知数x1，x2，…，xn的m个一次方程的方程组63称为n个未知数m个方程的线性方程组，简称线性方程组。倘若b1，b2，…，bm不全为零，则为非齐次线性方程组;倘若b1=b2=…=bm=0，即则称为齐次线性方程组。(2)矩阵形式:记则方程组(1-137)和方程组(1-138)可分离表示为Ax=b和Ax=0，并称A为方程组的系数矩阵，为方程组（1-137)的增广矩阵。(3)向量形式：记则方程组（1-137)可表示为x1α1+x2α2+...+xnαn=b(方程组得向量形式）。注重：非齐次线性方程组有解的充足须要条件是其右端向量可由系数矩阵的列向量组线性表示。方程组（1-138)可表示为x1α1+x2α2+...+xnαn=0。注重：齐次线性方程组有解的充足须要条件是其系数矩阵的列向量组线性相关。2.线性方程组解的判定条件(1)齐次线性方程组Ax=0有非零解(即有无穷多解）的充要条件是：1) r(A)<n;[惟独零解的充要条件是r(A)=n]。2)系数矩阵的列向量组线性相关。3)当A为方阵时，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0。(2)非齐次线性方程组：1) Ax=b有解的充要条件是,当时，Ax=b有无穷多解，当时,Ax=b有唯一解。2)非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是b可由α1，α2，…，αn线性表示;若α1，α2，…，αn线性无关，有唯一解;若α1，α2，…，αn线性相关，有无穷多解。当A为方阵时，即m=n,Ax=b有唯一解的充要条件为|A|≠0(即A可逆），解为x=A-1b。3)Cramer法则：当A为方阵时，若|A|≠0，则线性方程组Ax=b有唯一解，其中3.线性方程组解的性质(1)若差均为齐次线性方程组Ax=0的解（向量），则依然是Ax=0的解，即齐次线性方程组解的全体构成线性空间。(2)若均为非齐次线性方程组ax=b的解（向量），则为对应的齐次线性方程组如=0的解。(3)若为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,为对应的齐次线性方程组Ax=0的解,则是非齐次线性方程组Ax=b的解。(4)若是Ax=b的解，k1，k2,…,ks为常数，且k1+k2+…+ks=1，则,仍是Ax=b的解4.线性方程组解的结构(1)齐次线性方程组的基础解系:若是齐次线性方程组Ax=0的线性无关的解（向量），并且Ax=0的任一解向量均可被线性表出，则称在构成Ax=0的一组基础解系。注重：齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含解向量的个数是固定的。(2)倘若齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r，则它的基础解系含n个解向量，且通解为，其中为Ax=0的一组基础解系，为常数。注重：要求Ax=0的通解，只要求出一组基础解系则可。(3)非齐次线性方程组Ax =b的任一解，均可表示为Ax=b的一个特解与对应的齐次线性方程组Ax=0的某个解之和。(4)若Ax=b有无穷多解，则其通解为其中为Ax=0的一组基础解系为随意常数。5.线性方程组求解的主意(1)解齐次线性方程组Ax=0的主意：对系数矩阵A作初等行变换，化成行最简形，得到同解方程组，对自由未知量取随意值，就可得到所有解。将同解方程组写成向量形式,还可得到基础解系。注重：倘若齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r，则它有n-r个自由未知量。(2)解非齐次线性方程组Ax=b的主意：对增广矩阵作初等行变换，化成行最简形，得到同解方程组，对自由未知量取随意值，就可得到所有解。将同解方程组写成向量形式，还可得到对应齐次的基础解系和非齐次的一个特解。【例1-145】设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充足须要条件是。A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关解:齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充足须要条件是R(A)=n,而R(A)=n等价于A的列向量组线性无关，故选D。[例1146】已知是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可选用。的等价向量组等秩向量组解：A、B中向量组不是线性无关的，故不可能是基础解系；D中与等秩向量组不一定是方程组Ax=0的解；与基础解系等价的向量组一定是基础解系，故选C。【例1-147】设A为矩阵，，，都是齐次线性方程组Ax=0的解，则矩阵A为()。解：因为线性无关，故R(A)=1,显然选项A中的矩阵的秩为3，选项B和C中矩阵秩都为2，故应选D。【例1-148】设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都是方程组的解,则t等于。A.0B.2C.-1D.1解：由条件知，齐次方程组有非零解,故系数行列式等于零，，得t=1，故选D。【例1-149】设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(l，2，3，4)T,α2+α3=(0，1，2，3)T，C表示随意常数,则线性方程组Ax=b的通解为。解：因为r(A)=3，故线性方程组Ax=b解空间的维数为4-r(A)=1,又由Aα1=b,Aα2=b,Aα3=b知。于是是Ax=0的解，故按照Ax=b的解的结构理论知，Ax=b的通解为C选项。【例1-150】设β1、β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解α1，α2是导出组Ax=0的基础解系名k1、k2是随意常数，则Ax=b的通解是。解：Ax=b的通解是其导出组Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解而得到，α1和(α1-α2)是Ax=0的两个线性无关的特解，构成它的基础解系仍是Ax=b的特解，故是Ax=b的通解，应选C。1.6.5矩阵的特征值与特征向量1.矩阵的特征值与特征向量(1)定义:设A是n阶方阵，倘若存在数λ和n维非零向量x，使得Ax=λx (1-139)成立,则称λ为A的特征值，x是A对应特征值λ的特征向量。因为式（1-139)等价于(λE-A)x=0 (1-140)而式（1-140)有非零解的充要条件是它的系数行列式|λE-A|=0，称行列式|λE-A|为A的特征多项式，|λE-A|=0称为A的特征方程,它的根就是的A的特征值;称矩阵入|λE–A|为A的特征矩阵，以它为系数矩阵的方程组(λE-A)x=0—定有非零解，其解就是A对应特征值λ的特征向量。注重：(1)方阵A的特征值可能是实数，也可能是复数。(2)倘若x是A对应特征值A的特征向量，则x—定是非零向量，且对随意非零k≠0,常数kx仍是A对应特征值λ的特征向量。(3)倘若x1，x2是A对应特征值λ的特征向量，且当k1x1+k2x2=0时，k1x1+k2x2仍是A对应特征值λ的特征向量。 (4)倘若x1，x2是A对应于不同特征值特征向量，则x1，x2不是A的特征向量。(2)特征值与特征向量的求法。1)求特征方程|λE-A|=0的根，得A的特征值。2)将每一个特征值λi代入方程组(λE-A)=0,求解方程组(λiE-A)x=0,得对应特征向量。注重：若|A|=0，则λ=0为A的特征值，且Ax=0的基础解系为对应于λ=0的特征向量。(3)重要结论。1)设λ为A的特征值，则矩阵分离有特征值:kλ，aλ+b,λ2,λm,1/λ,|A|/λ且特征向量相同。2)若λi是A的ri重特征值，A对应特征值λi有si个线性无关的特征向量，则1≤si≤ri。3)倘若λ1，λ2，…，λt(是矩阵A的互不相同的特征值，其对应的特征向量分离是x1，x2,...，xt，则x1，x2,...，xt线性无关。4)设的n个特征值为λ1，λ2，…，λn,5)若r(A)=1，则的n个特征值为【例1-151】可逆矩阵A与矩阵有相同的特征值。A.AT B.A-1 C.A2 D.A+E解：因为，故A与AT有相同的特征值，故选A。【例1-152】已知A=2是三阶矩阵A的一个特征值，α1,α2,是A的属于λ=2的特征向量。若α1=(1,2,0)T,α2=(1,0,1)T,向量β=(-1,2,-2)T,则Aβ=()。A.(2,2,1)T B.(-1,2,-2)TC.(-2,4,-4)TD.(-2,-4,4)解:，故应选C。【例1-153】设A是3阶矩阵，α1=(1，0，1)T,α2=(1，1，0)T是A的属于特征值1的特征向量,α3=(0,1，2)T是A的属于特征值-1的特征向量，则。A.α1-α2是A的属于特征值1的特征向量B.α1-α3是A的属于特征值1的特征向量C.α1-α3是A的属于特征值2的特征向量D. α1+α2+α3是A的属于特征值1的特征向量解:属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是该特征值的特征向量，故应选A。【例1-154]设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值ξ，η是A的分离属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项准确的是。A.对随意的k1≠0和k2≠0，都是A的特征向量B.存在常数k1≠0和k2≠0，使得是A的特征向量C.对随意的k1≠0和k2≠0，都不是A的特征向量D.仅当k1=k2=0时是A的特征向量解：因为λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，故ξ，η线性无关。若是A的特征向量，则应存在数λ，使,,由ξ，η线性无关，有λ1=λ2=λ，矛盾，故应选C。2.相似矩阵及矩阵的对角化(1)相似矩阵的概念与性质。1)定义：设A，B为两个n阶方阵，倘若存在一个可逆矩阵P使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。2)性质:倘若A~B，则有k为正整数；从而A，B有相同的特征值；|A|=|B|，从而A，B同时可逆或不可逆；A与B有相同的秩。注重：|λE-A|=|λE-B|，A与B不一定相似。(2)实对称矩阵的性质。1)实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量为实向量。2)实对称矩阵A属于不同特征值的特征向量正交。3)若λi是实对称矩阵A的ri重特征值，则A对应特征值λi恰有ri个线性无关的特征向量，或，从而A有n个线性无关的特征向量，与对角阵相似，且存在正交矩阵P使得，其中为A的特征值。(3)矩阵可相似对角化的充要条件。1)设A是n阶方阵，若A与对角阵Λ相似，则称A可以相似对角化，并称Λ是A的相似标准型。2) A可相似对角化充要条件：①A可相似对角化⇔A有n个线性无关的特征向量。)A可相似对角化⇔对A任一ri重特征值，恰有n-ri个线性无关的特征向量与之对应，或3)若A有n个互不相同的特征值，则A可相似对角化